2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中自编练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答． 【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分．    故选：． 【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键． 2．m是方程的根，则代数式的值是(   ) A．-2018 B．2018 C．-2026 D．2026 【答案】A 【分析】把代入得到，进而得到，代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题． 3．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4．如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得，，，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，，， 由折叠可知，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键． 5．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：，， ． ． ． 故选：A． 6．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有人，每两个同学都相互赠送一张卡片，即一个人送出张，依题意列方程，计算即可． 【详解】解：设该兴趣小组的人数为人，则每个同学需送出张卡片， 依题意，得：． 解得或（舍去）， 即该小组一共有18名成员， 故选：C． 7．下列四组图形中，一定相似的图形是(　　) A．各有一个角是30°的两个等腰三角形 B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形 C．各有一个角是120°的两个等腰三角形 D．各有一个角是直角的两个三角形 【答案】C 【详解】根据相似图形概念进行判定,因为有一个角是30°的等腰三角形可能是钝角等腰三角形也可能是锐角等腰三角形,因此A选项不一定是相似图形; 根据三角的判定条件可知,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,因此B选项不一定是相似图形; 一个角是120°的等腰三角形只能是钝角等腰,因此C选项各有一个角是120°的两个等腰三角形一定是相似图形; 因为有一个角是直角的三角形形状可能有很多种,因此D选项不一定是相似图形, 故选C. 8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】设两方程的公共根为 ，由方程 左边因式分解，得公共根只能是 或 ；分两类把公共根代入方程 求出 的值，再逐一检验两方程是否恰有一个公共根，从而确定 可取值的个数． 【详解】解：设公共根为 ， 由 ，得 ，即 ， 或 ． ①当 时，代入 ，得 ，即 ，解得 或 ； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； ②当 时，代入 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 或 ； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 综上， 可取的值有 ，，，，共 个． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，已知，请你再补充一个条件______，使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， 添加， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键． 10．若方程有唯一实数解，则a的值为______________． 【答案】0或 【分析】分两种情况，当方程为一元一次方程时，根据关于x的方程有唯一实数解，可知是一元一次方程，依此求出a的值．当方程为一元二次方程时，则判别式为0，即可得出结论． 【详解】当时，方程为，所以，所以方程有唯一实数解， 当时，当时，方程有唯一实数解，所以， 所以当或时，方程有唯一实数解． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根． 11．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 12．如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，根据垂线段最短，解答即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， 根据题意，得， ， 当三点共线时，取得最小值，且最小值为5． 13．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）通过因式分解法求解； （2）先整理方程，再因式分解求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴ 或 解得：， （2）解： 展开右边： 移项： 即 ∵ ∴ 或 解得：， 15．（本题满分7分）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可； （2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点． 【详解】（1）略 （2）略 16．（本题满分8分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)16 【分析】（1）由题意得四边形是平行四边形，再由矩形的性质即可证明四边形是菱形； （2）易得菱形的面积等于的面积，由此即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵菱形是轴对称图形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即． 17．（本题满分8分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)该店下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量和月份的销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据平均每周的销售利润为万元列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， （万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 18．（本题满分9分）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）如图所示，即为所作； （3）米 【分析】本题考查投影和相似三角形的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形即可求解； （3）利用相似三角形的性质构建方程组和方程，求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)略 （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． 19．（本题满分12分）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，点D在直线上，点D的横坐标为，点C在x轴负半轴上，，直线与y轴相交于点E． (1)求直线的函数关系式． (2)点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点M为线段上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点F落在第三象限时，求点M横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，或或或 (3) 【分析】（1）求出点和点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设出点坐标，根据四边形为菱形时，必为等腰三角形，分三种情况，求出点坐标，再根据菱形的对角线互相平分求出点的坐标即可； （3）根据翻折得到，根据点F落在轴负半轴和轴负半轴时的坐标，进而求出这两种临界点时，点的坐标，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点C在x轴负半轴上，， ∴， ∵点D在直线上，点D的横坐标为， ∴当时，， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得， ∴； （2）解：存在； 设，， ∵， ∴，，， 当以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，则必为等腰三角形， ①当时，此时四边形为菱形，则， 解得， ∴或， ∵为菱形的两条对角线， ∴或， ∴或， ∴或； ②当时，此时四边形为菱形，则， 解得（舍去）， ∴，    ∵为菱形的两条对角线， ∴ ∴， ∴； ③当时，此时四边形为菱形，则， 解得， ∴， ∵为菱形的两条对角线， ∴ ∴， ∴； 综上：或或或； （3）解：由（1）知：，，直线的解析式为； ∴，， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，， ∵点M为线段上的一个动点， ∴设，则， 当点恰好落在轴负半轴上时， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 当点恰好落在轴负半轴上时，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ∴当点F落在第三象限时，. 20．（本题满分12分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于点，过点作交于点， ， ， 由（1）同理可得， ， 在矩形中，，， ， 在矩形中，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得， ， ； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）过点作交于点，过点作交于点，由（1）同理证明，根据相似比即可证明； （3）把补成矩形，根据（1）中的结论利用相似三角形解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：过点作且，连接，延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， 由（1）同理可得， ， 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（    ） A． B． C． D． 2．m是方程的根，则代数式的值是(   ) A．-2018 B．2018 C．-2026 D．2026 3．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（    ） A． B．2 C．3 D． 5．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．下列四组图形中，一定相似的图形是(　　) A．各有一个角是30°的两个等腰三角形 B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形 C．各有一个角是120°的两个等腰三角形 D．各有一个角是直角的两个三角形 8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，已知，请你再补充一个条件______，使得． 10．若方程有唯一实数解，则a的值为______________． 11．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 12．如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 13．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 15．（本题满分7分）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 16．（本题满分8分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出菱形的面积． 17．（本题满分8分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 18．（本题满分9分）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 19．（本题满分12分）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，点D在直线上，点D的横坐标为，点C在x轴负半轴上，，直线与y轴相交于点E． (1)求直线的函数关系式． (2)点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点M为线段上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点F落在第三象限时，求点M横坐标的取值范围． 20．（本题满分12分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 1 / 2 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