2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册期中复习题（二次函数+相似三角形）精选复习题

相似三角形及二次函数精选复习题 （解析版） 一、比例线段与相似三角形的判定 1．点 在线段 上， 是等边三角形，．当 时，______． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ． 点 在线段 上，，故 ，从而 ． 由相似还可得 ，．在 中，． 所以 ． 2．如图，，，如果 ，那么 ______． 【答案】 【解析】由 得 ． 对应 份，每份为 ． ． 3．如图， 是 内一点，且 ，如果 ，，，那么 ______． 【答案】 【解析】三个角相等且和为 ，故 ． ，即 ；在 中 ，所以 ． 又 ，故 ． ，即 ，得 ． 4．如图，四边形 是 的内接矩形，其中 分别在边 上，点 在边 上，， 是 的高，，，那么矩形 的周长是______． 【答案】 【解析】设 ，则 ．由 得 ． 相似比等于对应高之比：． 解得 ，故 ，，矩形周长为 ． 5．如图，已知点 分别是 边 上的两点，，，， 和 相交于点 ，且 ，则 的面积为______． 【答案】 【解析】， 得 ，面积比为 ，故 ． ，，相似比 ，故 ，且 ． 于是 ，．设 ，则 ，． ；又 ，，故 ，． 6．如图，在平行四边形 中，连接 ， 为边 上一点，连接 并延长交 的延长线于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，． （1）若 ，求 的长； （2）已知 ，求 的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在 中，，故 ． ，所以 ． （2）由 及条件得 ． 设 ，则 ，，故 ． 7．如图，已知正方形 的边长是 ，，，线段 的两端在 边上滑动，当 ______ 时， 与以点 为顶点的三角形相似． 【答案】 或 【解析】 为 中点，，，，故 ． 中 ， 为斜边，与 的斜边 对应，相似比为 ． 对应 时，； 对应 时，． 二、相似三角形的性质与面积比 8．如图，已知在四边形 中， 与 相交于点 ，，，，，则 ______． 【答案】 【解析】， 得 ，又 ，故 ． 于是 ，即 ． ． 所以 ． 9．如图，已知点 分别是 边 上的两点，，，， 和 相交于点 ，且 ，则 的面积为______． 【答案】 【解析】本题与第 题条件完全相同，解法一致． ，相似比 ，；，相似比 ． 设 ，可求得 ，而 ，故 ，． 10．如图，在 中，，，，有并排的 个相同的小正方形组成的矩形内接于 ，那么小正方形的边长是______（用 的代数式表示）． 【答案】 【解析】设 边上的高为 ，由面积 得 ． 设小正方形边长为 ，则矩形宽为 、高为 ，矩形上边与 相交，所截小三角形与 相似． 相似比 ，即 ，解得 ． 11．如图， 是平行四边形 对角线 上两点，．连接 并延长，分别交 于点 ，连接 ，则 的值为（　　） （A）　　（B）　　（C）　　（D） 【答案】（B） 【解析】由 得 ，，故 ． 同理 ，，故 ． 设平行四边形面积为 ，则 ． 在 上且 ， 在 上且 ，可算得 ． 所以 ． 三、三角形的重心与中位线 12．如图，在 中，，，，点 为 的重心，联结 ，则 的长为______． 【答案】 【解析】，斜边中线长为 ． 重心到顶点的距离等于对应中线长的 ，故 ． 13．如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，那么 ______． 【答案】 【解析】 且 ， 为 中点，故 ． 与 中 ，相似比为 ，故 ，即 ． 又 中 边上的高与 中 边上的高之比为 （ 与 的距离关系）， 由 、高之比 得 ，所以比值为 ． 14．如图，在 中，点 是中线 上一点，且 ，点 分别在边 上， 经过点 ，那么下列结论中，错误的是（　　） （A）如果 ，那么 （B）如果点 与点 重合，那么 （C） 是一个定值 （D） 是一个定值 【答案】（D） 【解析】设 ，．由 三点共线及 ，用向量或梅涅劳斯定理可得 ． （A） 时 ，，故 ，正确． （B） 时 ，，，正确． （C），为定值，正确． （D） 随 的位置变化，不是定值，错误． 15．如图， 中，中线 交于点 ，，，则 的长为______． 【答案】 【解析】设 为原点， 沿 轴， 沿 轴，则 ． 由 是 中点得 ，，故 ． ． 16．如图， 为 的重心，，，那么 的长为______． 【答案】 【解析】以 为原点， 分别为坐标轴，设 ，． 重心满足 ，故 ． ，而 ． 17．如图，在 中， 在 边上，， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．若 ，则 的长为______． 【答案】 【解析】取 为原点，，，则 ， 为 中点， ． 设 在 上，，与 共线得 ， 解得 ，，即 ． 故 ，． 四、图形的翻折 18．如图，点 是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点 与点 重合，折痕为 （点 在边 上）．当点 为 的三等分点时，______． 【答案】 或 【解析】折痕 是 的垂直平分线，故 ．设边长为 ，，则 ． 在 中 ，由余弦定理 ，即 ． 当 时解得 ，； 当 时解得 ，． 19．如图，在 中，点 分别在边 上，，将 沿直线 翻折后与 重合， 分别与边 交于点 ，如果 ，，那么 的长是______． 【答案】 【解析】 且 ，故 ． 设 到 的距离为 ，则 到 的距离为 （相似比 ）． 翻折后 到 的距离也是 ，故 到 的距离为 ． ，，相似比 ，所以 ． 20．在直角三角形纸片 中，，，．点 在边 上，将 沿 翻折，得到 ．当 时， 与 重叠部分的面积是______． 【答案】 【解析】．由 得 ，又 ，故 ，，从而 ． 以 为原点、 为坐标轴，则 ，，． 关于直线 的对称点为 ，可验证 ． 与 平行，故重叠部分为 ，其中 是 与 的交点 ． ． 21．如图，在矩形 中，，， 为 的中点， 为 边上一动点，把矩形沿 折叠，点 的对应点分别为 ，连接 并延长交射线 于点 ，交直线 于点 ．当 恰好运动到 的三等分点处时， 的长为______． 【答案】 或 【解析】折叠中 是 的垂直平分线，故 ， 就是过 且垂直于 的直线与直线 的交点． 以 为原点， 为坐标轴，则 ，，，． 为 三等分点： 时 斜率为 ，垂线 与 交于 ，； 时 斜率为 ，垂线 与 交于 ，． 22．如图，在边长为 的正方形 中，点 为边 上的动点（不与点 重合），将 沿着 翻折得到 ，过点 分别作 ，，垂足分别为点 ，则 的最大值为______． 【答案】 【解析】 就是 到 的距离．设 （）， 到 的距离为 ． 关于 的对称点为 ，故 ． 令 ，则 ，，故 ． 当 （即 ）时取最大值 ． 五、图形的旋转与平移 23．如图，在 中，，，，将 平移使其顶点 位于 的重心 处，则平移后所得三角形与原 的重叠部分面积是______． 【答案】 【解析】以 为原点， 为坐标轴，则 ，，重心 ． 平移向量为 ，新三角形顶点为 ． 两三角形斜边分别为 与 ，重叠部分是由 围成的直角三角形， 直角边长分别为 与 ，面积 ． 24．如图，正方形 的边长为 ，点 为对角线 的交点，点 为边 的中点， 绕着点 旋转至 ，如果点 在同一直线上，那么 的长为______． 【答案】 【解析】取 ，，，． 在直线 上且 ，解得 ，． 由余弦定理 ，故旋转角 满足 ，． ． 25．如图，在 中，，点 在 上，且 ，，若将 绕点 顺时针旋转得到 ，且 落在 的延长线上，联结 交 的延长线于点 ，则 ______． 【答案】 【解析】取 ，由 得 ，． 由 解得 ； 在射线 上且 ，得 ． ，，旋转后 ． 直线 与射线 交于 ，故 ． 26．在 中，，， 绕着点 旋转后能与 重合，那么 与 的周长之比为______． 【答案】 【解析】旋转后 ，，． ，，两三角形均为等腰三角形． 周长之比 ． 27．如图，将矩形 绕点 旋转，使点 的对应点 恰好落在 上．若 ，，连接 ，则 的长为______． 【答案】 【解析】取 ，． 在 上且 ，解得 ，故 ，． ． ． 六、位似与网格作图 28．已知直线 与 轴、 轴分别交于 两点， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，则点 的坐标为______． 【答案】原题信息不全，需核对 【解析】直线与 轴交于 ，与 轴交于 ． 原 PDF 该题的文字中未给出点 的坐标及位似中心 的位置， 无法唯一确定． 若位似中心为原点 ，则 为 或 ．请补充原题信息后再定． 29．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是______． 【答案】 【解析】取网格左下角为原点，，则 ，，． 设相似比为 ，则 三边为 ，要使三边都是格点距离， 只能取 等值． 由最长边 得 ；其中 时三边为 ，可取 ，面积 为最大． 故 ， 与 的相似比为 ，即 与 的相似比为 ． 30．由小正方形构成的 网格中，每个正方形的顶点叫做格点． 的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图 中，仅用无刻度尺子在线段 上找一点 ，使得 ； （2）在图 中，仅用无刻度尺子在线段 上找一点 ，使得 ； （3）在图 中，仅用无刻度尺子在线段 上找一点 ，使得 ． 【答案】见解析（作图痕迹） 【解析】（1）以 为对角线作格点矩形，连接另一条对角线，两对角线交点即为 的中点 ． （2）在网格中过 任取一格点连线，在其上依次截取 格、 格得点 ，连接 ，再过 作 的平行线交 于 ，由平行线分线段成比例得 ． （3）利用网格中 的格点连线（即小正方形对角线方向），过 作该方向的直线交 于 ，即为所求． 31．如图是由单位长为 的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．用无刻度直尺作出符合要求的图形．（不写作法，保留作图痕迹，每小题单独写结论） （1）在图 中，求作 ，交 于点 ； （2）在图 中，求作 ，垂足为点 ； （3）在图 中，在 上求作一点 ，连接 ，使得 平分 的面积． 【答案】见解析（作图痕迹） 【解析】（1）由平行线的格点判定，过 作与 方向相同的格点连线，与 的交点即为 ． （2）取 的格点方向向量 ，过 作方向 的格点连线交 于 ，即为垂足． （3）先作出 的中点 （借助格点矩形对角线），再连接 ；过 作 的平行线交 于 ，则 平分 的面积． 七、锐角三角比与黄金分割 32．在 中，， 是高，如果 ，，那么 的长为（　　） （A）　　（B） （C）　　（D） 【答案】（C） 【解析】 是高， 中 ，故 ． 在 中 ，故 ． 33．已知舞台 长 米，如果主持人从点 出发站在舞台的黄金分割点 处报幕，且 ，那么主持人应走______米． 【答案】 【解析】 为 的黄金分割点且 ，则 ． （米）． 34．某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建，其坡度由 改为 ，已知原滑梯的长为 m，点 在同一水平面上，改建后的滑梯加长了______米． 【答案】 【解析】坡度为 时倾角 ，滑梯高 ． 坡度 时倾角 ，新滑梯长 ． 加长 （米）． 八、二次函数的图像与性质 35．已知 （其中 为常数，且 ），小明在用描点法画 的图像时，列出如下表格：当 分别为 时， 分别为 ．根据该表格，下列说法中，正确的有（　　）个 ①抛物线 开口向下； ②抛物线 的对称轴是直线 ； ③，，； ④； （A） 个　（B） 个　（C） 个　（D） 个 【答案】（D） 【解析】由 知对称轴为直线 ，②正确； 为最大值，开口向下，①正确． 设 ，代入 得 ，故 ，，③正确． 开口向下时，自变量离对称轴越远函数值越小．，故 ，④正确． 四个结论全部正确． 36．如图，正方形四个顶点的坐标依次为 ，若抛物线 的图像与正方形的边有交点，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】正方形内点的横坐标满足 ． 当 时 取遍 ，要与 有公共部分，需 且 ，即 ． 当 时图像在 轴下方，与正方形无交点．故 ． 37．二次函数 的图像与 轴有两个交点，则实数 的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】为二次函数，须 ，即 ． ，解得 ． 综上 且 ． 38．如图，将抛物线 在 轴下方部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到图形 ，当直线 （ 为常数）与图形 恰有三个公共点时，则 的值是（　　） （A） 或 　（B） 或 　（C） 或 　（D） 或 【答案】（B） 【解析】，与 轴交于 ；翻折后 在 上为 ． 直线与翻折部分相切时： 的 ，得 ，此时两侧各交一点，共 个． 直线过翻折部分端点 时 ，此时交点为 （端点）、，共 个． 39．已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图像沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线 与新图像有 个交点时，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 得 ，翻折后 上图像为 ，其余部分仍为 ． 与中间部分：，要在 内有两个根，需 ，即 ． 与两侧部分：，左根 、右根 要求 ． 综上 ． 40．对称轴为直线 的抛物线 （ 为常数，且 ）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（ 为任意实数）；⑥当 时， 随 的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） （A）　（B）　（C）　（D） 【答案】（B） 【解析】图像开口向上（），与 轴交于 和 ，与 轴交于负半轴（），对称轴 得 ． ① 正确；②有两个交点， 正确． ③ 在两根之间，，错误；④，代入 得 ，错误． ⑤ 为最小值，故 ，即 ，正确；⑥ 时 随 增大而减小，正确． 正确的有①②⑤⑥，共 个． 九、二次函数的实际应用 41．投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为 m）．某同学将箭从 处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线 的一部分，且当箭的最大高度为 m 时，距离抛出点的水平距离为 m．把壶近似看作矩形 ，已知壶口的宽度 m，壶的高度 m． （1）若箭刚好由点 处擦边投入壶中，求人离壶的距离 ． （2）在（1）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1） m；（2） 【解析】（1）由题意顶点为 ，设 ，代入 得 ，即 ． 箭在 处擦边入壶，此时 ：，解得 （另一根为负舍去），故 m． （2）设抛出高度 ，抛物线仍为 ，令 得 ． 箭要入壶，落点横坐标需满足 ，即 ，解得 ． 42．为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池 进行加长改造（如图①，改造后的水池 仍为长方形，以下简称水池 ）．已知 m， m．同时，再建造一个周长为 米的矩形水池 （如图②，以下简称水池 ）． 【建立模型】如果设水池 的边 加长长度 为 米（），加长后水池 的总面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：（）；设水池 的边 的长为 米（），面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】（1）水池 面积的最大值是______ m；当水池 的面积大于水池 的面积时， 的取值范围是______． （2）在 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值； （3）假设水池 的边 的长度为 米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池 ），则水池 的总面积 （平方米），关于 （米）（）的函数表达式为：（）．当水池 与水池 的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出 的值． 【答案】（1）； 或 ；（2）最大值为 ，此时 ；（3） 【解析】（1），当 时取最大值 ． 由 得 ，即 ，解得 或 ，结合 得 或 ． （2）设面积差 ，在 内当 时取最大值 ． （3） 即 ，整理得 ，有唯一解需 ，故 ． 43．如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长．该花架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架．若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向右为 轴，竖直向上为 轴，建立平面直角坐标系（单位：米）．经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水平间距）为 米，立柱高度为 米，最高点距地面高度为 米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立柱的顶端． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若花架内垂直高度不低于 米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长．结合函数图像与性质，求出该区域对应的自变量 的取值范围； （3）为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带．灯带两端均固定在拱形框架上且保持水平绷直（即为一条线段）．设两条灯带所在直线分别为 和 ，其中 ．若两条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的 ．请直接写出 和 的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）抛物线过 ，顶点为 ，设 ，代入 得 ． （2）令 ，得 ，即 ． （3）高度为 的灯带长 ．设上方长 、下方长 ， 由长度之比 与长度之和 得 ，故 ，． 十、二次函数与几何综合 44．（本题满分 分）已知抛物线 （）与 轴交于点 两点（ 在 左边）， 是抛物线上的一个动点（不与 重合）， 是 的中点，联结 并延长，交 于点 ． （1）用含 的代数式表示 的坐标；（ 分） （2）求 的值；（ 分） （3）当 两点到 轴的距离相等，且 时，求抛物线和直线 的解析式．（ 分） 【答案】（1）；（2）；（3），直线 【解析】（1）令 ，即 ，得 或 ，故 ． （2）设 ， 在 上且 ，又 在 上（ 为 中点）， 比较纵坐标得 ，代入横坐标解得 ，即 ，故 ． （3） 到 轴距离相等，，取 ，得 ，． ，而 ，得 ． 故抛物线 ，，直线 为 ． 45．已知顶点为 的抛物线经过点 ，与 轴交于 两点（点 在点 的左侧）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 ，求 的面积； （3）点 在 轴上，如果 ，求点 的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【解析】（1）设 ，代入 得 ，，故 ． （2） 得 ．． （3）设 ，，，由夹角 得 ， 化简得 ，解得 或 ，故 或 ． 46．如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 经过点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）过点 的直线，交直线 于点 ，交抛物线于点 （点 与 不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接 ，当 等于 的 倍时，求点 的横坐标． 【答案】（1）；（2）①存在，；② 【解析】（1）直线 交 轴于 、交 轴于 ．代入抛物线：， 得 ，故 ，． ①设过 的直线 ，与 交于 ，与抛物线交于 ． 由 得 ，（取第一象限），． ② 满足 ，故 ． 设 ，由 与 夹角正切 得 ，直线 斜率 ， 的横坐标为 ． 47．如图，二次函数 的图像与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点． （1）求 的值； （2）如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标； （3）如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在， 或 ，此时 最小为 【解析】（1），由 轴且 知对称轴为 ，故 ． 由 得 ，代入 ，结合 解得 ，此时 ． （2） 关于 的对称点为 ， 在 上，得 ，即 ． （3）设 ，，，则 ． 由 得 ， 在抛物线上， 或 ，最小值为 ， 此时 或 ，对应 或 ． 48．如图，已知矩形 中，，， 是 边上一点（不与 重合），过点 作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 ． （1）求证：； （2）设 ，，求 关于 的函数解析式，并写出定义域； （3）当 为等腰三角形时，求 的长． 【答案】（2）（）；（3） 或 或 【解析】（1） 得 ，而 ，故 ． 又 ， 在 上，，故 ． （2）以 建系，， 与 交于 ． 算得 ，，故 ，定义域 ． （3）．分别令 ，解得 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形及二次函数精选复习题 (学生版) 一、比例线段与相似三角形的判定 1.点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，PA≠PB.当△ACP一△PDB时，∠APB= 2.如图，DE|FG‖BC,AD:DF:FB=2:3:4,如果EG=4,那么AC= B 1/26 3.如图，D是△ABC内一点，且∠ADC=∠BDA=∠BDC,如果AD=2,BD=3, ∠ABC=60°，那么CD=· A D 4.如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB、AC上，点E、F 在边BC上，DG=2DE,AH是△ABC的高，BC=20,AH=15,那么矩形DEFG的周长是 H 2/26 5.如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DEBC,AD=1,BD=2,CD 和BE相交于点O,且S△ADE=2,则△BOC的面积为· A D E B C 6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长 酸于点M,交BD于点G,过点G作GPBC交DC于点E,PE=号 (1)若BD=20,求BG的长： 蜘器瓷求器的 A D B E M 3/26 7.如图，已知正方形ABCD的边长是2，BE=CE,MN=1,线段MN的两端在AD、CD边上 滑动，当MD=时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似. 11 D N B E ( 二、相似三角形的性质与面积比 8.如图，己知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB1AC,CD⊥BD, AO_2 BO 3 S△A0D=4,则S△B0c=, 4/26 9.如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DEBC,AD=1,BD=2,CD 和BE相交于点O,且S△ADE=2,则△BOC的面积为· A D E B 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,有并排的m个相同的小正方形组成的矩 形内接于△ABC,那么小正方形的边长是（用m的代数式表示）. C 5/26 11.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=二AC.连接DE、DF并 4 延长，分别交AB、BC于点G、H连接GH则S△A的值为() SABGH (D)1 D C H E A G B 三、三角形的重心与中位线 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=6,AB=8,点G为△ABC的重心，联结AG,则 AG的长为一 6/26 I3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H,那么 SAHEF- SADBE A 图在△ABC中，点G是中线AH一点，且A侣=点D、E分别在边AB、 上，DE经过点G,那么下列结论中，错误的是() (A)如果AD=3BD,那么DE‖BC (B)如果点E与点C重合，那么AD:BD=3:2 (C)AB+AC AD AE 是一个定值 (D)AD+AE AB AC 是一个定值 7/26 15.如图，△ABC中，中线BD、CE交于点G,BD⊥CE,AG=4,则BC的长为 D a 16.如图，G为△ABC的重心，AG⊥GC,BG=4,那么AC的长为 G B 17.如图，在△ABC中，D在，AC边上，AD:DC=1:2,O是BD的中点，连接AO并延长交 BC于点E.若BE=3,则EC的长为· ) B 8/26 四、图形的翻折 l8.如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕 为EF(点E在边AB上)·当点D为BC的三等分点时，AE:EB=一· A E B D 19.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE‖BC,将△ADE沿直线DE 折后专△PDE重合，DP、EP分别与边BC交于点M、N,如果DE=8,AB-子郭2 MN的长是 20.在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=5.点D在边AB上，将△ACD沿 CD翻折，得到△A'CD.当A'C‖DB时，△A'CD与△BCD重叠部分的面积是· 9/26 21.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,M为AD的中点，N为BC边上一动点，把矩形 沿MN折叠，点A、B的对应点分别为A'、B',连接AA'并延长交射线CD于点P,交直线 MN于点O.当N恰好运动到BC的三等分点处时，CP的长为一 A M D B 22.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边AB上的动点（不与点A、B重合），将 △ADE沿着DE翻折得到△FDE,过点F分别作FM⊥DE,FN⊥CD,垂足分别为点M、N, 则FM+FN的最大值为· N D M E B 10/26 五、图形的旋转与平移 23.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=9,将△ABC平移使其顶点C位于△ABC 的重心G处，则平移后所得三角形与原△ABC的重叠部分面积是 B G 24.如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点， △BED绕着点B旋转至△BDE,如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为一· B 11/26 25.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=6,AB=18,若将 △ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC'B',且C'落在CO的延长线上，联结BB'交CO的 延长线于点F,则BF= B B 26.在△ABC中，AB=3,AC=4,△ABC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，那么△ABB' 与△ACC'的周长之比为_· 27.如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B'恰好落在BD上.若AB=5, BC=12,连接DD',则DD'的长为一· D' A D B B C 12/26 六、位似与网格作图 28.已知直线y 3x+1与X轴、y轴分别交于A、B两点，△BO'C'与△BOC是以点P 为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，则点B'的坐标为 29.在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，如图，在 4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△就也是该网格中的一个格点三角形，它与 △ABC相似且面积最大，那么△ABC与△乙相似比的值是一· 13/26 30.由小正方形构成的8×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点.△ABC的顶点在格点上，仅用无 刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点D,使得AD=CD: (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点M,使得AM-? CM3 (3)在图3中，仅用无刻度尺子在线段AB上找一点D,使得∠ACD=45°， 图1 图2 图3 31.如图是由单位长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.用无刻度直尺作出符 合要求的图形.（不写作法，保留作图痕迹，每小题单独写结论） (1)在图1中，求作DE‖AC,交BC于点E: (2)在图2中，求作DH⊥AC,垂足为点H; (3)在图3中，在BC上求作一点M,连接DM,使得DM平分△ABC的面积 14/26 七、锐角三角比与黄金分割 32.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m,∠A=a,那么BC的长为() (A)m'tana'cosa (B)m'sinacosa (C)mtana (D) m'tand coSa sing 33.已知舞台AB长10米，如果主持人从点A出发站在舞台的黄金分割点P处报幕，且AP<BP, 那么主持人应走米 34.某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建，其坡度由1：1改为1：3，已知原滑梯的长为 5m,点D、B、C在同一水平面上，改建后的滑梯加长了米. D B C 15/26 八、二次函数的图像与性质 35.已知fx)=aX+bx+c(其中a、b、c为常数，且a≠0)，小明在用描点法 y=f(x)的图 像时，列出如下表格：当x分别为-1、0、1、2时，y分别为-2、2.5、4、2.5.根据该表格， 下列说法中，正确的有()个 ①抛物线y=f(x)开口向下： ②抛物线y=f(x)的对称轴是直线x=1: ③a<0,b>0,c>0: ④f(7)>f(-6): (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 36.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)、(3,1)、(3,3)、（1,3)，若抛物线y=ax2的图像与 正方形的边有交点，则实数a的取值范围是。 37.二次函数y=(k+1)X+2k+1)x+(k+2)的图像与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 16/26 38.如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1, 当直线y=X+b(b为常数)与图形C1恰有三个公共点时，则b的值是() A)-1成-3®)1或 2(C)1或3(D)3或-13 4 C B 39.已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图像沿X轴 翻折到X轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线y=一x+b与新 图像有4个交点时，则b的取值范围是一· 17/26 40.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学 得出了以下结论：①abc>0:②b2>4ac;③4a+2b+c>0:④3a+c>0;⑤a+b≤m(am+b)(m为 任意实数)；⑥当x<-1时，y随X的增大而减小.其中结论正确的个数为() (A)3(B)4(C)5(D)6 x=1 18/26 九、二次函数的实际应用 41.投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距 离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线.同学们受游戏启发， 将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1）·某同学将箭从 A(0,1.5)处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L:y=ax+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时， 距离抛出点的水平距离为1m.把壶近似看作矩形DEFG,已知壶口的宽度GF=0.2m,壶的高度 EF=0.72m. (1)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE. (2)在(1)的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投 入壶中，请直接写出OA的取值范围. 19/26 42.为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池ABCD进行加长改造（如图①， 改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1).已知AD=4m,AB=1m.同时，再建造一 个周长为12米的矩形水池EFGH(如图②，以下简称水池2). 【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x米(x>0),加长后水池1的总面积 为y1平方米，则y1关于x的函数表达式为：y1=x+4(X>0);设水池2的边EF的长为X米 0<x<6),面积为y,平方米，则y,关于x的函数表达式为：2=-X+6x0<x<6),上述两 个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③. 【问题解决】(1)水池2面积的最大值是 1 ☐，当水池1的面积大于水池2的面积时，x的 取值范围是一· (2)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时X的值： (3)假设水池ABCD的边AD的长度为b米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3 ),则水池3的总面积y3(平方米)，关于X(米)(x>0)的函数表达式为：y3=x+b(x>0). 当水池3与水池2的面积相等时，X(米)有唯一值，请直接写出b的值. E H D B M 水池2 水池1 C G 0 图① 图② 图③ 20/26 43.如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长.该花 架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架.若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向 右为X轴，竖直向上为y轴，建立平面直角坐标系（单位：米），经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水 平间距)为6米，立柱高度为2米，最高点距地面高度为3米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立 柱的项端. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若花架内垂直高度不低于2.5米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长.结合函数图像与性质， 求出该区域对应的自变量X的取值范围： (3)为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带.灯带两端均固定在拱形框 架上且保持水平绷直（即为一条线段）.设两条灯带所在直线分别为y=m和y=n,其中m>n.若两 条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的 3 请直接写出m和 n的值. y=m =n 21/26 十、二次函数与几何综合 44.(本题满分12分)已知抛物线y=-x2+mx+2m2(m>0)与x轴交于点A、B两点(A在 B左边)，C是抛物线上的一个动点（不与A、B重合），D是OC的中点，联结BD并延长，交 AC于点E. (1)用含m的代数式表示A、B的坐标：(4分) 2)求是 的值；(4分) C、A两点到y轴的距离相等，且ScD。时，求抛物线和直线BE的解析式。 22/26 45.已知顶点为A(2,-1)的抛物线经过点B(0,3),与x轴交于C、D两点（点C在点D的左 侧)· (1)求这条抛物线的表达式： (2)联结AB、BD、DA,求△ABD的面积； (3)点P在X轴上，如果∠ABP=45°，求点P的坐标. 23/26 46.如图，二次函数y=ax2-3ax+c的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线 y=-x+2经过点B、C. (1)求抛物线的表达式： (2)过点A的直线，交直线BC于点N,交抛物线于点M(点M与A不重合)， ①在第一象限内，是否存在这样的点M,使得AM=2AN?若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由 ②连接AC,当∠ANB等于∠ACB的2倍时，求点M的横坐标. M 24/26 47.如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OB=OC. 点D在函数图像上，CD‖x轴，且CD=2,直线I是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点. (1)求b、c的值： (2)如图①，连接BE,线段OC上的点F关于直线I的对称点F'恰好在线段BE上，求点F 的坐标： (3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于 点N.试问：抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最 小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由 C E 图① 图② 25/26 48.如图，已知矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是BC边上一点（不与B、C重合），过点 E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F,过点B作BG⊥AC,垂足为G,BG交AE于点 H. (1)求证：△ABH一△ECM (2)设BE=X, ,y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域： (3)当△BHE为等腰三角形时，求BE的长. M 26/26