第13章 三角形 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上学期

该初中数学讲义通过表格与分层框架系统梳理三角形知识体系，涵盖定义分类、重要线段、内角外角及多边形拓展，用对比表格呈现三角形按角按边分类与三线性质，突出三边关系、内角和定理等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如三角形识别与三边关系判定，培优题型涉及等腰三角形分类讨论与折叠角度计算，压轴题型融入跨学科镜面反射和几何模型探究，强调分类讨论与等量代换的推理意识，培养空间观念与创新意识，易错点总结助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第13章 三角形 知识点1：三角形的定义与分类   1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记为，具备3个顶点、3条边、3个内角。   2. 三角形分类 分类依据 类别 说明 按角分类 锐角三角形 三个内角全部是锐角 直角三角形 有一个内角为，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分类 不等边三角形 三边长度均不相等 等腰三角形 至少有两条边相等；等边三角形是特殊等腰三角形 知识点2：与三角形有关的线段   1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。若三边长为，则；实际判断只需验证较短两边之和大于最长边。   2. 三角形三条重要线段 线段类型 定义 核心性质 中线 顶点到对边中点的线段 三条中线交于重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段 三条角平分线交于三角形内部一点；平分对应内角 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段 锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部；三条高所在直线交于一点   3. 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，生活中支架、钢架结构常利用该性质。 知识点3：三角形的内角   1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 内角和推导思想：可通过剪拼、作平行线将内角转化为平角，证明内角和定理。 知识点4：三角形的外角   1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。   2. 外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个与它不相邻的内角。   3. 三角形外角和：三角形三个外角之和等于。 知识点5：多边形基础（本章拓展）   1. 多边形内角和与外角和：边形内角和公式；任意多边形外角和恒等于，与边数无关。   2. 多边形对角线：从一个顶点可引出条对角线；边形总对角线条数。 【基础必考题型】 【题型1】三角形识别与分类判定 1.核心知识点:   三角形概念；按角、按边对三角形分类；直角三角形判定（两角互余）。 2.解题方法技巧:   ①按角分类看最大内角：最大角为锐角是锐角三角形，最大角为直角是直角三角形，最大角为钝角是钝角三角形。   ②按边分类区分不等边、等腰三角形，明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（    ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定．根据有两条边相等的三角形是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， 综上，共有3个等腰三角形， 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断． 【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误； 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误； 等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确． 故选：D． 【题型2】三角形三边关系判定与取值范围求解 1.核心知识点:   三角形三边不等关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边；利用三边关系判定线段能否构成三角形、求解第三边取值范围。 2.解题方法技巧:   ①判定构成三角形：将三边长度从小到大排序，仅需验证较短两边之和大于最长边即可，简化判定步骤。   ②求第三边范围：已知两边长，直接套用，根据题干要求筛选整数解或取值区间。 【例题2】.（26-27八年级上·北京·开学考试）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】比较每组中两条较短线段的和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、， 能组成三角形，符合题意； B、， 不能组成三角形，不符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期末）已知三角形的三边长分别为，，，则x不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系，即三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵三角形两边长分别为和，第三边长为， ∴，即， ∵不在范围内，，，在范围内， ∴不可能是． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（    ） A．12 B．14 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：设第三边长为， ∵已知两边长分别为5和8， ∴， 化简得， 观察选项，只有选项A的12在该取值范围内． 【题型3】三角形内角和基础角度计算 1.核心知识点:   三角形内角和；直角三角形两锐角互余性质。 2.解题方法技巧:   ①已知两角直接利用内角和求第三角，已知角度比例可设未知数列方程求解。   ②直角三角形角度计算优先使用两锐角互余，简化运算步骤。 【例题3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两个锐角的和是（     ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于，所以用减去直角三角形中直角的度数，即可求出两个锐角的和． 【详解】解：∵任意三角形内角和为，直角三角形有一个内角为， ∴直角三角形两个锐角的和为 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，再结合三角板角的特征，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∵该三角板为含有角的直角三角板， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 【题型4】利用外角性质基础求角度 1.核心知识点:   三角形外角定理；外角与内角的大小关系。 2.解题方法技巧:   ①严格区分外角对应的不相邻内角，杜绝代入相邻内角计算的错误。   ②结合图形识别外角位置，利用外角和内角的数量关系快速转化角度。 【例题4】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2所示， ， 根据三角形外角定理可得， ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，是的一个外角， ∴ ∵， ∴. 【变式题4-3】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线得到，由三角形外角的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 则． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形与三边关系综合 1.核心知识点:   等腰三角形边长特征；三角形三边关系；等腰三角形周长计算。 2.解题方法技巧:   ①分类讨论已知边长为腰或底边两种情况，完整覆盖所有可能性。   ②每种情况计算出三边长后，必须用三边关系检验，舍去无法构成三角形的无效解。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形内角和为，若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰的顶角， ∴底角为． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，即已知边长为腰长或为底边长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不能构成三角形的情况，即可得到符合题意的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况：若边长为腰长，则底边长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况； 情况：若边长为底边长，则腰长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴腰长为， 故答案为． 【变式题5-3】.（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 【题型6】中线平分面积的面积计算 1.核心知识点:   三角形中线等分面积性质；多层嵌套中线的面积比例关系。 2.解题方法技巧:   ①任意一条中线将三角形面积平分，多层中点嵌套可逐层推导面积比例。   ②区分中线带来的面积变化与周长变化，避免概念混淆。 【例题6】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识，建立阴影部分面积与总面积的数量关系即可． 【详解】解：点是的中点， ， 点是的中点， 在中，， 在中，， ， 阴影部分的面积之和是10， ， ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 【答案】 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴． 【题型7】折叠变换中的三角形角度计算 1.核心知识点:   折叠的全等性质；三角形内角和定理；外角性质。 2.解题方法技巧:   ①标记折叠前后相等的对应角，利用等量代换转化角度。   ②根据折叠后落点在三角形内部或外部，分情况计算角度，避免漏解。 【例题7】.（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科镜面反射三角形角度探究 1.核心知识点:   光的反射定律；平角定义；三角形内角和定理。 2.解题方法技巧:   ①将物理反射条件转化为几何等角关系，构建三角形角度模型。   ②通过设未知数、列角度等式，推导两角之间的固定数量关系。 【例题8】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到． （I）若，则________度； （II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度． 【答案】 【分析】（I）利用互余关系求出的度数，即可得出结果； （II）设，根据反射规律，平行线的性质，三角形的内角和定理推出，进行求解即可. 【详解】解：（I）由题意，， ∴， ∴； （II）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即. 【变式题8-3】.（25-26七年级下·广东江门·开学考试）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． (1)如图①，若，则 °； 若，则 °． (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B． ①如图②，当为多少度时，光线？请说明理由． ②如图③，若两条光线，相交于点，请探究与之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)65，50 (2) 解：①如图②，设，， ∴， ， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴当为90度时，光线； ②如图③，设，， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即． 【分析】（1）①根据反射角等于入射角，可得，根据，即可得到； ②根据反射角等于入射角，可得，再根据，即可得出的度数； （2）①设，，根据，可得，再根据三角形内角和定理进行计算即可； ②设，，根据三角形内角和定理可得，再根据三角形内角和定理可得，进而得出． 【详解】（1）解：①如图①，根据反射角等于入射角，可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 根据反射角等于入射角，可得， ∴； （2）略 【题型9】经典几何模型角度探究 1.核心知识点:   三角形内角和定理；外角性质；几何等量代换思想。 2.解题方法技巧:   ①熟练运用8字形、飞镖模型的固定角度结论，快速解题。   ②复杂组合图形拆分多个基础模型，分步推导，简化计算逻辑。 【例题9】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)，理由如下： 、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． 即； (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·北京·期末）已知，在中，，，分别平分与． (1)如图1，当时，则___________； (2)如图2，延长与交于点，过作交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，的外角平分线与的延长线交于点，过点作交的反向延长线于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3)或 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定，再根据角平分线的定义求解即可； （2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，，再由三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的定义和性质，即可确定答案； （3）首先确定，，然后分、和三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴ ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴， ∴，不合题意，舍去． 综上所述，的度数为或． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 【题型10】三角形新定义探究问题 1.核心知识点:   依托三角形内角和、外角性质、角度运算基础；结合全新自定义几何概念，完成理解、推理、分类求解。 2.解题方法技巧:   ①先精读题干，精准提取新定义规则，转化为熟悉的三角形角度关系。   ②常规情况直接套用定义计算，多解题型必须分类讨论，杜绝漏解。   ③综合题型结合折叠、平行线、角平分线性质，联立定义推导角度结果，最后检验答案合理性。 【例题10】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)是的一个外角， ， 又， ， ∵， ， 是“和谐三角形”； (3)或 【分析】（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴的三个内角度数为 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 不是“和谐三角形”； （2）略 （3）解：，， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， ∴或 或． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)① ②解：是的黄金角，理由如下： 如图，为的边上的高，垂足为， ，， ， 平分， ， ． ， ， ， ， 为高， ， ， ， ， 即， 是的黄金角． 【分析】（1）根据“黄金角”的定义与互余的定义求解； （2）①根据三角形内角和为，将用表示出来，再根据角平分线与平行线的性质将用表示出来，最后利用“黄金角”的定义求解；②根据角平分线与平行线的性质将的度数求出来，根据三角形高的性质求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴，， ∵， 根据“黄金角”的定义得， ∴，解得． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵与互为“黄金角”,且， ∴， 解得． ②略 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；； ②解：是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的度数为或 (4) 【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解； （2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解； （3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可； （4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解． 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ∴， 解得； （2）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互为“黄金角”， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的度数为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得， ，， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴当时， 联立得， ， 解得； 当时， 联立得， ， 解得； 综上所述， 的度数为或； （4）解：如图，设与交于点F， 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴， ， ∴． 易错点 1. 三边关系检验遗漏：求解等腰三角形边长、线段构成三角形问题时，分类讨论后未用三边关系检验，保留无效解。 2. 三角形高认知误区：仅认为三角形的高在内部，忽略钝角三角形两条高在外部，导致画图、计算漏情况。 3. 外角定理误用：混淆三角形内角与外角关系，错误代入相邻内角计算外角，角度推导出错。 4. 折叠角度等量混乱：折叠综合题型中，无法准确识别对应等角，等量代换逻辑混乱，计算失误。 5. 多边形公式混淆：记错n边形内角和、对角线公式，混淆内角和与外角和的固定规律。 重点 1. 三角形三边关系：熟练掌握线段能否构成三角形的判定方法，能准确求解第三边的取值范围。 2. 三角形重要线段性质：掌握中线、角平分线、高的核心定义与性质，重点运用中线等分面积解题。 3. 角度核心定理：灵活运用三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、外角性质进行角度计算。 4. 分类讨论思想：掌握等腰三角形边长、多解角度问题的分类讨论方法，规范解题步骤。 难点 1. 复杂角度推导：钝角三角形高的识别，高与角平分线组合的复杂代数式角度推导。 2. 几何综合推理：折叠、动点、经典几何模型结合的综合题型，几何等量代换与逻辑推理书写。 3. 情境建模应用：跨学科、传统文化、生活实践类题型，将文字情境转化为标准几何模型。 4. 多边形综合运算：三角形与多边形内角和、外角和、对角线公式的综合应用与计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】验证较短两条线段的和是否大于最长线段，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 2．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 3．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及有序枚举的方法，不重不漏地找出所有满足周长为12的整数边长组合，并验证其能否构成三角形． 【详解】解：设三角形三边的火柴数为，均为正整数，． 总火柴数12根：． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边： 又，所以是最大边， ． 的取值为：4、5 当时，，又，得， 当时， ， ， 或， 得到三组：、、 二、填空题 4．如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 5．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 6．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 7．在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的数量关系结合三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴. 8．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ， 又, , ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以证明结论； （2）结合角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由略． （2）解：，， ，， 平分， ， ， ， ， 又, ， ， ， 在中，， ． 9．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）将线段向左平移三个单位，再向下平移1个单位，得到线段，连接，则即为所求； （2）根据网格特点在上取格点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：根据平移可得：， ∴， 根据网格可得：，分别是两个大小相同的长方形的对角线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：结合小正方形的特点可得：， ∴． 10．【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 知识点1：三角形的定义与分类   1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记为，具备3个顶点、3条边、3个内角。   2. 三角形分类 分类依据 类别 说明 按角分类 锐角三角形 三个内角全部是锐角 直角三角形 有一个内角为，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分类 不等边三角形 三边长度均不相等 等腰三角形 至少有两条边相等；等边三角形是特殊等腰三角形 知识点2：与三角形有关的线段   1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。若三边长为，则；实际判断只需验证较短两边之和大于最长边。   2. 三角形三条重要线段 线段类型 定义 核心性质 中线 顶点到对边中点的线段 三条中线交于重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段 三条角平分线交于三角形内部一点；平分对应内角 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段 锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部；三条高所在直线交于一点   3. 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，生活中支架、钢架结构常利用该性质。 知识点3：三角形的内角   1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 内角和推导思想：可通过剪拼、作平行线将内角转化为平角，证明内角和定理。 知识点4：三角形的外角   1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。   2. 外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个与它不相邻的内角。   3. 三角形外角和：三角形三个外角之和等于。 知识点5：多边形基础（本章拓展）   1. 多边形内角和与外角和：边形内角和公式；任意多边形外角和恒等于，与边数无关。   2. 多边形对角线：从一个顶点可引出条对角线；边形总对角线条数。 【基础必考题型】 【题型1】三角形识别与分类判定 1.核心知识点:   三角形概念；按角、按边对三角形分类；直角三角形判定（两角互余）。 2.解题方法技巧:   ①按角分类看最大内角：最大角为锐角是锐角三角形，最大角为直角是直角三角形，最大角为钝角是钝角三角形。   ②按边分类区分不等边、等腰三角形，明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式题1-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（    ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【题型2】三角形三边关系判定与取值范围求解 1.核心知识点:   三角形三边不等关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边；利用三边关系判定线段能否构成三角形、求解第三边取值范围。 2.解题方法技巧:   ①判定构成三角形：将三边长度从小到大排序，仅需验证较短两边之和大于最长边即可，简化判定步骤。   ②求第三边范围：已知两边长，直接套用，根据题干要求筛选整数解或取值区间。 【例题2】.（26-27八年级上·北京·开学考试）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期末）已知三角形的三边长分别为，，，则x不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（    ） A．12 B．14 C．3 D．2 【题型3】三角形内角和基础角度计算 1.核心知识点:   三角形内角和；直角三角形两锐角互余性质。 2.解题方法技巧:   ①已知两角直接利用内角和求第三角，已知角度比例可设未知数列方程求解。   ②直角三角形角度计算优先使用两锐角互余，简化运算步骤。 【例题3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的两个锐角的和是（     ）度． A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）一把直尺和一把含有角的直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型4】利用外角性质基础求角度 1.核心知识点:   三角形外角定理；外角与内角的大小关系。 2.解题方法技巧:   ①严格区分外角对应的不相邻内角，杜绝代入相邻内角计算的错误。   ②结合图形识别外角位置，利用外角和内角的数量关系快速转化角度。 【例题4】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形与三边关系综合 1.核心知识点:   等腰三角形边长特征；三角形三边关系；等腰三角形周长计算。 2.解题方法技巧:   ①分类讨论已知边长为腰或底边两种情况，完整覆盖所有可能性。   ②每种情况计算出三边长后，必须用三边关系检验，舍去无法构成三角形的无效解。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【变式题5-3】.（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【题型6】中线平分面积的面积计算 1.核心知识点:   三角形中线等分面积性质；多层嵌套中线的面积比例关系。 2.解题方法技巧:   ①任意一条中线将三角形面积平分，多层中点嵌套可逐层推导面积比例。   ②区分中线带来的面积变化与周长变化，避免概念混淆。 【例题6】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题6-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 【题型7】折叠变换中的三角形角度计算 1.核心知识点:   折叠的全等性质；三角形内角和定理；外角性质。 2.解题方法技巧:   ①标记折叠前后相等的对应角，利用等量代换转化角度。   ②根据折叠后落点在三角形内部或外部，分情况计算角度，避免漏解。 【例题7】.（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科镜面反射三角形角度探究 1.核心知识点:   光的反射定律；平角定义；三角形内角和定理。 2.解题方法技巧:   ①将物理反射条件转化为几何等角关系，构建三角形角度模型。   ②通过设未知数、列角度等式，推导两角之间的固定数量关系。 【例题8】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【变式题8-1】.（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【变式题8-2】.（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到． （I）若，则________度； （II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·广东江门·开学考试）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． (1)如图①，若，则 °； 若，则 °． (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B． ①如图②，当为多少度时，光线？请说明理由． ②如图③，若两条光线，相交于点，请探究与之间满足的等量关系，并说明理由． 【题型9】经典几何模型角度探究 1.核心知识点:   三角形内角和定理；外角性质；几何等量代换思想。 2.解题方法技巧:   ①熟练运用8字形、飞镖模型的固定角度结论，快速解题。   ②复杂组合图形拆分多个基础模型，分步推导，简化计算逻辑。 【例题9】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·北京·期末）已知，在中，，，分别平分与． (1)如图1，当时，则___________； (2)如图2，延长与交于点，过作交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，的外角平分线与的延长线交于点，过点作交的反向延长线于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【题型10】三角形新定义探究问题 1.核心知识点:   依托三角形内角和、外角性质、角度运算基础；结合全新自定义几何概念，完成理解、推理、分类求解。 2.解题方法技巧:   ①先精读题干，精准提取新定义规则，转化为熟悉的三角形角度关系。   ②常规情况直接套用定义计算，多解题型必须分类讨论，杜绝漏解。   ③综合题型结合折叠、平行线、角平分线性质，联立定义推导角度结果，最后检验答案合理性。 【例题10】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 易错点 1. 三边关系检验遗漏：求解等腰三角形边长、线段构成三角形问题时，分类讨论后未用三边关系检验，保留无效解。 2. 三角形高认知误区：仅认为三角形的高在内部，忽略钝角三角形两条高在外部，导致画图、计算漏情况。 3. 外角定理误用：混淆三角形内角与外角关系，错误代入相邻内角计算外角，角度推导出错。 4. 折叠角度等量混乱：折叠综合题型中，无法准确识别对应等角，等量代换逻辑混乱，计算失误。 5. 多边形公式混淆：记错n边形内角和、对角线公式，混淆内角和与外角和的固定规律。 重点 1. 三角形三边关系：熟练掌握线段能否构成三角形的判定方法，能准确求解第三边的取值范围。 2. 三角形重要线段性质：掌握中线、角平分线、高的核心定义与性质，重点运用中线等分面积解题。 3. 角度核心定理：灵活运用三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、外角性质进行角度计算。 4. 分类讨论思想：掌握等腰三角形边长、多解角度问题的分类讨论方法，规范解题步骤。 难点 1. 复杂角度推导：钝角三角形高的识别，高与角平分线组合的复杂代数式角度推导。 2. 几何综合推理：折叠、动点、经典几何模型结合的综合题型，几何等量代换与逻辑推理书写。 3. 情境建模应用：跨学科、传统文化、生活实践类题型，将文字情境转化为标准几何模型。 4. 多边形综合运算：三角形与多边形内角和、外角和、对角线公式的综合应用与计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 二、填空题 4．如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 5．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 6．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 三、解答题 7．在中，，，是的角平分线，求的度数． 8．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 9．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 10．【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $