第13章 三角形 单元复习（9大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学八年级上册易错题重难点培优讲义
|
2份
|
71页
|
2人阅读
|
2人下载
精品
内容正文：
第13章 三角形
知识点1：三角形的概念与基本元素
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
2.基本元素：组成三角形的线段叫边，相邻两边的公共端点叫顶点，相邻两边组成的角叫内角。
3.表示：顶点是A、B、C的三角形记作，读作"三角形ABC"；三边常用、、表示（顶点A所对的边BC用表示）。
知识点2：三角形的分类
分类标准
类型
说明
按角分
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三个角都是锐角的为锐角三角形；有一个角是直角或钝角的分别为直角三角形、钝角三角形
按边分
三边都不相等的三角形、等腰三角形
有两条边相等的为等腰三角形；三边都相等的为等边三角形（是特殊的等腰三角形）
等腰三角形中：相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。
知识点3：三角形的三边关系与稳定性
1.关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
2.判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段之和大于最长线段，则可组成三角形。
3.三角形具有稳定性，四边形、多边形不具有稳定性。
知识点4：三角形的中线
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段叫中线。
2.三条中线相交于一点，交点叫重心，重心在三角形内部。
3.性质：中线把三角形分成面积相等的两部分。
知识点5：三角形的角平分线
1.定义：三角形一个角的平分线与对边相交，连接顶点和交点的线段叫角平分线。
2.任意三角形都有三条角平分线，交于一点（在三角形内部）。
注意：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线。
知识点6：三角形的高
1.定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫高。
三角形
内部高的条数
三条高所在直线交点位置
三条高是否相交
锐角三角形
3
三角形内部
相交
直角三角形
1
直角顶点
相交
钝角三角形
1
三角形外部
不相交
知识点7：三角形内角和定理
1.定理：三角形三个内角的和等于，即。
2.倒角模型：由内角和定理可得（A字型）、（8字型）等角度关系。
知识点8：直角三角形的性质与判定
1.性质：直角三角形的两个锐角互余，即（当时）。
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点9：三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角。
2.性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于与它不相邻的任意一个内角。
3.三角形的外角和等于360°。
【易错题型】
【题型1】三角形的高
1.易错点总结
（1）钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时易遗漏；
（2）三条高所在直线的交点位置判断错误（锐角在内部、直角在顶点、钝角在外部）；
（3）作高时未向对边所在直线作垂线，而只向对边作垂线。
2.纠错技巧
（1）高是从顶点向对边所在直线作垂线得到的线段；
（2）钝角三角形作高时需延长对边再作垂线；
（3）用"交点位置表"判断三角形类型；
（4）求面积时先确定高与对应底。
【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，线段是的高的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．线段与不垂直，所以线段不是的高；
B．线段与不垂直，所以线段不是的高；
C．线段与不垂直，所以线段不是的高；
D．线段与垂直，所以是的高．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，根据定义判断即可．
【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应是过顶点且垂直于所在直线的线段，
由图可知交的延长线于点，
所以边上的高是线段．
【变式题1-2】.（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）画中边上的高，下列画法中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题要求画边上的高，即过点作所在直线的垂线．
【详解】 解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于 边所在的直线．
A选项中，垂线未垂直于边，不符合定义；
B选项中，垂线过点而非点 ，不符合定义；
C选项中，垂线未垂直于边，不符合定义；
D选项中，过点作延长线的垂线，符合钝角三角形边上高的定义．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高），判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形即可．
【详解】解：A、所作线段不垂直，故A选项错误；
B、所作线段不是从点B出发，故B选项错误；
C、所作线段不垂直，故C选项错误；
D、所作线段是从点B出发，且垂足在的延长线上，符合边上的高的定义，故D选项正确，符合题意．
【基础题型】
【题型2】三角形的概念与分类
解题技巧：
（1）三角形由不在同一直线上的三条线段首尾相接组成；
（2）分类按角、边两个标准；
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形；
（4）判断三角形类型，先看最大角的度数。
【例题2】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意；
分类正确，故选项D正确，符合题意．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）三角形按边的相等关系分类如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．M表示三边都不相等的三角形 B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形 D．N表示等边三角形
【答案】B
【分析】根据三角形按边的相等关系分类可直接选出答案．
【详解】解：三角形按边的相等关系分类：分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为底与腰不相等的等腰三角形和等边三角形，
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形，
故选项A、C、D说法正确，不符合题意；
选项B是按角分类，故说法错误，符合题意．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A．三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形
B．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
D．等腰三角形一定是锐角三角形
【答案】B
【详解】解：A选项，三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，不能与等腰三角形并列，错误，该选项不符合题意；
B选项，三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确，该选项符合题意；
C选项，三个角均为锐角的三角形是锐角三角形，有一个锐角的三角形可能为直角或钝角三角形，错误，该选项不符合题意；
D选项，等腰三角形的顶角可以是直角或钝角，不一定是锐角三角形，错误，该选项不符合题意．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两条边相等
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
【答案】D
【分析】本题考查三角形分类与等腰、等边三角形的定义，掌握基础概念即可逐个判断得出结论．
【详解】解：∵ 等腰三角形只有两条边相等时不是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，∴ ①说法错误．
∵ 三角形按边分类可分为三边都不等的不等边三角形，和至少两边相等的等腰三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形，不能单独分类，∴ ②说法错误．
∵ 等腰三角形的定义为至少有两条边相等的三角形，∴ ③说法正确．
因此只有③正确，
故选：D．
【题型3】构成三角形的条件
解题技巧：
（1）三角形两边之和大于第三边、之差小于第三边；
（2）用较短两线段之和＞最长线段判断；
（3）求第三边范围：；
（4）三边不等关系是判断与取值范围的关键。
【例题3】.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下面分别是三根小棒长度的比，其中（ ）组中的三根小棒能围成三角形．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，利用较短两边之和大于最长边的判定方法，将长度比按每份为转化为具体边长验证即可．
【详解】解：设每份长度为，
A选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形；
B选项：三边长为，最长边为，，满足三边关系，能围成三角形；
C选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形；
D选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】比较每组中较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形．
【详解】解：A．，不能组成三角形；
B．，能组成三角形；
C．，不能组成三角形；
D．，不能组成三角形．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】比较每组较短两边之和与最长边的大小即可判断．
【详解】解：∵，
∴能围成三角形；
∵，，，
∴不能围成三角形．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，5，9 D．3，4，8
【答案】B
【详解】解：选项A、，不能构成三角形；
选项B、，能构成三角形；
选项C、，不能构成三角形；
选项D、，不能构成三角形.
【题型4】三角形的稳定性
解题技巧：
（1）三角形具有稳定性，四边形、多边形不具有；
（2）加固多边形常加对角线（木条），一个边形至少加条；
（3）生活应用（桥梁三角架、栅栏、斜撑）；
（4）把不稳定图形转化为三角形。
【例题4】.（黑龙江大庆市肇源县东部月考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）工人师傅做课桌时，常在桌腿之间斜着钉上一根木条．这样做的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
【答案】A
【详解】解：桌腿与斜钉的木条可构成三角形，利用三角形具有稳定性的性质，可使课桌结构更稳固.
【变式题4-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，浉河西关桥钢架为了坚固采用三角形结构，这是利用了三角形的________性．
【答案】稳定
【详解】解：采用三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）为防止变形，木工师傅做好门框后，常常按如图中所示那样钉上两根斜拉的木条（图中的，两根木条），这样做的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形的稳定性
【答案】D
【详解】解：为防止变形，钉上两根斜拉的木条，这样做的数学原理是三角形的稳定性．
【变式题4-3】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）2027年，位于河北保定唐县段的雄忻高铁跨南水北调矮塔斜拉桥将正式投入使用．斜拉桥采用三角形结构，主要利用的是__________．
【答案】三角形的稳定性（或三角形具有稳定性）
【详解】解：三角形具有不易变形的特性，即稳定性，这是三角形区别于多数多边形的特有性质，建筑中采用三角形结构提升结构稳定性，因此斜拉桥采用三角形结构利用的是三角形的稳定性．
【题型5】直角三角形的性质与判定
解题技巧：
（1）性质：两锐角互余；
（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）斜边上的高把直角三角形分成多个直角三角形；
（4）生活情境（支撑柱最短即垂直）转化为直角三角形。
【例题5】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，，则的度数是_____________．
【答案】或
【分析】分类讨论的形状，利用三角形的内角和运算即可．
【详解】解：如图1，是锐角三角形，
∵，为三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，是钝角三角形，
∵，为三角形的高，为，所在直线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的度数是或．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）在中，若，，则的度数是__________．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
【答案】(1)．
理由如下：∵，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
(2)证明：∵，
∴
∴
∵
∴
∴是直角三角形．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可；
（2）根据锐角互余的三角形是直角三角形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式题5-3】.（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点是边上一点，连接，若，求证：是直角三角形．
【答案】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形
【分析】根据直角得出，然后根据等量代换得出，即可得出直角三角形．
【详解】略．
【提升题型】
【题型6】利用中线求周长与面积
解题技巧：
（1）中线把三角形分成面积相等的两部分；
（2）中线分成的两三角形周长之差等于两边之差；
（3）多次中线嵌套面积逐次减半；
（4）已知面积可反求底或高。
【例题6】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为 __________．
【答案】21
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形的周长公式可得，再结合以及三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵比长
∴，
∴的周长为．
【变式题6-1】.（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，，，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【分析】根据重心的定义判断为的中线，得出，利用周长公式作差计算即可．
【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点，
∴是的中线，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴与的周长之差 ，
∵，，
∴周长之差．
【变式题6-2】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________．
【答案】
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】解：∵在中，D是的中点，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
【变式题6-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形中线的性质可得，，，
进而得到，即可求解．
【详解】解：∵是中点，
∴，
∵是中点，
∴，，
∴
，
即．
【题型7】三角形内角和与外角求角度
解题技巧：
（1）内角和为；
（2）外角等于不相邻两内角之和；
（3）外角和为；
（4）设未知数建立方程求解。
【例题7】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
【答案】
【分析】根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和与外角性质解答．
【详解】解：是的一个外角，
，
平分，
，
是的一个外角，
，
．
【变式题7-2】.（26-27八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，和的平分线和相交于点G，的延长线与外角的平分线交于点H．若．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)125度
(2)35度
【分析】（1）由角平分线定义得出，代入求出结论即可；
（2）由角平分线定义得出，再结合外角性质代入计算即可；
【详解】（1）解：∵为的角平分线，
∴．
∴
；
（2）解：平分，平分，
∴．
∴
．
【变式题7-3】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，利用三角形外角性质得出，根据，利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型8】角平分线相关角度计算
解题技巧：
（1）双内角平分线交点、内外角平分线交点、双外角平分线交点各有固定结论；
（2）结合8字型、飞镖模型倒角；
（3）用含字母的式子表示角再建立关系；
【例题8】.（2026八年级上·河南三门峡·专题练习）如图，在中，，的两条内角平分线交于点P，则的度数为______．
【答案】133
【分析】首先根据三角形内角和定理解得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的两条内角平分线，
∴，
∴，
∴．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴
∵是边上的高
∴
∵
∴
∴
【变式题8-2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)
证明：，
平分，．
，
平分，．
在中，
．
在中，，
．
【分析】（1）由、可知、分别平分、，在中先用三角形内角和把表示为与的和的一半，再代入即可求得；
（2）方法与（1）相同，只是把换成一般的，即得．
【详解】（1）解：，，
平分，平分，即，．
在中，．
在中，．
（2）略
【变式题8-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合探究
(1)如图1，在中，，，于点，平分，则__________；
【拓展提问】
(2)若将条件“，”改为（），其余条件不变，求的度数；
【拓展变式】
(3)如图2，在中，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．直接写出的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用三角形内角和定理可得，利用角平分线的定义可得，利用垂直的定义及直角三角形两锐角互余可得，再根据角的和差关系即可求解；
（）同理（）解答即可；
（）过点作于点，同理（）可得，再根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
【题型9】与平行线结合的角度计算
解题技巧：
（1）用平行线的同位角、内错角、同旁内角转化角；
（2）结合内角和、外角求角；
（3）三角板叠放、直尺平行的情境先找平行线；
（4）角平分线与平行线组合，找准角的关系。
【例题9】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知，且，点是射线上一动点（不与点重合），，分别平分和，交射线于点，．
(1)求的大小；
(2)在点运动过程中，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
【答案】(1)
(2)．理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）根据得到，求出的值，再根据，分别平分和，得到，代入的值即可求出的大小．
（2）根据得到内错角，再根据平分得到，等量代换后得到，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴．
（2）略．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，，若点E，A，C在同一直线上，点B，F，A在同一直线上，求的度数．
【答案】
【分析】先求出，由得出，，即可求出结论．
【详解】解：，，，
．
，
，
，
．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，直线，一块含角的直角三角尺的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，使直角边与直线b相交．其中，，求与之间的数量关系．
【答案】
【分析】标示．因为三角尺的已知角，，所以．利用平行线的性质，得到，根据三角形外角性质得到∠1、与的相等关系，即可得到和的数量关系．
【详解】解：如图，标示．
，，，
．
，
．
又，
．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．
(1)【理解】已知和互为“伙伴角”，且，，则的度数为________．
(2)【运用】如图，在中，，且过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点，和互为“伙伴角”，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意得到，再由即可求解；
（2）设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到 ，利用“伙伴角”的概念，列方程即可解答．
【详解】（1）解：当时，由题意得，，
∵
，
；
（2）解：设的度数为，
，则，
∵的平分线分别交于两点，
，
，
，
，或，
可得，或
解得或
或．
【培优题型】
【题型10】折叠问题中利用内角和求角度
解题技巧：
（1）折叠前后图形全等，对应角相等；
（2）点A落在四边形内部：；
（3）结合外角、内角和倒角；
（4）翻折点落在边上时分类讨论。
【例题10】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______．
【答案】
【详解】解：在中，，，
．
由折叠的性质可得，
．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________．
【答案】/118度
【分析】在中利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质，可知：，，结合的度数可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出结论．
【详解】解：中，，，
∴．
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴．
【变式题10-2】.（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，在三角形纸片的边上有一点，沿过点的直线折叠三角形纸片，使点落在点处，得到折痕；使落在射线上，点落在点处，得到折痕．已知，．
(1)的度数为______°．
(2)求的度数．
【答案】(1)90
(2)
【分析】该题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握折叠的性质．
（1）根据折叠可得，结合平角的定义即可求解．
（2）根据折叠和，可得，，根据三角形外角的性质可得，得出，结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据折叠可得，
又，
∴，
故答案为：90．
（2）解：∵，，
根据折叠可得，，
∴，
∴，
∴．
【变式题10-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D．
(1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数；
(3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数；
(4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（对应角相等、对应边相等）、平行线的性质（同旁内角互补）及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质将点C与对应点D的角转化为相等关系，结合相关定理建立已知角与未知角的数量联系．
（1）先由折叠得，推出等腰中；再根据三角形外角定理，是的外角，故，代入等角关系即可得结论．
（2）先在中用内角和求；由折叠得、结合可求．
（3）先由角平分线定义得、，在中求，进而得，再求；设、，由折叠和平角得、的表达式，结合内角和建立方程求解．
（4）设、，由折叠得；用表示、用表示，再在中得与的关系，代入的表达式推导数量关系．
【详解】（1）解：由折叠性质得，故为等腰三角形，．
是的外角，根据三角形外角定理：．
将代入，得．
故答案为：．
（2）解：在中，，，由三角形内角和定理：
．
由折叠性质得，．
，
．
答：的度数为．
（3）解：平分 平分，
，．
在中，，
．
在中，．
由折叠性质得，，．
设，，则，（平角定义）．
在中，，
代入得，
化简：，解得，即．
答：的度数为．
（4）解：由折叠性质得，，．
设，，
则，，即．
在中，．
，
【题型11】等腰三角形三边关系综合
解题技巧：
（1）等腰三角形两腰相等；
（2）已知两边求周长：分类讨论腰与底；
（3）求出后验证三边关系；
（4）已知周长求腰长、底边范围。
【例题11】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长．
【答案】、、
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意设等腰三角形的底边长为，则腰长为．利用三边之和等于列出方程求解即可；
【详解】解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为．
三角形的周长是，
，解得，
等腰三角形三边的长分别为、、．
【变式题11-1】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成．
(1)当为等腰三角形时，
若，则______；
若，则______；
若，则______（用含的式子表示）．
(2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数．
【答案】(1)；或；
(2)的值有无数个
【分析】（1）根据可得结论；
根据，判断出或，由此可得结论；
判断出可得结论；
（2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个，由此即可判断．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，翻折变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】（1），表示的数是，
表示的数是．
故答案为：；
当时，，
为等腰三角形，
或，
点表示的数为或，
或．
故答案为：或；
当时，
∵，，
．
故答案为：；
（2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个，
的值有无数个，
，
的值有无数个．
【变式题11-2】.（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）；
(2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个．
【答案】(1)
如图所示：
(2)6
【分析】本题主要考查了等腰三角形，
对于（1），根据等腰三角形的定义画出图形；
对于（2），分别以点P为圆心，以为半径确定结果，再以点Q为圆心，以为半径，即可得出符合条件的结果.
【详解】（1）略
（2）解：如图所示.
以点P为圆心，为半径，符合条件的有3个点；
以点Q为圆心，为半径，符合条件的有3个点，
一共有6个.
故答案为：6.
【变式题11-3】.（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示、；
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
【答案】(1)，
(2)当秒时，为等腰直角三角形
【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出；
（2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解．
【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，
∴，，
∴，
（2）解：若为等腰直角三角形，则，且，
∴，
解得，
此时，满足条件．
故当秒时，为等腰直角三角形．
【题型12】跨学科综合情境应用
解题技巧：
（1）物理受力分析转化为三角形角关系（支持力垂直斜面、摩擦力平行斜面）；
（2）镜面反射：利用入射角=反射角，结合三角形内角和；
（3）工程、文化、生活情境抽象为三角形模型；
（4）综合运用内角和、外角、三边关系。
【例题12】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩：
Ⅰ．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；
Ⅱ．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；
Ⅲ．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．
乐乐投掷铅球后（如图），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为米，乐乐铅球的成绩是米．
(1)投掷区所在圆的半径长为________米；
(2)如图，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)偏大，理由如下：
和都是投掷区所在圆的半径，
∴．
在中，
（两点之间，线段最短），
．
∴．
即这个成绩相较于实际成绩偏大．
【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可；
（2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，米，米
∴（米）
∴投掷区所在圆的半径长为3.5米；
（2）偏大，理由：略
【变式题12-1】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）根据要求回答下列问题：
(1)［问题情境］如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小凉的思路如下：作，则，．
是的中线．
______________________．
；（请完成填空）
(2)［解决问题］如图②，为提高全民健身环境，“公园管理部”打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长，的，，至点，，，使得，，分别为，，的中点，依次连接点，，得，已知的面积为，改造甲区域成本为元/，扩建乙区域成本为元/．
①的面积等于面积的___________倍；
②求改造总费用．
【答案】(1)
(2)①，②元
【分析】（1）作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论；
（2）①连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得；
②根据①的结果即可得到结论．
【详解】（1）解：作，则，，
∵是的中线，，
∴；
（2）①连接，
∵点A、B、C分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
即的面积等于面积的倍；
②由①同理可得，
∴乙部分的面积为，
∴改造总费用（元），
答：改造总费用为65000元．
【变式题12-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）【发现与探究】三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
图中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．
图中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得，同理，．
(1)图中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积________，如果面积为，用含有的式子表示的面积为________，________；
(3)图中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由如下：
由题意可知，，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)相等，，；
(3)40
【分析】（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（2）由（1）中的结论即可得出；
（3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积=底×高，先求出 的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为．
∵
∴，即
（3）解：是的重心，
，
，，
，，
，
，
，，
．
【变式题12-3】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读材料，完成下列问题：
【背景】重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如：
材料一：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为．
(1)如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标如图1所示，计算得此“”形的重心坐标为______．
材料二：三角形重心性质的探究．
【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三脚架从重心处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】探究图2中，的值是多少？
(2)【解决问题】如图2所示：若的面积为，______，______．
(3)【解决问题】如图2所示：求的值．
(4)【拓展应用】如图3，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)，；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出、，然后代入重心坐标公式即可；
（2）根据三角形重心性质求解即可；
（3）根据三角形重心性质得到，
（4）根据三角形重心性质得到，，连接，得到．
【详解】（1）解：四边形和四边形是矩形，
，，
，
，
，，，
是的中点，
，即，
是的中点，
，即，
，，
，，
“”形的重心坐标为；
（2）解：是的重心，即点分别是边、、的中点，
，
，
，
同理可得，，，
，
；
（3）解；由（2）得，
，
（4）解：由（3）得，，
，，
，，
，
，，
如图，连接，
，，
．
同步练习
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A选项：，能组成三角形．
B选项：，不能组成三角形．
C选项：，不能组成三角形．
D选项：，不能组成三角形．
2．已知是三角形的高，，三角形的面积是，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或7
【答案】D
【分析】先根据三角形面积公式求出的长，再分高在三角形内部、外部两种情况计算的长．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∵，，
∴，
解得．
分两种情况：
①当点在线段上时，；
②当点在线段的延长线上时，．
综上所述，的长为或．
3．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】利用同高三角形面积比等于底边比求出面积，结合中线性质求解，
【详解】解：，
，
∵，
∴，
，
是的中线，
．
二、填空题
4．如图，在中，，，AD平分，则________．
【答案】
/度
【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形外角的性质计算的度数．
【详解】解：，，
，
平分，
，
是的外角，
．
5．如图，三角形中D，E为，上的两点，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据三角形内角和为计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．如图，在中，分别是的中点，则______
【答案】
【分析】利用三角形中线平分面积的性质，先得出，再求即可．
【详解】解：是的中点，
，
又，
则
是的中点，
，
则．
三、解答题
7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？
【答案】(1)
各边的长为，，
(2)
能围成. 符合条件的等腰三角形三边长为，，或，，
【分析】（1）先设底边长为未知数，根据腰和底边的倍数关系表示腰长，因为细绳长度为三角形周长，所以可利用周长公式列方程求解，之后用三角形三边关系验证结果是否成立。
（2）因为题目未说明的边是腰还是底边，所以分两种情况讨论：第一种情况假设为腰长，计算底边长，再用三边关系验证是否能构成三角形；第二种情况假设为底边长，计算腰长，再用三边关系验证是否能构成三角形。
【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，
∵题意腰长是底边的2倍，
∴腰长为．
∵细绳总长，也就是三角形周长为，
列方程： ，
解得，
则腰长．
验证三边关系：，满足三角形两边之和大于第三边．
故三边长分别为、、．
（2）解：能围成一边长为的等腰三角形．理由：
分两种情况讨论：
当为底边时，腰长，三边为．
验证三边关系：，符合要求，可以构成等腰三角形．
当为腰长时，底边长，三边为。
验证三边关系：，也符合要求，可以构成等腰三角形．
故能围成符合要求的等腰三角形，三边长分别为或．
8．如图，在中，是的平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】已知，的度数，利用三角形外角的性质可求出的度数，由是的平分线，得到，进而求出，最后在中利用三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：，，
．
是的平分线，
，
．
．
9．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由三角形内角和为可得，由角平分线可得，由可得与互余，进而求出的度数；
（2）设，，，根据题意表示出，，，再利用三角形内角和定理建立方程，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
又∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，，，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵,
∴，
在中，，
∴，
即，
整理得，
解得．
即．
10．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“倍角三角形”．
(1)在中，若，，则_________，为“_____倍角三角形”．
(2)如图，在中，，，的角平分线相交于点．
①求的度数．
②若为“倍角三角形”，请求出的度数．
【答案】(1)；
(2)①；②的度数为或
【分析】（1）利用三角形的内角和为，求出的大小，再根据题意比较最大最小角判断即可；
（2）①利用角平分线的性质和三角形的内角和运算求解即可；
②分类讨论或，结合三角形内角和运算即可．
【详解】（1）解：在中，，，
则，
∴最小，最大，且，
∴为“倍角三角形”，
（2）①∵，
∴，
∵、的角平分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
②∵为“倍角三角形”，
∴或，
当时，，
当时，，则，
综上所述，的度数为或．
学科网（北京）股份有限公司
$
第13章 三角形
知识点1：三角形的概念与基本元素
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
2.基本元素：组成三角形的线段叫边，相邻两边的公共端点叫顶点，相邻两边组成的角叫内角。
3.表示：顶点是A、B、C的三角形记作，读作"三角形ABC"；三边常用、、表示（顶点A所对的边BC用表示）。
知识点2：三角形的分类
分类标准
类型
说明
按角分
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三个角都是锐角的为锐角三角形；有一个角是直角或钝角的分别为直角三角形、钝角三角形
按边分
三边都不相等的三角形、等腰三角形
有两条边相等的为等腰三角形；三边都相等的为等边三角形（是特殊的等腰三角形）
等腰三角形中：相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。
知识点3：三角形的三边关系与稳定性
1.关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
2.判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段之和大于最长线段，则可组成三角形。
3.三角形具有稳定性，四边形、多边形不具有稳定性。
知识点4：三角形的中线
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段叫中线。
2.三条中线相交于一点，交点叫重心，重心在三角形内部。
3.性质：中线把三角形分成面积相等的两部分。
知识点5：三角形的角平分线
1.定义：三角形一个角的平分线与对边相交，连接顶点和交点的线段叫角平分线。
2.任意三角形都有三条角平分线，交于一点（在三角形内部）。
注意：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线。
知识点6：三角形的高
1.定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫高。
三角形
内部高的条数
三条高所在直线交点位置
三条高是否相交
锐角三角形
3
三角形内部
相交
直角三角形
1
直角顶点
相交
钝角三角形
1
三角形外部
不相交
知识点7：三角形内角和定理
1.定理：三角形三个内角的和等于，即。
2.倒角模型：由内角和定理可得（A字型）、（8字型）等角度关系。
知识点8：直角三角形的性质与判定
1.性质：直角三角形的两个锐角互余，即（当时）。
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点9：三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角。
2.性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于与它不相邻的任意一个内角。
3.三角形的外角和等于360°。
【易错题型】
【题型1】三角形的高
1.易错点总结
（1）钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时易遗漏；
（2）三条高所在直线的交点位置判断错误（锐角在内部、直角在顶点、钝角在外部）；
（3）作高时未向对边所在直线作垂线，而只向对边作垂线。
2.纠错技巧
（1）高是从顶点向对边所在直线作垂线得到的线段；
（2）钝角三角形作高时需延长对边再作垂线；
（3）用"交点位置表"判断三角形类型；
（4）求面积时先确定高与对应底。
【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，线段是的高的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-2】.（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）画中边上的高，下列画法中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【基础题型】
【题型2】三角形的概念与分类
解题技巧：
（1）三角形由不在同一直线上的三条线段首尾相接组成；
（2）分类按角、边两个标准；
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形；
（4）判断三角形类型，先看最大角的度数。
【例题2】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）三角形按边的相等关系分类如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．M表示三边都不相等的三角形 B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形 D．N表示等边三角形
【变式题2-2】.（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A．三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形
B．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
D．等腰三角形一定是锐角三角形
【变式题2-3】.（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两条边相等
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
【题型3】构成三角形的条件
解题技巧：
（1）三角形两边之和大于第三边、之差小于第三边；
（2）用较短两线段之和＞最长线段判断；
（3）求第三边范围：；
（4）三边不等关系是判断与取值范围的关键。
【例题3】.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下面分别是三根小棒长度的比，其中（ ）组中的三根小棒能围成三角形．
A． B． C． D．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式题3-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式题3-3】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，5，9 D．3，4，8
【题型4】三角形的稳定性
解题技巧：
（1）三角形具有稳定性，四边形、多边形不具有；
（2）加固多边形常加对角线（木条），一个边形至少加条；
（3）生活应用（桥梁三角架、栅栏、斜撑）；
（4）把不稳定图形转化为三角形。
【例题4】.（黑龙江大庆市肇源县东部月考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）工人师傅做课桌时，常在桌腿之间斜着钉上一根木条．这样做的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
【变式题4-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，浉河西关桥钢架为了坚固采用三角形结构，这是利用了三角形的________性．
【变式题4-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）为防止变形，木工师傅做好门框后，常常按如图中所示那样钉上两根斜拉的木条（图中的，两根木条），这样做的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形的稳定性
【变式题4-3】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）2027年，位于河北保定唐县段的雄忻高铁跨南水北调矮塔斜拉桥将正式投入使用．斜拉桥采用三角形结构，主要利用的是__________．
【题型5】直角三角形的性质与判定
解题技巧：
（1）性质：两锐角互余；
（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）斜边上的高把直角三角形分成多个直角三角形；
（4）生活情境（支撑柱最短即垂直）转化为直角三角形。
【例题5】.（25-26八年级上·云南昆明·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，，则的度数是_____________．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）在中，若，，则的度数是__________．
【变式题5-2】.（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
【变式题5-3】.（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点是边上一点，连接，若，求证：是直角三角形．
【提升题型】
【题型6】利用中线求周长与面积
解题技巧：
（1）中线把三角形分成面积相等的两部分；
（2）中线分成的两三角形周长之差等于两边之差；
（3）多次中线嵌套面积逐次减半；
（4）已知面积可反求底或高。
【例题6】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为 __________．
【变式题6-1】.（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，，，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【变式题6-2】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________．
【变式题6-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型7】三角形内角和与外角求角度
解题技巧：
（1）内角和为；
（2）外角等于不相邻两内角之和；
（3）外角和为；
（4）设未知数建立方程求解。
【例题7】.（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式题7-2】.（26-27八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，和的平分线和相交于点G，的延长线与外角的平分线交于点H．若．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【变式题7-3】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点．若，，求的度数．
【题型8】角平分线相关角度计算
解题技巧：
（1）双内角平分线交点、内外角平分线交点、双外角平分线交点各有固定结论；
（2）结合8字型、飞镖模型倒角；
（3）用含字母的式子表示角再建立关系；
【例题8】.（2026八年级上·河南三门峡·专题练习）如图，在中，，的两条内角平分线交于点P，则的度数为______．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式题8-2】.（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【变式题8-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合探究
(1)如图1，在中，，，于点，平分，则__________；
【拓展提问】
(2)若将条件“，”改为（），其余条件不变，求的度数；
【拓展变式】
(3)如图2，在中，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．直接写出的数量关系．
【题型9】与平行线结合的角度计算
解题技巧：
（1）用平行线的同位角、内错角、同旁内角转化角；
（2）结合内角和、外角求角；
（3）三角板叠放、直尺平行的情境先找平行线；
（4）角平分线与平行线组合，找准角的关系。
【例题9】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知，且，点是射线上一动点（不与点重合），，分别平分和，交射线于点，．
(1)求的大小；
(2)在点运动过程中，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，，若点E，A，C在同一直线上，点B，F，A在同一直线上，求的度数．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，直线，一块含角的直角三角尺的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，使直角边与直线b相交．其中，，求与之间的数量关系．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．
(1)【理解】已知和互为“伙伴角”，且，，则的度数为________．
(2)【运用】如图，在中，，且过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点，和互为“伙伴角”，求的度数．
【培优题型】
【题型10】折叠问题中利用内角和求角度
解题技巧：
（1）折叠前后图形全等，对应角相等；
（2）点A落在四边形内部：；
（3）结合外角、内角和倒角；
（4）翻折点落在边上时分类讨论。
【例题10】.（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______．
【变式题10-1】.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________．
【变式题10-2】.（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，在三角形纸片的边上有一点，沿过点的直线折叠三角形纸片，使点落在点处，得到折痕；使落在射线上，点落在点处，得到折痕．已知，．
(1)的度数为______°．
(2)求的度数．
【变式题10-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D．
(1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数；
(3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数；
(4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系．
【题型11】等腰三角形三边关系综合
解题技巧：
（1）等腰三角形两腰相等；
（2）已知两边求周长：分类讨论腰与底；
（3）求出后验证三边关系；
（4）已知周长求腰长、底边范围。
【例题11】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的2倍，求等腰三角形三边的长．
【变式题11-1】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成．
(1)当为等腰三角形时，
若，则______；
若，则______；
若，则______（用含的式子表示）．
(2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数．
【变式题11-2】.（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）；
(2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个．
【变式题11-3】.（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示、；
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
【题型12】跨学科综合情境应用
解题技巧：
（1）物理受力分析转化为三角形角关系（支持力垂直斜面、摩擦力平行斜面）；
（2）镜面反射：利用入射角=反射角，结合三角形内角和；
（3）工程、文化、生活情境抽象为三角形模型；
（4）综合运用内角和、外角、三边关系。
【例题12】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩：
Ⅰ．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；
Ⅱ．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；
Ⅲ．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．
乐乐投掷铅球后（如图），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为米，乐乐铅球的成绩是米．
(1)投掷区所在圆的半径长为________米；
(2)如图，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由．
【变式题12-1】.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）根据要求回答下列问题：
(1)［问题情境］如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小凉的思路如下：作，则，．
是的中线．
______________________．
；（请完成填空）
(2)［解决问题］如图②，为提高全民健身环境，“公园管理部”打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长，的，，至点，，，使得，，分别为，，的中点，依次连接点，，得，已知的面积为，改造甲区域成本为元/，扩建乙区域成本为元/．
①的面积等于面积的___________倍；
②求改造总费用．
【变式题12-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）【发现与探究】三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
图中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．
图中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得，同理，．
(1)图中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积________，如果面积为，用含有的式子表示的面积为________，________；
(3)图中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
【变式题12-3】.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）阅读材料，完成下列问题：
【背景】重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如：
材料一：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为．
(1)如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标如图1所示，计算得此“”形的重心坐标为______．
材料二：三角形重心性质的探究．
【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三脚架从重心处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】探究图2中，的值是多少？
(2)【解决问题】如图2所示：若的面积为，______，______．
(3)【解决问题】如图2所示：求的值．
(4)【拓展应用】如图3，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
同步练习
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是三角形的高，，三角形的面积是，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或7
3．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
4．如图，在中，，，AD平分，则________．
5．如图，三角形中D，E为，上的两点，若，则的度数为______．
6．如图，在中，分别是的中点，则______
三、解答题
7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？
8．如图，在中，是的平分线，，，求的度数．
9．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
10．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“倍角三角形”．
(1)在中，若，，则_________，为“_____倍角三角形”．
(2)如图，在中，，，的角平分线相交于点．
①求的度数．
②若为“倍角三角形”，请求出的度数．
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
