专题15.1图形的轴对称（知识点总结+15大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1图形的轴对称 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点总结 定义：平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，该图形为轴对称图形，这条直线叫对称轴。 关键特征：折叠后重合的部分完全一致，对称点连线被对称轴垂直平分。 2.高频考点梳理 识别生活中的轴对称图形（如汉字“美”、图标、剪纸图案等）。 判断几何图形是否为轴对称图形（如等腰三角形、矩形、圆等）。 结合传统文化（剪纸、风筝）或跨学科素材（物理仪器示意图）命题。 3.易错点警示 混淆“轴对称图形”与“成轴对称”（前者是一个图形，后者是两个图形的位置关系）。 误将线段、角的对称轴当作“线段”（实际是直线，如角的对称轴是角平分线所在直线）。 忽略不规则图形的对称轴（如正五边形有5条对称轴，易漏数）。 4.解题技巧拆解 折叠验证法：想象沿某条直线折叠，观察两部分是否完全重合。 关键点法：找图形的顶点、转折点，判断是否能找到直线使对应点连线垂直平分。 【例题1】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）下列图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键，据此解答即可． 【详解】解：轴对称图形是沿某直线折叠后直线两旁部分重合的图形．A、B、C均无对称轴，不符合轴对称图形的定义；D符合轴对称图形的定义． 故选：D． 【题型2】成轴对称的两个图形判断 1.核心知识点总结 定义：把一个图形沿某条直线折叠，能与另一个图形重合，称这两个图形成轴对称，直线为对称轴。 性质：成轴对称的两个图形≌，对应点连线被对称轴垂直平分。 2.高频考点梳理 判断两组图形是否成轴对称（如网格中两个三角形、坐标系中两个图形）。 结合尺规作图痕迹判断两图形成轴对称的条件。 已知两图形成轴对称，求对应边、对应角或对称轴。 3.易错点警示 认为“全等的两个图形一定成轴对称”（全等是必要条件，而非充分条件）。 找错对应点（如网格图形中，易将非对应顶点当作对称点）。 忽略对称轴的唯一性（两图形成轴对称只有一条对称轴）。 4.解题技巧拆解 对应点法：找到两组对应点，连接对应点，若连线被同一直线垂直平分，则两图形成轴对称。 排除法：先判断图形是否全等，再排除无对称轴的情况。 【例题2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 【变式题2-1】．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【题型3】求轴对称图形的对称轴条数 1.核心知识点总结 常见图形对称轴条数：圆（无数条）、等边三角形（3条）、正方形（4条）、矩形（2条）、等腰三角形（1条）、角（1条）、线段（2条）。 组合图形的对称轴：需结合组成部分的对称性，找能使整体折叠重合的直线。 2.高频考点梳理 直接求单一图形的对称轴条数。 求组合图形（如两个正方形拼接、阴影部分组成的图形）的对称轴条数。 已知对称轴条数，判断图形类型（如“有2条对称轴的四边形是矩形”）。 3.易错点警示 漏数线段的对称轴（线段有2条：垂直平分线和自身所在直线）。 误将平行四边形当作轴对称图形（一般平行四边形无对称轴）。 组合图形中漏找对称轴（如“3个涂黑正方形组成的图形，易漏1条对称轴”）。 4.解题技巧拆解 分类记忆法：熟记常见图形的对称轴条数，建立“图形→条数”对应关系。 画图法：逐一画出可能的对称轴，验证折叠后是否重合，避免漏数或多数。 【例题3】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4/四 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 【变式题3-1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解． 【分析】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案． 【详解】图（1）对称轴2条， 作图如下： ； 图（2）对称轴1条， 作图如下： ； 图（3）对称轴1条， 作图如下： ． 【变式题3-2】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴． 【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意； C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意； D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意； 故选：C． 【变式题3-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 【题型4】画轴对称图形的对称轴 1.核心知识点总结 依据：对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 步骤：找对应点→连接对应点→作连线的垂直平分线，即为对称轴。 2.高频考点梳理 画单一轴对称图形的对称轴（如等腰三角形、菱形）。 画成轴对称的两个图形的对称轴（如网格中△ABC与△A'B'C'）。 仅用无刻度直尺画对称轴。 3.易错点警示 用刻度尺量出中点后，未画垂直（需保证垂直关系，而非仅过中点）。 找错对应点（如折叠图形中，易将非对称点当作对应点）。 忽略“无刻度直尺”限制（如不能用直尺量长度，需利用图形特征）。 4.解题技巧拆解 顶点优先法：优先找图形的顶点作为对应点，连线后作垂直平分线，准确性更高。 交点法：若对应线段延长线相交，交点在对称轴上，结合中点可快速画对称轴。 【例题4】．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）画出下列图形的对称轴 【答案】图象见解析 【分析】本题考查图形的轴对称．根据轴对称的定义画出直线即可． 【详解】解：如图： 【变式题4-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可． 本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： ． 【变式题4-2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴；根据轴对称图形的对称轴定义逐一画图即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴如图； 【变式题4-3】．（2024·新疆·二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴对称图形的对称轴．确定每个图形的对称轴的数量，进行判断即可．掌握对称轴是使轴对称图形翻折后能够重合的直线，是解题的关键． 【详解】解：A中有无数条对称轴，B中有3条对称轴，C中有4条对称轴，D中有6条对称轴． 故选：A． 【题型5】利用轴对称性质求角度 1.核心知识点总结 轴对称性质：对应角相等，对称轴平分对应角的夹角。 折叠性质：折叠前后对应角相等，折痕是角平分线。 2.高频考点梳理 已知原图形角度，求轴对称图形的对应角。 折叠问题中，求折痕与边的夹角或重叠部分的角度。 结合三角形内角和，求轴对称图形中未知角（如△ABC与△A'B'C'对称，求∠A）。 3.易错点警示 折叠问题中，漏加或漏减重叠部分的角度（如折叠后，原角被折痕平分，易误算为原角大小）。 忽略“对应角相等”的前提（需先确认对应关系，再用性质）。 计算时忘记三角形内角和为180°（如等腰三角形轴对称，求底角时误算）。 4.解题技巧拆解 标注法：在图形上标注已知角和对应角，明确折叠前后的相等关系。 方程法：设未知角为x，结合轴对称性质和内角和定理列方程求解。 【例题5】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质；由折叠的性质得，由三角形外角性质得，即可求解． 【详解】解： ，， ， 由折叠得， ， 故答案为：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，再利用折叠性质得到的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠可知，． ． 故答案为：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：连接， ∵D点分别以、为对称轴，得到点E、F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，点D在边上，将点D分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接．根据图中标示的角度，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答． 利用轴对称的性质解答即可． 【详解】解： ∵D点分别以为对称轴， ∴， ， ， 故选：A． 【题型6】利用轴对称性质求线段长度 1.核心知识点总结 轴对称性质：对应边相等，对称点到对称轴的距离相等。 折叠性质：折叠前后对应线段相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.高频考点梳理 已知原图形线段长度，求轴对称图形的对应边。 折叠问题中，求折痕长度、重叠部分线段长度。 结合线段垂直平分线，求线段和（如PA+PB的最小值）。 3.易错点警示 折叠后混淆“原线段”与“折叠后的线段”（如将折叠后的线段长度当作原线段的一部分）。 忽略“对称点到对称轴的距离相等”（如求某点到对称轴的距离，易误算为到顶点的距离）。 计算线段和时，漏加或重复加线段（如△ADE的周长，易漏算DE的长度）。 4.解题技巧拆解 等量代换法：利用对应边相等，将未知线段转化为已知线段。 数形结合法：在网格中，通过数格子或勾股定理求线段长度。 【例题6】．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及性质，根据作图可知垂直平分线段，由线段垂直平分线的性质即可得出． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分线段， ∴， 故选：C 【变式题6-1】．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据作法得到垂直平分，得到 ， 然后利用线段的等量关系将的周长转化为，代入计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长为． 故选：C． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，再由的周长，由此即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：20． 【题型7】线段垂直平分线的尺规作图 1.核心知识点总结 定义：经过线段中点且垂直于该线段的直线，为线段的垂直平分线。 作图依据：与线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 关键步骤：①以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径作弧，两弧交于两点；②过两交点作直线，即为垂直平分线。 2.高频考点梳理 识别尺规作图痕迹（如判断哪组弧是作垂直平分线的痕迹）。 按要求作线段的垂直平分线（如过某点作已知线段的垂直平分线）。 结合实际应用作图（如找到两城镇、两公路距离相等的点）。 3.易错点警示 作弧时半径小于线段一半，导致两弧无交点。 遗漏“过两弧交点作直线”的关键步骤。 误将“过线段中点的直线”当作垂直平分线（未保证垂直）。 4.解题技巧拆解 作图步骤标准化：先确定圆心（线段两端），再控制半径（大于1/2线段长），最后连交点。 【例题7】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，已知钝角三角形，其中是钝角，利用直尺和圆规作边上的高和边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质．延长至，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点A，为圆心，大于长为半径画弧，交于一点，连接交于点M，则即为所求；分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交于点N，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，和即为所求． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线和垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据作图方法可知平分，，由角平分线的性质可得即可判断C；证明，得到，即可判断D；根据直角三角形两锐角互余即可判断A；根据现有条件无法证明，即可判断B． 【详解】解：由作图方法可知，平分，， 又∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵， ∴，故A不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B符合题意； 故选B． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了垂线的作法： （1）根据三角形高的定义，延长，过点向的延长线作垂线，垂足为，线段即为所求； （2）根据过一点作已知直线垂线的方法，过点作的垂线，垂足为，线段即为所求． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）如图，线段即为所求．　 【变式题7-3】．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作矩形，熟练掌握矩形的性质是解决本题的关键． 先由点A作直线b，再截取，由此可得矩形． 【详解】解：以点A为圆心，任意长为半径画弧，与直线b交于点M与点N， 再分别以点M与点N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P， 连接交直线b于点B， 以点C为圆心，长为半径画弧，交直线a于点D， 即四边形是矩形，如图， 【题型8】折叠问题（单折叠）（提升） 1.核心知识点总结 折叠的本质：图形的轴对称变换，折痕为对称轴。 关键结论：折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点连线⊥折痕。 2.高频考点梳理 三角形纸片折叠（如将△ABC沿DE折叠，A点落在A'处，求角度或线段）。 矩形、正方形纸片折叠，求重叠部分角度。 结合勾股定理的折叠问题（如折叠后某线段与原边构成直角三角形）。 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边、对应角（如矩形折叠后，易将AD与A'D混淆）。 忽略“折叠后点的位置”（如点A折叠后落在图形内部或外部，影响线段关系）。 勾股定理应用时，边长代入错误（如混淆直角边和斜边）。 4.解题技巧拆解 画图标注法：折叠后，用虚线画出原图形，实线标注折叠后的图形，明确对应关系。 方程建模法：设未知线段为x，利用对应边相等和勾股定理列方程。 【例题8】．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处．若，若的面积为30，求线段的长． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，根据的面积为30，得出，根据折叠得出，结合的面积为30，运用等面积法即可解答． 【详解】解：在中，，，的面积为30， ∴， ∴， ∵将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处， ∴，， ∴， 即， ∴． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据折叠的性质可知，根据三角形的内角和得到的度数，再根据外角的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，连接AD， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由，可得，由折叠前后对应角相等，可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ，，， ， 由折叠得，， ， ， 故答案为：． 【题型9】台球桌面上的轴对称问题（提升） 1.核心知识点总结 原理：台球反弹时，入射角=反射角，本质是“轴对称变换”（球的运动轨迹关于桌边对称）。 解题关键：将反弹轨迹转化为直线轨迹（作对称点，连接对称点与目标点，与桌边交点为反弹点）。 2.高频考点梳理 确定台球反弹后的入球孔。 求台球反弹的次数或反弹点位置（如长方形桌面中，球经n次反弹击中目标球）。 结合网格或坐标系，求反弹轨迹的长度。 3.易错点警示 作对称点时，找错对称轴（桌边为对称轴，易误将其他直线当作对称轴）。 忽略“多次反弹”的对称变换（如经2次反弹，需作2次对称点）。 计算轨迹长度时，误将折线当作直线（需转化为直线后用勾股定理）。 4.解题技巧拆解 对称转化法：作发球点关于第一条桌边的对称点，再作该对称点关于第二条桌边的对称点……连接最终对称点与目标点，与桌边的交点即为反弹点。 网格法：在网格桌面中，通过数格子确定对称点坐标，再求直线方程找交点。 【例题9】．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解决本题的关键． 首先，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反射为一个循环组依次循环，然后再用2024除以6，根据商和余数的情况确定对应点的坐标即可． 【详解】解：如图所示， 经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵， ∴当P点第2024次碰到矩形的边时的坐标与P点第2次反弹碰到矩形的边时的坐标相同． ∴点P的坐标为． 故答案是B． 【变式题9-2】．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】674 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【题型10】轴对称中的光线反射问题（提升） 1.核心知识点总结 光的反射定律：入射角=反射角，光线的路径关于镜面（对称轴）成轴对称。 多镜面反射：光线经两次或多次反射时，每次反射均遵循轴对称变换。 2.高频考点梳理 求反射光线与入射光线的夹角。 已知镜面角度，求反射光线的方向（如平面镜与水平面成45°，求反射光线的运动方向）。 多镜面反射问题（如两平行镜面、两相交镜面的光线反射）。 3.易错点警示 混淆“入射角”“反射角”（均为光线与法线的夹角，而非与镜面的夹角）。 忽略“法线垂直于镜面”（作对称点时，需先画法线，再确定反射光线）。 多镜面反射时，漏作对称点（如两相交镜面，需作两次对称点转化路径）。 4.解题技巧拆解 法线辅助法：先过入射点作镜面的垂线（法线），再根据入射角=反射角画反射光线。 对称路径法：作光源关于镜面的对称点，连接对称点与接收点，与镜面的交点为入射点，再画入射光线和反射光线。 【例题10】．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式题10-1】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式题10-3】．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述， 或或 故答案为：或或． 【题型11】折叠纸条与数轴的刻度计算问题（培优） 1.核心知识点总结 折叠纸条：折痕为任意刻度(非必为中点)，刻度的对称刻度为。 数轴折叠：折痕为任意刻度(非必为中点)，刻度的对称刻度为；绕原点对折，对称刻度为。 剪断规律：折叠次层数为，剪断1次得段。 2.高频考点梳理 已知任意折痕，求对称刻度。 已知两组重合刻度，求非中点折痕(或）。 任意折痕折叠后剪断，求刻度段。 3.易错点警示 默认折痕为中点，导致公式误用。 数轴折叠忽略负刻度符号。 多折叠后漏算层数。 4.解题技巧拆解 折痕、对称刻度直接套用核心公式，不局限于中点。 剪断段：先求剪断刻度的对称刻度，再按原刻度顺序拆分。 验证方法：用直尺量取线段中点，用量角器验证直线与线段垂直。 【例题11】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度为 ． 【答案】，，或 【分析】本题考查了图形的剪拼，根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为可求得三段的长度，再由不同的组合求出每种情况下的折痕长度即可． 【详解】解：∵三段长度由短到长的比为， ∴三段长度分别为：， ①当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ②当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ③当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ④当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑤当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑥当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； 综上所述，折痕对应的刻度为，，或． 故答案为：，，或． 【变式题11-1】．（25-26七年级上·河南安阳·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面操作一：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是；操作二：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数的点与表示数______的点重合； (2)若点到原点的距离是个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______． (3)若数轴上经折叠后重合的两点、之间的距离为（在的左侧），则点表示的数是______点表示的数是_________． (4)若数轴上，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_________点表示的数是_____． 【答案】(1)；； (2)或； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了数轴的综合应用，读懂题意，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算是解题的关键． 根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据表示数的点与表示数的点重合，计算出折痕表示的数即可； 点到原点的距离是个单位长度，点表示的数是或，设点表示的数是，根据数轴上两点间的距离计算方法分两种情况计算即可； 设点表示的数是，则点表示的数是，根据折叠后两点、重合，可列方程，解方程求出的值，即为点表示的数，再根据、之间的距离求出点表示的数； 设点表示的数是，则点表示的数是，根据折叠后两点重合可列方程：，解方程求出的值，即为点表示的数，再根据，两点之间的距离为，求出点表示的数即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点与表示数的点重合， 折痕对应的数是， 设数轴上表示数的点与表示数的点重合， 可得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设点表示的数是， 点到原点的距离是个单位长度， 点表示的数是或， 当点表示的数是时， 可得：， 解得：， 点表示的数是时， 可得：， 解得：， 点表示的数是或， 故答案为：或； （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 根据题意可得：， 解得：， 则， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （4）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 根据题意可得：， 解得：， ， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，． 【变式题11-2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为2026（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____； (2)若将数轴对折；折痕经过表示4的点，点C刚好与表示的点重合，则点C表示的数是______； (3)在数轴上剪下8个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】(1)①② (2) (3)1或2或3 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据对称性找到折痕的点表示的数，再结合数轴上两点间的距离进行列式计算，即可求解； ②数轴上A、B两点之间距离为2026（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，进行列式计算，即可作答． （2）设点表示的数为，根据将数轴对折；折痕经过表示4的点，点C刚好与表示的点重合，进行列式计算，即可作答． （3）分三种情况进行讨论：如图1，当时，所以设，，，得，，得出、、的值，计算折痕处对应的点所表示的数的值，同理可得出如图2、3折痕处对应的点所表示的数的值，即可作答． 【详解】（1）解：折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴ 则折痕表示的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合， ∴ 解得； 故答案为：； ②数轴上A、B两点之间距离为2026，且A、B两点经折叠后重合， ∴A点表示的数到折痕表示的数的距离是， ∵折痕表示的点为，且点A在B的左侧 ∴ 则A点表示的数是； （2）解： 设点表示的数为， ∵将数轴对折，折痕经过表示4的点，点C刚好与表示的点重合， ∴， 解得 则点C表示的数是； （3）如图1，当时，    设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图2，当时，    设，，， 则， 解得， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时，    设，，， 依题意，得， 解得， ，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是1或2或3． 【变式题11-3】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则折痕处对应的点表示的数是　　　　　　，此时表示数的点与表示数　　　　　　的点重合；若点、相距个单位长度，点在点的左侧，沿折痕折叠后两点重合，则点、表示的数分别是　　　　　　、　　　　　　． (2)操作：若点、表示的数分别是、，折叠纸带，使点的落点在数轴上，且与点距离一个单位长度，求折痕处对应的点表示的数； (3)操作：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向右对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是　　　　　　． 【答案】(1)，，，； (2)或； (3)，，，，，． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系、数轴上的折叠变换问题、分类讨论的思想，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点坐标的绝对值． 根据折痕是重合的两个点的中点计算即可； 点的落点在数轴上，且与点距离一个单位长度，需要分点的落点在点左侧距离点一个单位长度，点的落点在点右侧距离点一个单位长度，两种情况讨论； 根据三条线段的长度之比为，分情况讨论求出折痕表示的数． 【详解】（1）解：折痕处对应的点表示的数是； 设表示数的点与表示数的点重合， 根据题意可得：， 解得：， 表示数的点与表示数的点重合； 设点表示的数是，则点表示的数是， 根据题意可得：， 解得：， 则， 故答案为：，，，； （2）解：当点的落点在点左侧距离点一个单位长度时， 点的落点表示的数是， 则折痕处对应的点表示的数是； 当点的落点在点右侧距离点一个单位长度时， 点的落点表示的数是， 则折痕处对应的点表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点表示的数是或； （3）解：设点表示的数是，点表示的数是， 则， 这三条线段的长度之比为， 每份的长度是， 如下图所示，当时， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 如下图所示，当， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 如下图所示，当时， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 如下图所示，当时， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 如下图所示，当时， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 如下图所示，当时， 则，，， 折痕处对应的点表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点表示的数可能是，，，，，． 【题型12】线段垂直平分线的性质与判定综合（培优） 1.核心知识点总结 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（PA=PB）。 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 三角形外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 2.高频考点梳理 利用性质求线段长度。 利用判定证明某直线为线段的垂直平分线（如证明AD垂直平分EF）。 结合三角形外心求角度或线段（如直角三角形外心在斜边中点）。 3.易错点警示 误用性质（未确认点在线段垂直平分线上，就直接得出PA=PB）。 判定时仅证明一个点在线上（需证明两个点在线上，才能确定直线为垂直平分线）。 忽略三角形外心的位置（钝角三角形外心在三角形外部，易误当作内部）。 4.解题技巧拆解 辅助线法：连接线段两端点与已知点，证明线段相等（判定垂直平分线）；或作垂直平分线，利用性质求线段相等。 整体法：将三角形三边垂直平分线的交点与三个顶点连接，转化为等腰三角形求解。 【例题12】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出，就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵且平分， ∴． ∵为的平分线，， ∴， 在和中 ， ， ∴． （2）解：在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， ∴ 由（1）已证：， ∴， ∴ 【变式题12-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【变式题12-3】．（18-19八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; （2）解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 【题型13】折叠问题（多折叠综合）（培优） 1.核心知识点总结 多折叠本质：多次轴对称变换，每次折叠的折痕为对称轴，后续折叠需基于前一次的对称图形。 关键：每次折叠后，对应边、对应角的关系需连续传递（如第一次折叠的对应角，作为第二次折叠的原角）。 2.高频考点梳理 两次折叠求角度（如长方形纸片两次折叠求∠AFE）。 多次折叠求线段长度（如正方形纸片三次折叠，求重叠部分边长）。 折叠后图形的重合性判断（如两次折叠后，某两点是否重合）。 3.易错点警示 多次折叠后，对应关系混乱（如第一次折叠的A'，第二次折叠后易误当作原A点）。 忽略折叠后的图形边界（如多次折叠后，点可能落在图形外部，影响角度或线段关系）。 计算时漏传对应关系（如第一次折叠的角平分线，第二次折叠后仍为角平分线，易忽略）。 4.解题技巧拆解 分步分析法：按折叠顺序，分步画出每次折叠后的图形，标注对应边、对应角，逐步推导。 角度追踪法：从已知角出发，结合折叠性质，逐步追踪未知角的度数，直至求出目标角。 【例题13】．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．结合图形，先表示出的度数，再根据求解可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题13-1】．（2023七年级·山东潍坊·竞赛）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠压平，，为两条折痕，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，设，，则，，，由折叠的性质可得，，再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，，则，，， 如图： 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题13-2】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）将一张长方形纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，则的度数为 ； （2）将一张长方形纸片按如图②所示的方式折叠，，为折痕，若，求的度数．（写出证明过程）； （3）将一张长方形纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，若，则的度数为 （用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，再根据平角的定义有，易得，则； （2）根据平角的定义得到，由折叠的性质得到，，进而得到，再根据求解； （3）根据折叠的性质得到，，再根据平角的定义 【详解】解：（1）由题意知，， ∵， ∴ ， 故答案为：； （2）， ， ，， ， ； （3） ，， ， ， 故答案为： 【变式题13-3】．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，角的和差，厘清各角之间的关系是解题的关键． （1）由折叠可得，进而得到，根据即可求出，再由角的和差即可求解； （2）根据角的和差求出，，由折叠得到，再由角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵由折叠得到， 又， ∴， ∵， ∴． 【题型14】轴对称性质与最短路径问题（培优） 1.核心知识点总结 原理：利用轴对称将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间，线段最短）。 常见模型：①直线同侧两点到直线上一点的最短距离；②两直线之间一点到两直线再到另一点的最短距离。 2.高频考点梳理 单直线最短路径（如牧马人从A到河边再到B的最短路径）。 双直线最短路径（如台球经两次反弹击中目标球，求最短轨迹）。 结合坐标系的最短路径（如在x轴上找一点P，使PA+PB最小）。 3.易错点警示 作错对称点（如直线同侧两点，需作其中一点关于直线的对称点，易作反或漏作）。 忽略“路径的实际意义”（如最短路径需经过指定区域，易仅考虑线段长度）。 计算直线距离时，勾股定理应用错误（如坐标计算时，横纵坐标差混淆）。 4.解题技巧拆解 对称转化模型： ①单直线：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与l的交点即为P，PA+PB=A'B（最短）。 ②双直线：作点A关于直线l₁的对称点A'，作点B关于直线l₂的对称点B'，连接A'B'，与l₁、l₂的交点即为反弹点，路径最短。 坐标法：在坐标系中，通过对称点坐标求直线方程，再求交点坐标，最后计算距离。 【例题14】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线L的对称点，连接，交直线l于点M，根据轴对称的性质可证明点M即为水泵站的位置，据此可得答案． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 【变式题14-1】．（21-22七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图； ②作线段的垂直平分线即可； （2）分别过作，的对称点，再连接两个对称点与，的交点即可． 【详解】（1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 如图所示；此时的周长最小． 【变式题14-2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点、分别是的边、上的一点． (1)用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数； (3)在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析，理由见解析 【分析】（1）结合平行线的判定与性质，在的右侧作，交于点，作直线即可； （2）由平行线的性质可得，可得； （3）先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示： 直线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示： 此时垂直平分， ∴， ∴，即为最小值， 则点即为所求． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作两个角相等、作线段垂直平分线，涉及平行线的判定与性质、垂直平分线性质、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学几何知识解决问题． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题： (1)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图． ①利用网格线在直线 l上求作一点 Q，使得的和最短，请在直线 l上标出点 Q 位置； ②在网格中，找一格点 E，使与全等（不重合），这样的格点有 个． (2)尺规作图：如图，求作点 P 使得点 P 到、边的距离相等，且同时到A、C两点的距离相等，保留作图痕迹． 【答案】(1)①见解析；②3； (2)见解析． 【分析】本题考查了轴对称－最短路径问题、全等三角形的判定、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）①作点B关于l的对称点，连接交l于点Q，则点Q即为所求； ②根据全等三角形的判定找出所有符合题意的点E即可； （2）作的角平分线与线段的垂直平分线，它们的交点就是所求的点P． 【详解】（1）①如图所示：点Q即为所求； ②如图所示，，，与全等， 故这样的格点有3个； 故答案为：3； （2）如图所示：点P即为所求． 【题型15】跨学科融合（光线反射）提升题（培优） 1.核心知识点总结 光的反射定律：入射角=反射角，光线路径关于镜面成轴对称。 关键转化：将反射光线转化为直线（作光源关于镜面的对称点，连接对称点与接收点，与镜面交点为入射点）。 2.高频考点梳理 两镜面反射：求光线反射后的传播方向或夹角。 结合几何图形（如三角形、矩形）求入射/反射光线与边的夹角。 光线经多次反射后到达目标点的路径判断。 3.易错点警示 混淆“入射角/反射角”（应为光线与法线的夹角，非与镜面的夹角）。 多镜面反射时漏作对称点，导致路径判断错误。 忽略“法线垂直于镜面”的隐含条件。 4.解题技巧拆解 对称转化法：作光源关于每个镜面的对称点，连接最终对称点与目标点，确定入射点和路径。 法线辅助法：过入射点作镜面垂线（法线），结合入射角=反射角推导角度关系。 【例题15】．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 【变式题15-1】．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得：． 【变式题15-2】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下面这四个标志中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）下列图形都是轴对称图形，其中对称轴的条数最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义及对称轴的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各项图形的对称轴条数即可解答． 【详解】解：A．等腰梯形是轴对称图形，有1条对称轴； B．等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴； C．正方形是轴对称图形，有4条对称轴； D．五角星是轴对称图形，有5条对称轴； 故对称轴条数最多的图形是五角星． 故选：D． 3．（25-26八年级上·青海海西·期中）下列图形对称轴最多的是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查对称轴的概念，需要比较每个图形对称轴的数量，对称轴是图形对折后能完全重合的直线． 【详解】解：等腰三角形有1条对称轴， 等边三角形有3条对称轴， 长方形有2条对称轴， 正方形有4条对称轴， 所以对称轴最多的是正方形． 故选：D． 4．（上海市徐汇区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 5．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和平行线的性质，结合三角形内角和定理计算是解题的重要步骤． 根据和垂直平分线的条件，可得到，再根据三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质和垂直平分线的性质计算即可． 【详解】 的垂直平分线与交于点， ，， ，， ，， ， ， 由可得， ． 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 【答案】70°/70度 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质确定，利用平行线性质得到、的度数进行求解即可． 【详解】解： 由折叠的性质得，， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，进行求解即可． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：12． 8．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】17 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到周长，即周长的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， 即周长的最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 故答案为：17 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图1，是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时，形成反射光线和折射光线．反射光线传回第一介质，折射光线进入第二介质．入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角分别叫作反射角、折射角．根据光线的反射定律，入射角总是等于反射角．1657年，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，由于是在同一介质中传播，也就是光线行进的“光程”最短． 此原理是可以用数学方法证明的：如图2，光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，如果沿着入射角等于反射角的路径行进时，可以证明要比其他路径（如沿着路径）短．若作点关于分界面的对称点，连接，请结合证明过程选出下面结论中正确的，将序号填写在横线上 ． ①点三点共线；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．先证明，再根据轴对称的性质得出，即可得出，从而判断①正确；根据轴对称的性质，即可判断②正确；根据垂直平分线的性质即可判断③正确；根据，，即可判断④错误． 【详解】解：∵入射角等于反射角，即， ∴， ∴， 根据轴对称可知：， ∴， ∴点三点共线，故①正确； ∵作点关于分界面的对称点， ∴垂直平分， ∴，故②正确； ∵点P在上，垂直平分， ∴，故③正确； ∵， 又∵， ∴，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形外角的性质等知识，根据成轴对称的图形，对应角相等，得出，，然后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于边所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；. （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图：在中，点为中点，交的平分线于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质定理，利用即可证明，则； （2）根据角平分线的性质定理，利用证明，得到，则，得到，再通过即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得，，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）满足到A、B两个加油站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． （2）过点P作直线，然后作即可得出直线 【详解】（1）解：如图实数，作线段的垂直平分线交的角平分线于点P，则点P即为所求． （2）如图所示，直线即为所求． 15．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）综合与实践 【背景】在学完三角形的内外角之后，数学老师就三角形沿直线折叠问题让同学们展开探究． 【模型】直线分别与的边、交于、两点，现需将含的部分沿直线进行折叠，使点落在直线右方的点处，其中、分别记为和． 【操作】因为不确定的方向和的最终落点，嘉嘉和琪琪有以下两种方案： 【探究】 （1）请分别按照嘉嘉和琪琪的方案探究，和的关系；（用含和的式子表示） 【拓展】 （2）珍珍说还有“点在下方”的情况，请根据下图探究，和的关系．（用含和的式子表示） 【答案】（1）嘉嘉：；琪琪；（2）． 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质以及翻折变换的性质； （1）嘉嘉：连接，根据三角形外角的性质得，进而得出，根据折叠可知，即可求解；琪琪：设，相交于点，可得出，由折叠可知，进而得出，和的关系； （2）设，相交于点，得出，由折叠可知，进而得出，和的关系． 【详解】解：（1）嘉嘉：连接， ， ， 即， 由折叠可知， ， 即． 琪琪：设，相交于点， ， ， 由折叠可知， ， ， 即． （2）设，相交于点， ， ， 由折叠可知， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1图形的轴对称 【题型1】轴对称图形的识别 1.核心知识点总结 定义：平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，该图形为轴对称图形，这条直线叫对称轴。 关键特征：折叠后重合的部分完全一致，对称点连线被对称轴垂直平分。 2.高频考点梳理 识别生活中的轴对称图形（如汉字“美”、图标、剪纸图案等）。 判断几何图形是否为轴对称图形（如等腰三角形、矩形、圆等）。 结合传统文化（剪纸、风筝）或跨学科素材（物理仪器示意图）命题。 3.易错点警示 混淆“轴对称图形”与“成轴对称”（前者是一个图形，后者是两个图形的位置关系）。 误将线段、角的对称轴当作“线段”（实际是直线，如角的对称轴是角平分线所在直线）。 忽略不规则图形的对称轴（如正五边形有5条对称轴，易漏数）。 4.解题技巧拆解 折叠验证法：想象沿某条直线折叠，观察两部分是否完全重合。 关键点法：找图形的顶点、转折点，判断是否能找到直线使对应点连线垂直平分。 【例题1】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式题1-3】．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）下列图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】成轴对称的两个图形判断 1.核心知识点总结 定义：把一个图形沿某条直线折叠，能与另一个图形重合，称这两个图形成轴对称，直线为对称轴。 性质：成轴对称的两个图形≌，对应点连线被对称轴垂直平分。 2.高频考点梳理 判断两组图形是否成轴对称（如网格中两个三角形、坐标系中两个图形）。 结合尺规作图痕迹判断两图形成轴对称的条件。 已知两图形成轴对称，求对应边、对应角或对称轴。 3.易错点警示 认为“全等的两个图形一定成轴对称”（全等是必要条件，而非充分条件）。 找错对应点（如网格图形中，易将非对应顶点当作对称点）。 忽略对称轴的唯一性（两图形成轴对称只有一条对称轴）。 4.解题技巧拆解 对应点法：找到两组对应点，连接对应点，若连线被同一直线垂直平分，则两图形成轴对称。 排除法：先判断图形是否全等，再排除无对称轴的情况。 【例题2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】求轴对称图形的对称轴条数 1.核心知识点总结 常见图形对称轴条数：圆（无数条）、等边三角形（3条）、正方形（4条）、矩形（2条）、等腰三角形（1条）、角（1条）、线段（2条）。 组合图形的对称轴：需结合组成部分的对称性，找能使整体折叠重合的直线。 2.高频考点梳理 直接求单一图形的对称轴条数。 求组合图形（如两个正方形拼接、阴影部分组成的图形）的对称轴条数。 已知对称轴条数，判断图形类型（如“有2条对称轴的四边形是矩形”）。 3.易错点警示 漏数线段的对称轴（线段有2条：垂直平分线和自身所在直线）。 误将平行四边形当作轴对称图形（一般平行四边形无对称轴）。 组合图形中漏找对称轴（如“3个涂黑正方形组成的图形，易漏1条对称轴”）。 4.解题技巧拆解 分类记忆法：熟记常见图形的对称轴条数，建立“图形→条数”对应关系。 画图法：逐一画出可能的对称轴，验证折叠后是否重合，避免漏数或多数。 【例题3】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【变式题3-1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【变式题3-2】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 【题型4】画轴对称图形的对称轴 1.核心知识点总结 依据：对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 步骤：找对应点→连接对应点→作连线的垂直平分线，即为对称轴。 2.高频考点梳理 画单一轴对称图形的对称轴（如等腰三角形、菱形）。 画成轴对称的两个图形的对称轴（如网格中△ABC与△A'B'C'）。 仅用无刻度直尺画对称轴。 3.易错点警示 用刻度尺量出中点后，未画垂直（需保证垂直关系，而非仅过中点）。 找错对应点（如折叠图形中，易将非对称点当作对应点）。 忽略“无刻度直尺”限制（如不能用直尺量长度，需利用图形特征）。 4.解题技巧拆解 顶点优先法：优先找图形的顶点作为对应点，连线后作垂直平分线，准确性更高。 交点法：若对应线段延长线相交，交点在对称轴上，结合中点可快速画对称轴。 【例题4】．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）画出下列图形的对称轴 【变式题4-1】14．（25-26八年级上·全国·课后作业）指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【变式题4-2】．（24-25七年级下·全国·单元测试）请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 【变式题4-3】．（2024·新疆·二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用轴对称性质求角度 1.核心知识点总结 轴对称性质：对应角相等，对称轴平分对应角的夹角。 折叠性质：折叠前后对应角相等，折痕是角平分线。 2.高频考点梳理 已知原图形角度，求轴对称图形的对应角。 折叠问题中，求折痕与边的夹角或重叠部分的角度。 结合三角形内角和，求轴对称图形中未知角（如△ABC与△A'B'C'对称，求∠A）。 3.易错点警示 折叠问题中，漏加或漏减重叠部分的角度（如折叠后，原角被折痕平分，易误算为原角大小）。 忽略“对应角相等”的前提（需先确认对应关系，再用性质）。 计算时忘记三角形内角和为180°（如等腰三角形轴对称，求底角时误算）。 4.解题技巧拆解 标注法：在图形上标注已知角和对应角，明确折叠前后的相等关系。 方程法：设未知角为x，结合轴对称性质和内角和定理列方程求解。 【例题5】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上点处，折痕，则的度数为 ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为 ． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，点D在边上，将点D分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接．根据图中标示的角度，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型6】利用轴对称性质求线段长度 1.核心知识点总结 轴对称性质：对应边相等，对称点到对称轴的距离相等。 折叠性质：折叠前后对应线段相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.高频考点梳理 已知原图形线段长度，求轴对称图形的对应边。 折叠问题中，求折痕长度、重叠部分线段长度。 结合线段垂直平分线，求线段和（如PA+PB的最小值）。 3.易错点警示 折叠后混淆“原线段”与“折叠后的线段”（如将折叠后的线段长度当作原线段的一部分）。 忽略“对称点到对称轴的距离相等”（如求某点到对称轴的距离，易误算为到顶点的距离）。 计算线段和时，漏加或重复加线段（如△ADE的周长，易漏算DE的长度）。 4.解题技巧拆解 等量代换法：利用对应边相等，将未知线段转化为已知线段。 数形结合法：在网格中，通过数格子或勾股定理求线段长度。 【例题6】．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式题6-1】．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 ． 【题型7】线段垂直平分线的尺规作图 1.核心知识点总结 定义：经过线段中点且垂直于该线段的直线，为线段的垂直平分线。 作图依据：与线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 关键步骤：①以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径作弧，两弧交于两点；②过两交点作直线，即为垂直平分线。 2.高频考点梳理 识别尺规作图痕迹（如判断哪组弧是作垂直平分线的痕迹）。 按要求作线段的垂直平分线（如过某点作已知线段的垂直平分线）。 结合实际应用作图（如找到两城镇、两公路距离相等的点）。 3.易错点警示 作弧时半径小于线段一半，导致两弧无交点。 遗漏“过两弧交点作直线”的关键步骤。 误将“过线段中点的直线”当作垂直平分线（未保证垂直）。 4.解题技巧拆解 作图步骤标准化：先确定圆心（线段两端），再控制半径（大于1/2线段长），最后连交点。 【例题7】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，已知钝角三角形，其中是钝角，利用直尺和圆规作边上的高和边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题7-1】．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； 【变式题7-3】．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型8】折叠问题（单折叠）（提升） 1.核心知识点总结 折叠的本质：图形的轴对称变换，折痕为对称轴。 关键结论：折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点连线⊥折痕。 2.高频考点梳理 三角形纸片折叠（如将△ABC沿DE折叠，A点落在A'处，求角度或线段）。 矩形、正方形纸片折叠，求重叠部分角度。 结合勾股定理的折叠问题（如折叠后某线段与原边构成直角三角形）。 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边、对应角（如矩形折叠后，易将AD与A'D混淆）。 忽略“折叠后点的位置”（如点A折叠后落在图形内部或外部，影响线段关系）。 勾股定理应用时，边长代入错误（如混淆直角边和斜边）。 4.解题技巧拆解 画图标注法：折叠后，用虚线画出原图形，实线标注折叠后的图形，明确对应关系。 方程建模法：设未知线段为x，利用对应边相等和勾股定理列方程。 【例题8】．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处．若，若的面积为30，求线段的长． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于 ． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ． 【题型9】台球桌面上的轴对称问题（提升） 1.核心知识点总结 原理：台球反弹时，入射角=反射角，本质是“轴对称变换”（球的运动轨迹关于桌边对称）。 解题关键：将反弹轨迹转化为直线轨迹（作对称点，连接对称点与目标点，与桌边交点为反弹点）。 2.高频考点梳理 确定台球反弹后的入球孔。 求台球反弹的次数或反弹点位置（如长方形桌面中，球经n次反弹击中目标球）。 结合网格或坐标系，求反弹轨迹的长度。 3.易错点警示 作对称点时，找错对称轴（桌边为对称轴，易误将其他直线当作对称轴）。 忽略“多次反弹”的对称变换（如经2次反弹，需作2次对称点）。 计算轨迹长度时，误将折线当作直线（需转化为直线后用勾股定理）。 4.解题技巧拆解 对称转化法：作发球点关于第一条桌边的对称点，再作该对称点关于第二条桌边的对称点……连接最终对称点与目标点，与桌边的交点即为反弹点。 网格法：在网格桌面中，通过数格子确定对称点坐标，再求直线方程找交点。 【例题9】．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式题9-2】．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【题型10】轴对称中的光线反射问题（提升） 1.核心知识点总结 光的反射定律：入射角=反射角，光线的路径关于镜面（对称轴）成轴对称。 多镜面反射：光线经两次或多次反射时，每次反射均遵循轴对称变换。 2.高频考点梳理 求反射光线与入射光线的夹角。 已知镜面角度，求反射光线的方向（如平面镜与水平面成45°，求反射光线的运动方向）。 多镜面反射问题（如两平行镜面、两相交镜面的光线反射）。 3.易错点警示 混淆“入射角”“反射角”（均为光线与法线的夹角，而非与镜面的夹角）。 忽略“法线垂直于镜面”（作对称点时，需先画法线，再确定反射光线）。 多镜面反射时，漏作对称点（如两相交镜面，需作两次对称点转化路径）。 4.解题技巧拆解 法线辅助法：先过入射点作镜面的垂线（法线），再根据入射角=反射角画反射光线。 对称路径法：作光源关于镜面的对称点，连接对称点与接收点，与镜面的交点为入射点，再画入射光线和反射光线。 【例题10】．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【变式题10-1】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题10-2】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【变式题10-3】．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【题型11】折叠纸条与数轴的刻度计算问题（培优） 1.核心知识点总结 折叠纸条：折痕为任意刻度(非必为中点)，刻度的对称刻度为。 数轴折叠：折痕为任意刻度(非必为中点)，刻度的对称刻度为；绕原点对折，对称刻度为。 剪断规律：折叠次层数为，剪断1次得段。 2.高频考点梳理 已知任意折痕，求对称刻度。 已知两组重合刻度，求非中点折痕(或）。 任意折痕折叠后剪断，求刻度段。 3.易错点警示 默认折痕为中点，导致公式误用。 数轴折叠忽略负刻度符号。 多折叠后漏算层数。 4.解题技巧拆解 折痕、对称刻度直接套用核心公式，不局限于中点。 剪断段：先求剪断刻度的对称刻度，再按原刻度顺序拆分。 验证方法：用直尺量取线段中点，用量角器验证直线与线段垂直。 【例题10】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度为 ． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·河南安阳·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面操作一：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是；操作二：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数的点与表示数______的点重合； (2)若点到原点的距离是个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______． (3)若数轴上经折叠后重合的两点、之间的距离为（在的左侧），则点表示的数是______点表示的数是_________． (4)若数轴上，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_________点表示的数是_____． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为2026（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____； (2)若将数轴对折；折痕经过表示4的点，点C刚好与表示的点重合，则点C表示的数是______； (3)在数轴上剪下8个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则折痕处对应的点表示的数是　　　　　　，此时表示数的点与表示数　　　　　　的点重合；若点、相距个单位长度，点在点的左侧，沿折痕折叠后两点重合，则点、表示的数分别是　　　　　　、　　　　　　． (2)操作：若点、表示的数分别是、，折叠纸带，使点的落点在数轴上，且与点距离一个单位长度，求折痕处对应的点表示的数； (3)操作：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向右对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是　　　　　　． 【题型12】线段垂直平分线的性质与判定综合（培优） 1.核心知识点总结 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（PA=PB）。 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 三角形外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 2.高频考点梳理 利用性质求线段长度。 利用判定证明某直线为线段的垂直平分线（如证明AD垂直平分EF）。 结合三角形外心求角度或线段（如直角三角形外心在斜边中点）。 3.易错点警示 误用性质（未确认点在线段垂直平分线上，就直接得出PA=PB）。 判定时仅证明一个点在线上（需证明两个点在线上，才能确定直线为垂直平分线）。 忽略三角形外心的位置（钝角三角形外心在三角形外部，易误当作内部）。 4.解题技巧拆解 辅助线法：连接线段两端点与已知点，证明线段相等（判定垂直平分线）；或作垂直平分线，利用性质求线段相等。 整体法：将三角形三边垂直平分线的交点与三个顶点连接，转化为等腰三角形求解。 【例题12】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F． (1)求证：； (2)求的长． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【变式题12-3】．（18-19八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 【题型13】折叠问题（多折叠综合）（培优） 1.核心知识点总结 多折叠本质：多次轴对称变换，每次折叠的折痕为对称轴，后续折叠需基于前一次的对称图形。 关键：每次折叠后，对应边、对应角的关系需连续传递（如第一次折叠的对应角，作为第二次折叠的原角）。 2.高频考点梳理 两次折叠求角度（如长方形纸片两次折叠求∠AFE）。 多次折叠求线段长度（如正方形纸片三次折叠，求重叠部分边长）。 折叠后图形的重合性判断（如两次折叠后，某两点是否重合）。 3.易错点警示 多次折叠后，对应关系混乱（如第一次折叠的A'，第二次折叠后易误当作原A点）。 忽略折叠后的图形边界（如多次折叠后，点可能落在图形外部，影响角度或线段关系）。 计算时漏传对应关系（如第一次折叠的角平分线，第二次折叠后仍为角平分线，易忽略）。 4.解题技巧拆解 分步分析法：按折叠顺序，分步画出每次折叠后的图形，标注对应边、对应角，逐步推导。 角度追踪法：从已知角出发，结合折叠性质，逐步追踪未知角的度数，直至求出目标角。 【例题13】．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图在长方形纸片中，点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点，若平分，且在内部，如图设，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【变式题13-1】．（2023七年级·山东潍坊·竞赛）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠压平，，为两条折痕，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式题13-2】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）将一张长方形纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，则的度数为 ； （2）将一张长方形纸片按如图②所示的方式折叠，，为折痕，若，求的度数．（写出证明过程）； （3）将一张长方形纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，若，则的度数为 （用含的式子表示） 【变式题13-3】．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 【题型14】轴对称性质与最短路径问题（培优） 1.核心知识点总结 原理：利用轴对称将“折线距离”转化为“直线距离”（两点之间，线段最短）。 常见模型：①直线同侧两点到直线上一点的最短距离；②两直线之间一点到两直线再到另一点的最短距离。 2.高频考点梳理 单直线最短路径（如牧马人从A到河边再到B的最短路径）。 双直线最短路径（如台球经两次反弹击中目标球，求最短轨迹）。 结合坐标系的最短路径（如在x轴上找一点P，使PA+PB最小）。 3.易错点警示 作错对称点（如直线同侧两点，需作其中一点关于直线的对称点，易作反或漏作）。 忽略“路径的实际意义”（如最短路径需经过指定区域，易仅考虑线段长度）。 计算直线距离时，勾股定理应用错误（如坐标计算时，横纵坐标差混淆）。 4.解题技巧拆解 对称转化模型： ①单直线：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与l的交点即为P，PA+PB=A'B（最短）。 ②双直线：作点A关于直线l₁的对称点A'，作点B关于直线l₂的对称点B'，连接A'B'，与l₁、l₂的交点即为反弹点，路径最短。 坐标法：在坐标系中，通过对称点坐标求直线方程，再求交点坐标，最后计算距离。 【例题14】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式题14-1】．（21-22七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【变式题14-2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点、分别是的边、上的一点． (1)用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数； (3)在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题： (1)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图． ①利用网格线在直线 l上求作一点 Q，使得的和最短，请在直线 l上标出点 Q 位置； ②在网格中，找一格点 E，使与全等（不重合），这样的格点有 个． (2)尺规作图：如图，求作点 P 使得点 P 到、边的距离相等，且同时到A、C两点的距离相等，保留作图痕迹． 【题型15】跨学科融合（光线反射）提升题（培优） 1.核心知识点总结 光的反射定律：入射角=反射角，光线路径关于镜面成轴对称。 关键转化：将反射光线转化为直线（作光源关于镜面的对称点，连接对称点与接收点，与镜面交点为入射点）。 2.高频考点梳理 两镜面反射：求光线反射后的传播方向或夹角。 结合几何图形（如三角形、矩形）求入射/反射光线与边的夹角。 光线经多次反射后到达目标点的路径判断。 3.易错点警示 混淆“入射角/反射角”（应为光线与法线的夹角，非与镜面的夹角）。 多镜面反射时漏作对称点，导致路径判断错误。 忽略“法线垂直于镜面”的隐含条件。 4.解题技巧拆解 对称转化法：作光源关于每个镜面的对称点，连接最终对称点与目标点，确定入射点和路径。 法线辅助法：过入射点作镜面垂线（法线），结合入射角=反射角推导角度关系。 【例题15】．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【变式题15-1】．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【变式题15-2】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下面这四个标志中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）下列图形都是轴对称图形，其中对称轴的条数最多的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·青海海西·期中）下列图形对称轴最多的是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 4．（上海市徐汇区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___________． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图1，是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时，形成反射光线和折射光线．反射光线传回第一介质，折射光线进入第二介质．入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角分别叫作反射角、折射角．根据光线的反射定律，入射角总是等于反射角．1657年，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，由于是在同一介质中传播，也就是光线行进的“光程”最短． 此原理是可以用数学方法证明的：如图2，光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，如果沿着入射角等于反射角的路径行进时，可以证明要比其他路径（如沿着路径）短．若作点关于分界面的对称点，连接，请结合证明过程选出下面结论中正确的，将序号填写在横线上 ． ①点三点共线；②；③；④ 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图：在中，点为中点，交的平分线于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 14．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 15．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）综合与实践 【背景】在学完三角形的内外角之后，数学老师就三角形沿直线折叠问题让同学们展开探究． 【模型】直线分别与的边、交于、两点，现需将含的部分沿直线进行折叠，使点落在直线右方的点处，其中、分别记为和． 【操作】因为不确定的方向和的最终落点，嘉嘉和琪琪有以下两种方案： 【探究】 （1）请分别按照嘉嘉和琪琪的方案探究，和的关系；（用含和的式子表示） 【拓展】 （2）珍珍说还有“点在下方”的情况，请根据下图探究，和的关系．（用含和的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $