2026-2027学年苏科版九年级上册数学期中考试模拟提升卷（第1-3章）

2026-2027学年九年级上册数学期中考试模拟提升卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 2．下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断方程是否为一元二次方程，先看是否为整式方程，若是再整理，若能整理为的形式，则是一元二次方程． 【详解】解：A. 当时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B. 是整式方程，只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数不为0，故该选项符合题意； C. 方程含分式，是分式方程，故该选项不符合题意； D. 将方程右边展开得，移项整理得，是一元一次方程，故该选项不符合题意． 3．下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各方程整理为一般形式，结合配方法的适用范围判断． 【详解】解：、为一元二次方程，二次项系数化为后可配方求解，不符合题意； 、整理得，是一元三次方程，配方法仅适用于一元二次方程，无法使用，符合题意； 、为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意； 、整理得，为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意． 4．如图，是的直径，点在上，且点在的异侧，连接．若，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得的度数，则由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 【答案】B 【分析】根据“倍根方程”的定义，结合韦达定理求出与的关系，进而求出代数式的值． 【详解】解：先对方程因式分解：， ， 解得，， 由“倍根方程”定义，一根是另一根的倍，分两种情况： ①若： ， ②若： ． 综上可知，代数式的值为或． 6．已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】过点作，交于，，连接，利用勾股定理求出，可得的长，根据过点的最短的弦是垂直于的弦，最长的弦是过点的直径，即可判断． 【详解】解：过点作，交于，，连接，则，， 在中，， ∴， ∵的半径为 5， ∴的直径为， ∴过点的最短的弦长为8，最长的弦长为10， ∴过点的所有弦中，弦长不可能为 7． 7．如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（     ） A．12 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的性质求出，即可求解. 【详解】解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 8．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 二、填空题（共20分） 9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再将求值即可． 【详解】解：设眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为，根据题意，得 ， ∴函数关系式为． 当时，， 解得， 所以小明同学的眼镜近视度数为500度，眼镜镜片焦距为0.2米． 10．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 【答案】 【详解】解：由图可知，蛋筒圆锥部分包装纸是一个扇形，这个扇形的半径为，扇形的弧长为， 则蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 11．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 12．已知是一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【分析】将方程的根代入原方程得到，对所求多项式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， 对所求代数式变形：， 将代入上式得：． 13．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合给定的的取值范围，先判断各点对应值的正负，再利用同一象限内的函数增减性比较同象限的值大小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 反比例函数的比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、位于第二象限的函数分支上，对应的、均为正数，且， ∵ ， ∴ 点位于第四象限的函数分支上，对应的为负数，即， 综上可得． 14．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 【答案】 或 【分析】先因式分解求出方程的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出绝对值方程，求解得到的值； 【详解】解：对因式分解得， ∴，， ∵该方程是“伴根方程”，满足， ∴， 整理得， ∴或， 解得或． 15．内接于，若，，，则的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 16．如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 【答案】/58度 【分析】由平行线的性质得，利用圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，求出，由圆周角定理得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 17．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 【答案】12 【分析】过点作，垂足为，根据含的直角三角形的性质可得，进而求出面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 的半径为2， ， 圆的内接正十二边形的中心角为， ， ， 圆的内接正十二边形的面积． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 【答案】 【分析】根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4051， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， 20．已知直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两函数解析式得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解； （2）结合双曲线解析式将转化为含的表达式，利用根与系数的关系列方程求解k． 【详解】（1）解：联立直线与双曲线的解析式，得 ， 是该方程的两个实数根， ∴； （2）解：点，在双曲线上， ， ， 在中，， ， ． 解得． 21．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 【答案】(1)，是的半径， （垂径定理）． (2)5 【分析】（1）本题考查垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，直接利用定理即可证明弧相等； （2）设圆的半径为，结合表示出，由垂径定理得到，在中用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 解得：， 的半径为． 22．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2) 解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）略 23．一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． （1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； （2）解：∵点，点， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ∴的横坐标的取值范围为． 24．如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． (1)如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【详解】（1）如图，连接， ，是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点， ， ∴． ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 25．已知直线分别与x轴、y轴交于，两点，过，，三点作，是劣弧的中点． (1)请直接写出，，的坐标． (2)连接，点是上的一个动点，点是直线上的一个动点，当四边形的面积最大时： ①求点的坐标；②求的周长的最小值． (3)点是y轴上的一点，把沿直线翻折，使点的对应点落在边上．连接交x轴于点，交于点，连接． 以下两个结论：①；②，其中有且只有一个结论是正确的．请写出你认为正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)正确的结论是：， 由翻折可知：，设， 由的面积， ，解得， ， 由，， 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 由，，可得直线的解析式为， 联立 解得 即，    在中，当时，，解得， ， ，，，， ． 【分析】（1）分别令、求、坐标，再由为直径确定圆心，利用为劣弧中点求其坐标； （2）①把四边形面积拆为与面积之和，使点到距离最大时面积最大，结合圆的性质求点；②作关于的对称点，把折线周长转化为直线段求最小值； （3）由翻折确定位置，联立直线求交点、，再分别求得，即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，令，得，解得， ∴． 令，得， ∴． ∵点、、都在上，且， ∴为的直径，圆心为的中点， ∴，半径． 弦的垂直平分线为；在⊙M上且位于劣弧上（在轴下方）， 设，根据半径为，则， 解得或， 由在轴下方取， ∴． （2）解：①四边形的面积可以看作的面积和，而的面积为定值， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当到的距离最大时，的面积最大 ∴当点在直线上方的半圆的中点时，四边形的面积最大， 连接，过点作直线轴，过点作于点， ， 是的直径， ， 点在直线上方的半圆的中点， （垂径定理的推论）， ， 轴， ， ， 在和中， ，   ，， ．    ②连接，是弧的中点， ， 是的直径， ∴， 延长交轴于点，连接交于点，连接， 根据对称性可知：，则此时的周长最小， 由对称性可知，， ，     ，， 的周长的最小值为． （3）略 26．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ∴，， ， ， ， ， 设反比例函数的表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学期中考试模拟提升卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点在上，且点在的异侧，连接．若，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 6．已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（     ） A．12 B． C．15 D． 8．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 10．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 11．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 12．已知是一元二次方程的一个根，则_________． 13．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 14．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 15．内接于，若，，，则的半径是________． 16．如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 17．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若，求的值． 21．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 22．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 23．一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 24．如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． (1)如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 25．已知直线分别与x轴、y轴交于，两点，过，，三点作，是劣弧的中点． (1)请直接写出，，的坐标． (2)连接，点是上的一个动点，点是直线上的一个动点，当四边形的面积最大时： ①求点的坐标；②求的周长的最小值． (3)点是y轴上的一点，把沿直线翻折，使点的对应点落在边上．连接交x轴于点，交于点，连接． 以下两个结论：①；②，其中有且只有一个结论是正确的．请写出你认为正确的结论，并说明理由． 26．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $