第14章 全等三角形 单元复习（4大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形单元复习讲义通过表格梳理判定方法、分层归纳题型构建知识体系，将概念性质、判定方法、角平分线、辅助线等要点按逻辑递进呈现，用对比表格区分SSS、SAS等判定条件，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如直接应用SAS证明，培优题型如角平分线与全等综合，压轴题型如动点问题，培养推理意识与模型意识。辅助线技巧如倍长中线法指导具体，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学。

第14章 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念与性质 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：互相重合的顶点 对应边：互相重合的边 对应角：互相重合的角 2.全等三角形的表示方法 全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上 如△ABC≌△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点 3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的周长相等、面积相等 全等三角形的对应线段（中线、高、角平分线）相等 知识点2：全等三角形的判定 1.一般三角形全等的判定方法 判定方法 简称 内容 图例 注意事项 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 三边确定，三角形形状大小唯一确定 边角边 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 角边角 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 边必须是两角的夹边 角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 由ASA推导而来，可互相转化 2.直角三角形全等的特殊判定 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 HL只适用于直角三角形 直角三角形既可以用一般判定方法，也可以用HL 3.判定全等的思路选择 已知两边：找夹角→SAS；找第三边→SSS 已知一边一角：边为角的对边→找任一角→AAS；边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS；找另一角→ASA或AAS 已知两角：找夹边→ASA；找任一对边→AAS 知识点3：角的平分线的性质与判定 1.角的平分线的性质 文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 符号语言：∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE 作用：证明两条线段相等 2.角的平分线的判定 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上 作用：证明一个点在角的平分线上或证明角相等 3.尺规作角平分线 作法：以顶点为圆心画弧交两边→分别以交点为圆心画弧交于内部→作射线 依据：SSS判定三角形全等 注意：半径必须大于两交点间距离的一半 知识点4：全等三角形的常见辅助线 1.角平分线相关辅助线 过角平分线上的点向两边作垂线段（利用角平分线性质） 在角的两边截取相等线段（构造全等三角形） 2.中点相关辅助线 倍长中线法：将中线延长一倍，构造"8字"全等三角形 倍长类中线：遇到中点时，延长过中点的线段构造全等 3.线段和差相关辅助线 截长法：在长边上截取一条与某短边相等的线段，证明剩余部分等于另一短边 补短法：延长短边，使延长部分等于另一短边，证明总长等于长边 4.其他常见辅助线 连接公共边，构造全等三角形 作平行线，构造等角 利用轴对称、旋转等变换构造全等 【基础必考题型】 【题型1】全等三角形的概念与性质应用 1.核心知识点: 全等三角形的概念；对应顶点、对应边、对应角的识别；全等三角形的性质 2.解题方法技巧: ①对应关系法：根据全等符号的字母顺序，确定对应顶点、对应边、对应角 ②性质应用法：利用全等三角形对应边相等、对应角相等求解未知量 ③图形观察法：结合图形位置关系，直观判断对应元素 【例题1】.（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判定的？ 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课前预习）关于三角形全等的基本事实： 两个三角形全等的判定定理：___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）；两边及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“___________”）；两个角及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）．两角及其中一个角的___________对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“___________”）． 【题型2】直接应用SSS或SAS证明全等 1.核心知识点: 三角形全等的SSS判定；三角形全等的SAS判定；全等三角形的书写规范 2.解题方法技巧: ①条件梳理法：先找出已知的边相等条件，再看是否有夹角或第三边 ②隐含条件法：挖掘公共边、对顶角、公共角等隐含的相等条件 ③规范书写法：按照判定方法的顺序排列条件，用大括号括起，注明依据 【例题2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，与全等吗？ 【变式题2-3】.（2026·云南昆明·二模）如图，，，．求证：． 【题型3】直接应用ASA或AAS证明全等 1.核心知识点: 三角形全等的ASA判定；三角形全等的AAS判定；等角的推导方法 2.解题方法技巧: ①角的推导法：利用平行线、对顶角、公共角、角平分线等推导角相等 ②方法选择法：若边是两角的夹边则用ASA，若边是其中一角的对边则用AAS ③内角和转化法：利用三角形内角和定理，将AAS转化为ASA证明 【例题3】.（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【变式题3-1】.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知：如图，点E，D分别在边，上，与相交于点O，连接，，．求证：． 【题型4】直接应用HL证明直角三角形全等 1.核心知识点: 直角三角形全等的HL判定；直角三角形的识别；全等直角三角形的性质 2.解题方法技巧: ①直角确认法：先确认两个三角形都是直角三角形，再考虑使用HL ②条件对应法：找出斜边和一条直角边分别对应相等，注意对应关系 ③方法对比法：直角三角形既可用一般判定方法，也可用HL，灵活选择 【例题4】.（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知：如图，，点为线段上两点且．求证：． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【题型5】角平分线的性质与判定应用 1.核心知识点: 角平分线的性质定理；角平分线的判定定理；点到直线的距离 2.解题方法技巧: ①条件确认法：应用性质需确认有角平分线和垂直；应用判定需确认距离相等 ②距离识别法：准确识别哪条线段是点到角两边的距离（垂线段） ③辅助线添加法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造应用条件 【例题5】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 根据三角形面积公式，代入已知，， 【变式题5-1】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【题型6】添加条件的开放性问题 1.核心知识点: 三角形全等的各种判定方法；条件与结论的逻辑关系；分类讨论思想 2.解题方法技巧: ①逆向思考法：从结论出发，思考需要添加什么条件才能用某种判定方法 ②分类讨论法：分别考虑用SSS、SAS、ASA、AAS判定时各需要添加什么条件 ③排除验证法：将每个选项代入原题，验证是否能判定三角形全等 【例题6】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，与相交于点，且．下列条件不能得出的是（   ）    A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【变式题6-3】.（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【培优高频题型】 【题型7】全等三角形中的角度计算 1.核心知识点: 全等三角形的对应角相等；三角形内角和定理；角的和差运算 2.解题方法技巧: ①对应角转化法：利用全等将未知角转化为已知角或可求角 ②内角和法：结合三角形内角和定理，建立角度关系方程 ③和差计算法：利用角的和差关系，逐步推导未知角的度数 【例题7】.（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【题型8】全等三角形中的线段与面积计算 1.核心知识点: 全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等；三角形面积公式 2.解题方法技巧: ①对应边转化法：利用全等将未知线段转化为已知线段或可求线段 ②面积法：利用全等三角形面积相等或等底等高三角形面积关系求解 ③和差计算法：利用线段的和差关系，结合全等性质推导 【例题8】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．24 C．36 D．48 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等．若，求长度． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． 【题型9】角平分线与全等综合应用 1.核心知识点: 角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；综合推理能力 2.解题方法技巧: ①性质判定联用法：角平分线性质和判定交替使用，层层推进 ②辅助线构造法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造全等直角三角形 ③面积法：利用三角形面积的不同表示方法，建立等式关系 【例题9】.（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在四边形中，，． (1)请利用尺规在边上作一点，使得；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)若，求证：． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． (1)请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； (2)如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【题型10】实际测量中的全等建模 1.核心知识点: 全等三角形的判定与性质；数学建模思想；实际问题的数学转化 2.解题方法技巧: ①模型建立法：将实际测量问题抽象为全等三角形的数学模型 ②方案设计法：根据全等判定原理，设计合理的测量方案 ③原理解释法：用全等三角形的知识解释测量方案的合理性 【例题10】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角； ②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D； ③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙的高度． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案1①如图，选定点； ②连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案2①如图，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． (1)对于方案1和方案2，你认为可行的是________． (2)选择你认为可行的方案并进行证明． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制订了如下方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C点处（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于E点处． 测量数据 米，米，米 根据题意完成下列两个问题： (1)请你根据题意帮助小明将测量方案示意图补充完整． (2)你认为小明制订的方案正确吗？若正确，请求出凉亭与游艇之间的距离；若不正确，请你制订一个方案． 【压轴素养题型】 【题型11】全等三角形中的动点问题 1.核心知识点: 全等三角形的判定与性质；动点问题分析；分类讨论思想 2.解题方法技巧: ①动中觅静法：在动点运动过程中，寻找保持不变的量或关系 ②分类讨论法：根据动点的不同位置或全等的不同对应情况，分类讨论 ③方程求解法：设运动时间为t，用含t的代数式表示线段长度，列方程求解 【例题11】.（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【题型12】全等三角形的经典模型与辅助线构造 1.核心知识点: 截长补短法；倍长中线法；一线三等角模型；手拉手旋转全等模型 2.解题方法技巧: ①截长补短法：证明线段和差关系时，在长边上截取或延长短边构造全等三角形 ②倍长中线法：遇到中点或中线时，延长中线一倍构造"8字"全等，转移边和角 ③一线三等角模型：识别直线上三等角结构，利用同角余角相等推导角相等证全等 ④手拉手模型：识别共顶点等腰三角形结构，用SAS证明旋转全等三角形 【例题12】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【变式题12-1】.（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 易错点 1.全等三角形对应关系写错，导致对应边、对应角判断错误 2.混淆SAS与SSA，误认为两边及其中一边的对角能判定全等 3.使用HL判定时，未先说明两个三角形是直角三角形 4.角平分线性质应用时，忽略"距离"必须是垂线段的长度 5.辅助线添加不规范，或添加后未证明就直接使用结论 重点 1.全等三角形的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2.根据已知条件灵活选择合适的判定方法证明三角形全等 3.全等三角形的性质与判定的综合应用 4.角平分线的性质与判定及其应用 难点 1.复杂图形中全等三角形的识别与对应关系的确定 2.添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题 3.全等三角形的几何模型（一线三等角、手拉手等）的识别与应用 4.全等三角形中的动点问题、最值问题等综合题型 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 3．如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 5．如图，，点在线段上，若，，则_________． 6．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 7．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 8．如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 9．小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 10．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念与性质 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：互相重合的顶点 对应边：互相重合的边 对应角：互相重合的角 2.全等三角形的表示方法 全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上 如△ABC≌△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点 3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的周长相等、面积相等 全等三角形的对应线段（中线、高、角平分线）相等 知识点2：全等三角形的判定 1.一般三角形全等的判定方法 判定方法 简称 内容 图例 注意事项 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 三边确定，三角形形状大小唯一确定 边角边 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 角边角 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 边必须是两角的夹边 角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 由ASA推导而来，可互相转化 2.直角三角形全等的特殊判定 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 HL只适用于直角三角形 直角三角形既可以用一般判定方法，也可以用HL 3.判定全等的思路选择 已知两边：找夹角→SAS；找第三边→SSS 已知一边一角：边为角的对边→找任一角→AAS；边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS；找另一角→ASA或AAS 已知两角：找夹边→ASA；找任一对边→AAS 知识点3：角的平分线的性质与判定 1.角的平分线的性质 文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 符号语言：∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE 作用：证明两条线段相等 2.角的平分线的判定 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上 作用：证明一个点在角的平分线上或证明角相等 3.尺规作角平分线 作法：以顶点为圆心画弧交两边→分别以交点为圆心画弧交于内部→作射线 依据：SSS判定三角形全等 注意：半径必须大于两交点间距离的一半 知识点4：全等三角形的常见辅助线 1.角平分线相关辅助线 过角平分线上的点向两边作垂线段（利用角平分线性质） 在角的两边截取相等线段（构造全等三角形） 2.中点相关辅助线 倍长中线法：将中线延长一倍，构造"8字"全等三角形 倍长类中线：遇到中点时，延长过中点的线段构造全等 3.线段和差相关辅助线 截长法：在长边上截取一条与某短边相等的线段，证明剩余部分等于另一短边 补短法：延长短边，使延长部分等于另一短边，证明总长等于长边 4.其他常见辅助线 连接公共边，构造全等三角形 作平行线，构造等角 利用轴对称、旋转等变换构造全等 【基础必考题型】 【题型1】全等三角形的概念与性质应用 1.核心知识点: 全等三角形的概念；对应顶点、对应边、对应角的识别；全等三角形的性质 2.解题方法技巧: ①对应关系法：根据全等符号的字母顺序，确定对应顶点、对应边、对应角 ②性质应用法：利用全等三角形对应边相等、对应角相等求解未知量 ③图形观察法：结合图形位置关系，直观判断对应元素 【例题1】.（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等的定义，理解其定义是解题的关键． 根据全等的定义解题即可． 【详解】解：A：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； B：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； C：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； D：两个图形可以完全重合，全等，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判定的？ 【答案】是全等图形，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课前预习）关于三角形全等的基本事实： 两个三角形全等的判定定理：___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）；两边及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“___________”）；两个角及其___________对应相等的两个三角形全等（简写成“___________”或“”）．两角及其中一个角的___________对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“___________”）． 【答案】 三边 边边边 夹角 夹边 角边角 对边 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“”）；两个角及其夹边相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“”）． 故答案：三边；边边边；夹角；；夹边；角边角；对边；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【题型2】直接应用SSS或SAS证明全等 1.核心知识点: 三角形全等的SSS判定；三角形全等的SAS判定；全等三角形的书写规范 2.解题方法技巧: ①条件梳理法：先找出已知的边相等条件，再看是否有夹角或第三边 ②隐含条件法：挖掘公共边、对顶角、公共角等隐含的相等条件 ③规范书写法：按照判定方法的顺序排列条件，用大括号括起，注明依据 【例题2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，与全等吗？ 【答案】与全等 【分析】根据证明即可． 【详解】解：与全等， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式题2-3】.（2026·云南昆明·二模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【题型3】直接应用ASA或AAS证明全等 1.核心知识点: 三角形全等的ASA判定；三角形全等的AAS判定；等角的推导方法 2.解题方法技巧: ①角的推导法：利用平行线、对顶角、公共角、角平分线等推导角相等 ②方法选择法：若边是两角的夹边则用ASA，若边是其中一角的对边则用AAS ③内角和转化法：利用三角形内角和定理，将AAS转化为ASA证明 【例题3】.（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 【变式题3-1】.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】略 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知：如图，点E，D分别在边，上，与相交于点O，连接，，．求证：． 【答案】证明：，， ， ，， ， ． 【分析】根据三角形外角的性质得到，证明，可知． 【详解】略． 【题型4】直接应用HL证明直角三角形全等 1.核心知识点: 直角三角形全等的HL判定；直角三角形的识别；全等直角三角形的性质 2.解题方法技巧: ①直角确认法：先确认两个三角形都是直角三角形，再考虑使用HL ②条件对应法：找出斜边和一条直角边分别对应相等，注意对应关系 ③方法对比法：直角三角形既可用一般判定方法，也可用HL，灵活选择 【例题4】.（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知：如图，，点为线段上两点且．求证：． 【答案】 证明：∵，且， ∴， 即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据可得到，可以得到． 【详解】略 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即：， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ ， ∴， ∴． 【分析】通过证明可得，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】略 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据条件可知和都是直角三角形，利用证明； （2）根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5】角平分线的性质与判定应用 1.核心知识点: 角平分线的性质定理；角平分线的判定定理；点到直线的距离 2.解题方法技巧: ①条件确认法：应用性质需确认有角平分线和垂直；应用判定需确认距离相等 ②距离识别法：准确识别哪条线段是点到角两边的距离（垂线段） ③辅助线添加法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造应用条件 【例题5】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】已知的面积和的长，利用三角形面积公式，可求出点到的距离．因为是的平分线，根据角平分线的性质，可得点到的距离等于点到的距离．因为点是直线上的动点，根据垂线段最短，可知的长度大于等于点到的距离，据此判断选项即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， 根据三角形面积公式，代入已知，， 得， 解得． 是的平分线，在上， ． 根据垂线段最短，的最小值为，即． 选项中只有， 因此的长不可能是． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 【题型6】添加条件的开放性问题 1.核心知识点: 三角形全等的各种判定方法；条件与结论的逻辑关系；分类讨论思想 2.解题方法技巧: ①逆向思考法：从结论出发，思考需要添加什么条件才能用某种判定方法 ②分类讨论法：分别考虑用SSS、SAS、ASA、AAS判定时各需要添加什么条件 ③排除验证法：将每个选项代入原题，验证是否能判定三角形全等 【例题6】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，与相交于点，且．下列条件不能得出的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件和对顶角，结合全等三角形的判定定理（、、）对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：已知，且对顶角． A.若添加，则()，故A不符合题意； B.若添加，则()，故B不符合题意； C.若添加，此时为“边边角”，无法判定，故C符合题意； D.若添加，则()，故D不符合题意． 【变式题6-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】 ②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 【详解】略. 【变式题6-3】.（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 【详解】（1）略 （2）略 【培优高频题型】 【题型7】全等三角形中的角度计算 1.核心知识点: 全等三角形的对应角相等；三角形内角和定理；角的和差运算 2.解题方法技巧: ①对应角转化法：利用全等将未知角转化为已知角或可求角 ②内角和法：结合三角形内角和定理，建立角度关系方程 ③和差计算法：利用角的和差关系，逐步推导未知角的度数 【例题7】.（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和可得，最后根据三角形外角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据平行线的性质可得，，运用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得，根据（1）可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 根据（1）可得：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)如图所示，点为所求； (2) 【分析】（1）尺规作的角平分线即可； （2）由平分平分，则，设，则，根据四边形内角和可得，解得，再根据四边形内角和为可得，解得，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分平分， ， 设， 则， ∵四边形内角和为， ， ∴， ， ， 根据四边形内角和为可得， 解得， ． 【题型8】全等三角形中的线段与面积计算 1.核心知识点: 全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等；三角形面积公式 2.解题方法技巧: ①对应边转化法：利用全等将未知线段转化为已知线段或可求线段 ②面积法：利用全等三角形面积相等或等底等高三角形面积关系求解 ③和差计算法：利用线段的和差关系，结合全等性质推导 【例题8】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，证明得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等．若，求长度． 【答案】 【分析】根据题意，证明，即可求解． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， 答：长度为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，，在上，． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图可知平分， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∴， ． 【题型9】角平分线与全等综合应用 1.核心知识点: 角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；综合推理能力 2.解题方法技巧: ①性质判定联用法：角平分线性质和判定交替使用，层层推进 ②辅助线构造法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造全等直角三角形 ③面积法：利用三角形面积的不同表示方法，建立等式关系 【例题9】.（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在四边形中，，． (1)请利用尺规在边上作一点，使得；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)如图，点为所求作的点． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 即， ， ， ， ． 【分析】（1）已知、公共边，只需作的角平分线，角平分线与的交点即为点，作图保留角平分线弧痕即可． （2）由全等得平分，将替换为代入已知等式化简，结合直角三角形两锐角互余推出，依据同位角相等，两直线平行即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 【变式题9-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． (1)请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； (2)如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明即可解答： （2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可； ②利用证明，得到，，设，则，利用线段的长度关系求出的值，过点作，，由角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行比较即可． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①如图所示即为所求： ②∵四边形、是长方形， ∴， 又∵， 即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 即， ∵， ∴， 解得：， ，， 过点作，如图所示： 又∵平分，由（）结论得：， ∴， ∴与的面积之比为． 【题型10】实际测量中的全等建模 1.核心知识点: 全等三角形的判定与性质；数学建模思想；实际问题的数学转化 2.解题方法技巧: ①模型建立法：将实际测量问题抽象为全等三角形的数学模型 ②方案设计法：根据全等判定原理，设计合理的测量方案 ③原理解释法：用全等三角形的知识解释测量方案的合理性 【例题10】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角； ②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D； ③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙的高度． 【答案】校内攀岩墙的高度为 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定． 根据题意证明，再结合全等三角形性质即可求出校内攀岩墙的高度． 【详解】解：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ∴校内攀岩墙的高度为． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案1①如图，选定点； ②连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案2①如图，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． (1)对于方案1和方案2，你认为可行的是________． (2)选择你认为可行的方案并进行证明． 【答案】(1)两种方案都可行 (2)证明：方案， 在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案一可行； 方案：在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案二可行； 【分析】（1）利用“”证明方案一、二均可行； （2）利用“”证明可判断方案一可行；利用“”证明可判断方案二可行． 【详解】（1）两种方案都可行 （2）略 【变式题10-2】.（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行． 理由如下： 和为直线与相交形成的对顶角， ， 在和中 ， ， ， 因此，甲同学的方案可行． (2) 【分析】（1）通过边角边SAS证明，利用全等三角形对应边相等，得到，因此测量长度即可得到长度；乙同学方案缺少全等条件，无法证明，不可行． （2）添加全等条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件： 在和中 ， ， ， 因此，可以使乙同学的方案可行． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制订了如下方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C点处（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于E点处． 测量数据 米，米，米 根据题意完成下列两个问题： (1)请你根据题意帮助小明将测量方案示意图补充完整． (2)你认为小明制订的方案正确吗？若正确，请求出凉亭与游艇之间的距离；若不正确，请你制订一个方案． 【答案】(1)见解析 (2)小明的方案是正确的，这时凉亭与游艇之间的距离为米． 【分析】（1）根据题意可知，小明的方案中蕴含着一对全等三角形， 即，将图形补充完整即可． （2）由题意可知米， 与 是对顶角， 由“”可判定则 米，说明小明的方案是正确的． 【详解】（1）解：将测量方案示意图补充完整如图所示： （2）解：小明的方案是正确的， 理由∶如图，由题意可知，米， 米，米， ， 在和中， ， ， 米， ∴小明的方案是正确的，这时凉亭与游艇之间的距离为米． 【压轴素养题型】 【题型11】全等三角形中的动点问题 1.核心知识点: 全等三角形的判定与性质；动点问题分析；分类讨论思想 2.解题方法技巧: ①动中觅静法：在动点运动过程中，寻找保持不变的量或关系 ②分类讨论法：根据动点的不同位置或全等的不同对应情况，分类讨论 ③方程求解法：设运动时间为t，用含t的代数式表示线段长度，列方程求解 【例题11】.（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)当或4时， 【分析】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． （1）根据点从点出发、点从点出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点从点运动至点、从点返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 当时，有，即，此时无解； 当时，有，即， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 综上所述：当或4时，． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 【变式题11-3】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】(1)9，12 (2)点Q的运动速度为或； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； （2）解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； （3）解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 【题型12】全等三角形的经典模型与辅助线构造 1.核心知识点: 截长补短法；倍长中线法；一线三等角模型；手拉手旋转全等模型 2.解题方法技巧: ①截长补短法：证明线段和差关系时，在长边上截取或延长短边构造全等三角形 ②倍长中线法：遇到中点或中线时，延长中线一倍构造"8字"全等，转移边和角 ③一线三等角模型：识别直线上三等角结构，利用同角余角相等推导角相等证全等 ④手拉手模型：识别共顶点等腰三角形结构，用SAS证明旋转全等三角形 【例题12】.（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 【变式题12-1】.（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 易错点 1.全等三角形对应关系写错，导致对应边、对应角判断错误 2.混淆SAS与SSA，误认为两边及其中一边的对角能判定全等 3.使用HL判定时，未先说明两个三角形是直角三角形 4.角平分线性质应用时，忽略"距离"必须是垂线段的长度 5.辅助线添加不规范，或添加后未证明就直接使用结论 重点 1.全等三角形的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2.根据已知条件灵活选择合适的判定方法证明三角形全等 3.全等三角形的性质与判定的综合应用 4.角平分线的性质与判定及其应用 难点 1.复杂图形中全等三角形的识别与对应关系的确定 2.添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题 3.全等三角形的几何模型（一线三等角、手拉手等）的识别与应用 4.全等三角形中的动点问题、最值问题等综合题型 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 2．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意构建全等三角形模型，利用全等三角形对应边相等得出小明上升的高度等于小颖下降的高度是解题的关键． 【详解】解：设水平位置为，小明所在位置为，小颖所在位置为， 是跷跷板的中点， ， 在和中， ， ， ， 小颖从水平位置下降，即， ， 小明离地面的高度=支点至地面的距离． 二、填空题 4．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 【答案】2 【分析】过点D作于点E，可证明，得到，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2． 5．如图，，点在线段上，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形全等对应角相等，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 【答案】解：所求图形，如图所示． 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 8．如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 【答案】(1)同意工人师傅的说法． 理由：连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)160元 【分析】（1）连接，先证明，再证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，可得米，米，即可求出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴米，米， ∴（平方米） 总费用：（元）． 答：搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费160元． 10．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形如下： (2)①证明：， ． ， ， ， ， ．                                                                          在和中， ， ， ；                                     ②关系：；                                         证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $