第14章 全等三角形 单元复习（9大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学八年级上册易错题重难点培优讲义
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内容正文：
第14章 全等三角形
知识点1：全等三角形的概念与表示
1.概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；互相重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。
2.表示：全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。如△ABC≌△DEF书写时把对应顶点写在对应位置，便于找出对应边、对应角。
知识点2：全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2.延伸性质：全等三角形的周长相等、面积相等；对应边上的中线、对应角的平分线、对应边上的高相等。
知识点3：全等变换
1.一个图形经过平移、翻折（对称）、旋转后，位置变化而形状、大小不变，变换前后的图形全等。
2.平移、翻折、旋转都是全等变换。
知识点4：全等三角形的判定定理
判定
条件
适用
SAS（边角边）
两边及其夹角分别相等
一般三角形
ASA（角边角）
两角及其夹边分别相等
一般三角形
AAS（角角边）
两角及其中一组等角的对边相等
一般三角形
SSS（边边边）
三边分别相等
一般三角形
HL（斜边、直角边）
斜边和一条直角边分别相等
仅直角三角形
知识点5：判定两个三角形全等的思路
已知条件
寻找方法
已知两边
找第三边（SSS）、找夹角（SAS）、找直角（HL）
已知一边一角
找夹边的另一邻角（ASA）、找夹角的另一邻边（SAS）、找对角（AAS）、直角找对边（HL）
已知两角
找夹边（ASA）、找夹边外任意一边（AAS）
知识点6：角的平分线的性质
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.这里的"距离"指点到角两边的垂线段的长；该性质可独立证明两条线段相等，无需再证全等。
3.使用前提：图形中有角平分线、有垂直；常作辅助线：由角平分线上的点向两边作垂线段。
知识点7：角的平分线的判定
1.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
2.前提：点在角的内部；角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
知识点8：作已知角的平分线
1.尺规作法：以顶点O为圆心画弧交两边于M、N；分别以M、N为圆心、大于为半径画弧，两弧交于C；画射线OC。
2.作图依据：构造（SSS）。
知识点9：易错警示
易错点
错误理解
正确理解
SSA不能判定
两边及其中一边对角相等即全等
SSA不能判定两三角形全等
AAA不能判定
三角相等即全等
仅三角相等是相似，不一定全等
对应关系
乱写对应边角
对应顶点写在对应位置，找准对应边角
隐含条件
忽略公共边、对顶角
公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件
HL适用范围
HL用于一般三角形
HL仅用于直角三角形
【易错题型】
【题型1】添加条件使成为全等三角形
1.易错点总结
（1）误用SSA（两边及其中一边对角）判定，实际不能判定；
（2）添加的条件与已给条件组合后不成判定定理；
（3）忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件。
2.纠错技巧
（1）先找已给条件和隐含条件（公共边、公共角、对顶角）；
（2）按SAS、ASA、AAS、SSS（直角加HL）确定缺什么条件；
（3）不能用SSA，注意角的位置；
（4）添加后逐项验证能否判定。
【例题1】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，已知，请你添加一个条件使，请问添加下列条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定，进行解答，即可．
【详解】解：已知，是公共角；
A、，
在和中，
，
属于“边边角”的情况，
不能判定全等于，符合题意；
B、，
在和中，
，
∴，不符合题意；
C、，
在和中，
，
∴，不符合题意；
D、，
在和中，
，
∴，不符合题意．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：，，，
．
【变式题1-2】.（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，已知，添加下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，以及三角形全等的判定，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，
当添加时，，∴，
当添加A，B，C选项的条件时，都不能判定．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明．
(1)你添加的条件是______（）．
(2)写出证明过程．
【答案】(1)
(2)证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
【分析】（1）通过证明，已知一对边的相等关系，通过证明可以得到一对角的相等关系，只需要添加相等的边另一侧的一对角的相等关系即可证明结论；
（2）根据，利用角的和差关系即可得，继而根据证明．
【详解】（1）略；
（2）略．
【基础题型】
【题型2】判断图形是否全等
解题技巧：
（1）全等图形：形状和大小都相同，能够完全重合；
（2）面积相等不一定全等；
（3）通过平移、翻折、旋转判断是否重合；
（4）注意对应部分的大小与形状。
【例题2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）下列图形中与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形．判断即可．
【详解】解： 选项B中的图形与原图形状、大小完全相同 ，
选项B中的图形与原图全等．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）下边图形是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、两个圆的大小不同，不能完全重合，不是全等形；
B、两个图形的形状相同、大小相等，能够完全重合，是全等形；
C、两个三角形的形状不同，不能完全重合，不是全等形；
D、两个正方形的大小不同，不能完全重合，不是全等形．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
【详解】解：A、两个图形形状不相同，不能够重合，不是全等图形；
B、两个图形大小不相同，不能够重合，不是全等图形；
C、两个图形形状、大小均相同，能够完全重合，是全等图形；
D、两个图形大小不相同，不能够重合，不是全等图形．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）下列各组图形中，是全等形的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A选项：两个图形形状不相同，排除；
B选项：两个图形大小相等，形状都相同，符合全等形的定义；
C选项：两个图形大小不相同，排除；
D选项：两个图形大小不同，形状不相同，排除
【题型3】判定全等三角形的依据
解题技巧：
（1）记牢SAS、ASA、AAS、SSS、HL的含义；
（2）直角三角形可用HL，也可用SAS等；
（3）尺规作图依据（作角平分线用SSS）；
（4）生活中测距问题找全等依据。
【例题3】.（26-27八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________．
【答案】
【分析】已知点O分别为线段、的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据．
【详解】解：∵O为线段、的中点，
∴，，
∴在和中，
∴．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，平分和，则的依据是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得出两组对应角相等，结合公共边，符合全等三角形判定定理或．
【详解】解：平分和，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
综上所述，则的依据是或．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图步骤确定三边对应相等．
【详解】解：由作图步骤可知，，，
在和中
，
∴．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他可以只带_________碎片去，就能配一块与原来一样的三角形模具．小明这样做的依据是_________．
【答案】
第1块（或左边的）
（或角边角）
【分析】根据全等三角形的判定定理解题即可．
【详解】解：由图形可知，只带第1块（或左边的）碎片到商店去合适，这块有完整的两角与夹边，由“（或角边角）”可以作出与原三角形全等的三角形．
【题型4】利用全等三角形的判定与性质求解
解题技巧：
（1）先判定全等，再利用性质得对应边、角相等；
（2）利用全等转化线段、角度；
（3）两次全等综合求解；
（4）设未知数建立方程。
【例题4】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可证明，利用全等三角形的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式题4-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点P作于点E，根据三角形面积公式求出的长，证明求出的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于点E，
∵，且，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴；
∵和分别平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，．
(1)判断和是否全等，并说明理由：
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
；
(2)
【分析】（1）先由推得，再结合已知两组角相等，利用判定两个三角形全等．
（2）先利用三角形内角和求出，再根据邻补角互补求出．
【详解】（1）略
（2）解：，，
，
【变式题4-3】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，相交于点．
(1)求证：；
(2)时，求的度数．
【答案】(1)证明：在和中，
，
；
(2)
【分析】（1）根据即可得证；
（2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】（1）略；
（2）解：，
，
，
，
．
【提升题型】
【题型5】利用全等三角形证明线段或角相等
解题技巧：
（1）证两线段或两角相等转化为证所在三角形全等；
（2）找三个判定条件（边、角、边等）；
（3）缺条件时添加辅助线构造全等（连接、延长）；
（4）规范书写判定与性质。
【例题5】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，，，、、、共线，且，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明： ，
，
；
(2)证明：在和中，
，
，
．
【分析】（1）根据线段和的定义可证明结论；
（2）根据“”证明即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
【变式题5-1】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）已知，，点C在上，且满足，求证：．
【答案】证明：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵点A、D、C、F在同一直线上，且，
∴，即．
在和中
∴．
∴．
【分析】证明得到．
【详解】略
【变式题5-2】.（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知，，与交于点E．求证：；
【答案】证明：∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴．
【分析】根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】略
【变式题5-3】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可得出．
【详解】（1）略
（2）略
【题型6】网格中找全等三角形
解题技巧：
（1）利用网格格点构造与寻找全等；
（2）正方形网格中45°、格点距离为条件；
（3）数全等三角形不重不漏；
（4）用全等求格点角的度数。
【例题6】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，，则______．
【答案】/180度
【分析】由全等三角形的性质得，结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
．
【变式题6-1】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为___________．
【答案】/90度
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为．
【详解】解：如图，
在和中，
，
，
，
．
【变式题6-2】.（26-27八年级上·浙江·阶段检测）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个．
【答案】4
【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解．
【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点．
【变式题6-3】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图：
(1)在图①中画的一个余角；
(2)在图②中射线的右侧画，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图题，尺规作一个角等于已知角，求一个角的余角，解题关键是掌握上述知识点．
（1）通过作或的垂线即可；
（2）为的正方形的对角线，过点找到类似的线即可．
【详解】（1）解：如图，
，，
，，
所以与即为所求作；
（2）如图，点、、都满足要求．
【题型7】尺规作图与全等三角形的交互应用
解题技巧：
（1）尺规作图依据是SSS、SAS、ASA；
（2）作角平分线、作三角形后求线段、角度；
（3）由作图痕迹判断判定依据；
（4）作图与全等相互转化。
【例题7】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线．
【答案】(1)
(2)如图，过点E作于点F，
则，
由作图知，是的平分线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的平分线．
【分析】（1）按照用尺规作角平分线的方法完成即可；
（2）过点E作于点F，由角平分线的性质定理得，再由中点得，由角平分线的判定即可证明．
【详解】（1）解：略；
（2）证明：略．
【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
【分析】作的平分线交于点，根据角平分线性质知点到，的距离相等，由可知的面积是的面积的倍．
【详解】解：以点为圆心，以长为半径画弧交于点；分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于点，点就是所求的点．
理由：过点作，，交射线，于点，，
由作法知，平分，
∴，
∵，，，
∴的面积是的面积的倍．
【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题．
(1)如图，①已知．利用尺规作图，作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
②根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由．
(2)如图，在中，，，是边上的点．
①用尺规作图：过点作，与边交于点．（保留作图痕迹）
②求的度数．
【答案】(1)①
②由作法知，，由即可得；
(2)①②
【分析】（1）①分别作即可；②根据判定全等三角形；
（2）①按照作一个角等于已知角的方法即可完成；
②由作图及平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：①按照作一条线段等于已知线段的方法作出，即得到；作图略；
②略；
（2）解：①作即可；作图略；
②∵，，
∴，
由作图知，即，
∴．
【变式题7-3】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，已知是中线．
(1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)按要求作图如下：
(2)证明：由（1）中作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴．
【分析】（1）以点为圆心，的长为半径画圆，再以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点、，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧与前弧下方交于一点，连接并延长交圆于点，连接并延长交于点；
（2）由（1）中作图可知，，结合得到，根据对顶角的性质得，由中点的定义得，即可根据证明．
【详解】（1）解：图略
根据作图可得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分；
由作图可得，；
（2）略
【题型8】判定全等确定线段间的关系
解题技巧：
（1）证全等得对应线段相等；
（2）线段和差关系（如）转化；
（3）位置关系（垂直、平行）用对应角证明；
（4）点在线段上、延长线上等分情形讨论。
【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图中，，分别平分、，相交于点P．
(1)求的度数．
(2)探究：之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，
证明：如图所示，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴
．
【分析】（1）先由，得到，然后由，分别平分，得到的值，进而得到的度数；
（2）在上截取，连接，然后证明，从而得到，进而得到，可证，即可得到，最后得到．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴；
（2）略
【变式题8-1】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，平分，，，垂足分别为点，，．
(1)求证：；
(2)如果，，直接写出___________（用含的代数式表示）
【答案】(1)证明：∵ 平分，，，
∴
∴
在和中
∴
∴ ．
(2)
【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，结合条件，用 证明与全等，得到对应边．
（2）先利用 证明与全等，得到，再代入、以及，整理求出．
【详解】（1）略．
（2）解：∵ 平分，，
∴ ，
在和中
∴
∴ ，
∵ ，，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
∴ ．
【变式题8-2】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，平分，与线段的延长线交于点．
(1)证明：；
(2)试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：，，
，
，
，
即．
(2)，理由如下：
延长、交于点，如图，
则，
，
，
，
，
又，，
，
，
平分，
，
，
，
在和中：
，
，
．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及已知条件进行角度的转化即可．
（2）通过构造全等三角形来找出和的数量关系即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式题8-3】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明．
【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F
∵，
∴
∵平分，
∴
∵E是边中点
∴
∴
∵，
∴平分；
(2)解：，理由如下：
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∴．
【分析】（1）过点E作于点F，由平行线的性质得到，然后利用角平分线的性质定理得到，等量代换得到，然后利用角平分线的判定定理证明；
（2）证明，得到，证明，得到，然后等量代换证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
【培优题型】
【题型9】角平分线的性质与判定
解题技巧：
（1）角平分线上点到两边距离相等；
（2）到两边距离相等的点在角平分线上；
（3）用性质独立证线段相等；
（4）常作垂线段辅助线。
【例题9】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：如图，在中，，是上一点，于，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：，
，
，，
点在的平分线上，
即平分；
(2)．
【分析】（1）根据角平分线的判定即可证明；
（2）利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求解．
【详解】（1）略；
（2）解：在中，，，
，
平分，
．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、．
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若，，，，则的面积为______．
【答案】(1)证明：∵分别平分，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴点在的平分线上．
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理证明即可；
（2）连接，利用割补法计算的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，
，
．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，、相交于点M．
(1)求证：．
(2)用含的式子表示的度数．
(3)【拓展设问】连接，求证：平分．
【答案】(1)证明：，
，即，
在和中，
，
；
(2)
(3)证明：过点分别作于点，于点，
，
，，
，
，
又，，
平分．
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）由全等可得，设、交于点，利用三角形外角的性质，得出即可；
（3）过点分别作于点，于点，由全等可得，再根据三角形面积公式得出，即可得证．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，，
，
设、交于点，
，
；
（3）略
【变式题9-3】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵平分，，，
∴，．
∵，且已知，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
(2)的长为8
【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得，然后利用角度关系等量代换得到，进而证明，推出．
（2）首先利用角平分线的性质可得和，利用推出，得到；然后根据线段关系等量代换得到，代入数值计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵平分，，，
∴，．
在和中，，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴，即，
∵，，
∴．
【题型10】全等三角形中的动点问题
解题技巧：
（1）用时间表示运动路程与线段长；
（2）全等时对应关系可能不同，分类讨论；
（3）等速与变速分别分析；
（4）求出后验证全等条件。
【例题10】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（ ）．
A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，，
∵，
∴，
∵，
∴分两种情况讨论： ①当时， ，，
∴，， 解得，
∴；
②当时，
∴，，
∴，，
解得，
∴；
综上所述，点的运动速度为或． 故选B．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等
【答案】或或
【分析】根据题意，与均为直角三角形，若要全等，斜边必须相等，即．根据点、的运动路径和速度，分三种情况讨论：点在上且点在上；点、都在上；点在上且点在上或到达终点．分别列出关于的方程求解即可．
【详解】由题意可知，点的速度为，点的速度为． ，．
点到达点需，到达点需．
点到达点需，到达点需．
，，
．
要使，
需满足．
分三种情况讨论：
①当时，点在上，点在上．
，．
令，
解得．
②当时，点在上，点在上．
，．
令，
解得．
③当时，点在上．
若，点在上，
，．
令，
解得，不合题意，舍去．
若，点到达点并停止，
． ．
令， 解得．
综上所述，当或或时，与全等．
故答案为：或或．
【变式题10-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的高，为上一点，连接并延长交于点，，，，且．
(1)___________，___________；
(2)请求出的长度；
(3)判断和的位置关系，并说明理由；
(4)有一动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒．
智慧小组提出问题：当点在线段上时，满足的面积为，请直接写出的值；
为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出问题：动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，点是直线上一点，且，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)，理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
(4) ； 或．
【分析】根据线段的和与差即可求解；
证明，然后通过全等三角形的性质即可求出；
由，则有，又，，，
从而可得；
由得，由得，通过，求得，所以，从而求出；
分当在线段上，在线段上时，当在线段上，在线段的延长线上时，当在线段延长线上，在线段上时，如图，当在线段延长线上，在线段的延长线上时，四种情况即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵为的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）略；
（4）解：如图，由得，由得，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
如图，当在线段上，在线段上时，
此时不存在，
如图，当在线段上，在线段的延长线上时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得；
如图，当在线段延长线上，在线段上时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得；
如图，当在线段延长线上，在线段的延长线上时，
此时不存在，
综上可得：的值为或．
【变式题10-3】.（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，的两条高与交于点O，，．
(1)若，求的度数；
(2)①求证：；
②的长为________；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①证明：∵的两条高与交于点，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
②6
(3)或时，与全等．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
（1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案；
（2）①先利用等角的余角相等求得，利用可证明即可；
②利用全等三角形的性质即可得答案；
（3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案．
【详解】（1）解：∵的两条高与交于点，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：①略
②∵，
∴；
（3）解：与全等时，
①如图，当点在延长线上时，，
∴，，
∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，
∴，，，
∴，
解得：．
②如图，当点在线段上时，，
∴，，
∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，
∴，，，
∴，
解得：．
综上所述：或时，与全等．
同步练习
一、单选题
1．如图，，且点B，M，D在同一直线上，若，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由线段的和差关系求出的长，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
2．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．26
【答案】A
【分析】先根据全等三角形的性质得到，，所以，即可求得答案．
【详解】解：，
，，
的周长为．
3．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式求出的长，结合角平分线的性质求解．
【详解】解：过点作于点，
，，
，
，
是的角平分线，，，
，
点到的距离是4．
故选：．
二、填空题
4．如图所示，，，，，，则______．
【答案】
12
【分析】根据可得，证明，从而得出，再结合线段的和差关系求出的长，最后计算即可．
【详解】解：，
，
在和 中，
，
，
，
，，
，
，
．
5．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______．
【答案】
【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出．
【详解】解：如下图所示，过点作于点，
，
，
，
，
是的平分线，，
．
6．如图，是中的平分线，于点E，，，，则________．
【答案】
【分析】利用角平分线的性质作辅助线，将的面积分割为和的面积之和进行求解.
【详解】解：如图，过点作于点
是的平分线，，
，，
.
三、解答题
7．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】先由平行线得到，然后利用等式的性质得到，再结合已知条件证明即可．
【详解】略
8．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，．
求证：．
【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
．
【分析】先证明，再证明即可
【详解】略
9．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明：，
，
即，
在和中
；
(2)
【分析】（1）利用即可证明；
（2）根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
，
．
10．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时，___________，___________；点从向运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
【答案】(1)，，小
(2)解：当时，，理由如下，
∵，，，
∴，
∵，
∴当时，．
【分析】（1）根据邻补角的定义得出，根据角的和差关系可得，利用三角形内角和定理可求出，根据图形，可判断逐渐变小；
（2）利用外角性质得出，结合，根据即可得出当时，．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由图形可知，点从向运动时，逐渐变小．
（2）解：当时，，理由略．
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第14章 全等三角形
知识点1：全等三角形的概念与表示
1.概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；互相重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。
2.表示：全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。如△ABC≌△DEF书写时把对应顶点写在对应位置，便于找出对应边、对应角。
知识点2：全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2.延伸性质：全等三角形的周长相等、面积相等；对应边上的中线、对应角的平分线、对应边上的高相等。
知识点3：全等变换
1.一个图形经过平移、翻折（对称）、旋转后，位置变化而形状、大小不变，变换前后的图形全等。
2.平移、翻折、旋转都是全等变换。
知识点4：全等三角形的判定定理
判定
条件
适用
SAS（边角边）
两边及其夹角分别相等
一般三角形
ASA（角边角）
两角及其夹边分别相等
一般三角形
AAS（角角边）
两角及其中一组等角的对边相等
一般三角形
SSS（边边边）
三边分别相等
一般三角形
HL（斜边、直角边）
斜边和一条直角边分别相等
仅直角三角形
知识点5：判定两个三角形全等的思路
已知条件
寻找方法
已知两边
找第三边（SSS）、找夹角（SAS）、找直角（HL）
已知一边一角
找夹边的另一邻角（ASA）、找夹角的另一邻边（SAS）、找对角（AAS）、直角找对边（HL）
已知两角
找夹边（ASA）、找夹边外任意一边（AAS）
知识点6：角的平分线的性质
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.这里的"距离"指点到角两边的垂线段的长；该性质可独立证明两条线段相等，无需再证全等。
3.使用前提：图形中有角平分线、有垂直；常作辅助线：由角平分线上的点向两边作垂线段。
知识点7：角的平分线的判定
1.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
2.前提：点在角的内部；角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
知识点8：作已知角的平分线
1.尺规作法：以顶点O为圆心画弧交两边于M、N；分别以M、N为圆心、大于为半径画弧，两弧交于C；画射线OC。
2.作图依据：构造（SSS）。
知识点9：易错警示
易错点
错误理解
正确理解
SSA不能判定
两边及其中一边对角相等即全等
SSA不能判定两三角形全等
AAA不能判定
三角相等即全等
仅三角相等是相似，不一定全等
对应关系
乱写对应边角
对应顶点写在对应位置，找准对应边角
隐含条件
忽略公共边、对顶角
公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件
HL适用范围
HL用于一般三角形
HL仅用于直角三角形
【易错题型】
【题型1】添加条件使成为全等三角形
1.易错点总结
（1）误用SSA（两边及其中一边对角）判定，实际不能判定；
（2）添加的条件与已给条件组合后不成判定定理；
（3）忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件。
2.纠错技巧
（1）先找已给条件和隐含条件（公共边、公共角、对顶角）；
（2）按SAS、ASA、AAS、SSS（直角加HL）确定缺什么条件；
（3）不能用SSA，注意角的位置；
（4）添加后逐项验证能否判定。
【例题1】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，已知，请你添加一个条件使，请问添加下列条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可）
【变式题1-2】.（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，已知，添加下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明．
(1)你添加的条件是______（）．
(2)写出证明过程．
【基础题型】
【题型2】判断图形是否全等
解题技巧：
（1）全等图形：形状和大小都相同，能够完全重合；
（2）面积相等不一定全等；
（3）通过平移、翻折、旋转判断是否重合；
（4）注意对应部分的大小与形状。
【例题2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）下列图形中与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）下边图形是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）下列各组图形中，是全等形的是（）
A． B．
C． D．
【题型3】判定全等三角形的依据
解题技巧：
（1）记牢SAS、ASA、AAS、SSS、HL的含义；
（2）直角三角形可用HL，也可用SAS等；
（3）尺规作图依据（作角平分线用SSS）；
（4）生活中测距问题找全等依据。
【例题3】.（26-27八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，平分和，则的依据是（ ）
A．或 B． C． D．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他可以只带_________碎片去，就能配一块与原来一样的三角形模具．小明这样做的依据是_________．
【题型4】利用全等三角形的判定与性质求解
解题技巧：
（1）先判定全等，再利用性质得对应边、角相等；
（2）利用全等转化线段、角度；
（3）两次全等综合求解；
（4）设未知数建立方程。
【例题4】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式题4-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式题4-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，．
(1)判断和是否全等，并说明理由：
(2)若，，求的度数．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，相交于点．
(1)求证：；
(2)时，求的度数．
【提升题型】
【题型5】利用全等三角形证明线段或角相等
解题技巧：
（1）证两线段或两角相等转化为证所在三角形全等；
（2）找三个判定条件（边、角、边等）；
（3）缺条件时添加辅助线构造全等（连接、延长）；
（4）规范书写判定与性质。
【例题5】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，，，、、、共线，且，求证：
(1)；
(2)．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·广东东莞·期中）已知，，点C在上，且满足，求证：．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知，，与交于点E．求证：；
【变式题5-3】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【题型6】网格中找全等三角形
解题技巧：
（1）利用网格格点构造与寻找全等；
（2）正方形网格中45°、格点距离为条件；
（3）数全等三角形不重不漏；
（4）用全等求格点角的度数。
【例题6】.（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，，则______．
【变式题6-1】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为___________．
【变式题6-2】.（26-27八年级上·浙江·阶段检测）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个．
【变式题6-3】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图：
(1)在图①中画的一个余角；
(2)在图②中射线的右侧画，使．
【题型7】尺规作图与全等三角形的交互应用
解题技巧：
（1）尺规作图依据是SSS、SAS、ASA；
（2）作角平分线、作三角形后求线段、角度；
（3）由作图痕迹判断判定依据；
（4）作图与全等相互转化。
【例题7】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线．
【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题．
(1)如图，①已知．利用尺规作图，作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
②根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由．
(2)如图，在中，，，是边上的点．
①用尺规作图：过点作，与边交于点．（保留作图痕迹）
②求的度数．
【变式题7-3】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，已知是中线．
(1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【题型8】判定全等确定线段间的关系
解题技巧：
（1）证全等得对应线段相等；
（2）线段和差关系（如）转化；
（3）位置关系（垂直、平行）用对应角证明；
（4）点在线段上、延长线上等分情形讨论。
【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图中，，分别平分、，相交于点P．
(1)求的度数．
(2)探究：之间的数量关系，并证明．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，平分，，，垂足分别为点，，．
(1)求证：；
(2)如果，，直接写出___________（用含的代数式表示）
【变式题8-2】.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，平分，与线段的延长线交于点．
(1)证明：；
(2)试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
【变式题8-3】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明．
【培优题型】
【题型9】角平分线的性质与判定
解题技巧：
（1）角平分线上点到两边距离相等；
（2）到两边距离相等的点在角平分线上；
（3）用性质独立证线段相等；
（4）常作垂线段辅助线。
【例题9】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：如图，在中，，是上一点，于，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、．
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若，，，，则的面积为______．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，、相交于点M．
(1)求证：．
(2)用含的式子表示的度数．
(3)【拓展设问】连接，求证：平分．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题型10】全等三角形中的动点问题
解题技巧：
（1）用时间表示运动路程与线段长；
（2）全等时对应关系可能不同，分类讨论；
（3）等速与变速分别分析；
（4）求出后验证全等条件。
【例题10】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（ ）．
A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或
【变式题10-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等
【变式题10-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的高，为上一点，连接并延长交于点，，，，且．
(1)___________，___________；
(2)请求出的长度；
(3)判断和的位置关系，并说明理由；
(4)有一动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒．
智慧小组提出问题：当点在线段上时，满足的面积为，请直接写出的值；
为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出问题：动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，点是直线上一点，且，当时，请直接写出的值．
【变式题10-3】.（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，的两条高与交于点O，，．
(1)若，求的度数；
(2)①求证：；
②的长为________；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值．
同步练习
一、单选题
1．如图，，且点B，M，D在同一直线上，若，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．26
3．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
4．如图所示，，，，，，则______．
5．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______．
6．如图，是中的平分线，于点E，，，，则________．
三、解答题
7．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：．
8．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，．
求证：．
9．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
10．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时，___________，___________；点从向运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
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