思维拓展奥数 第三十一讲抽屉原理与容斥原理（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

第31讲 抽屉原理与容斥原理 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 名同学中，能否保证至少有人出生在同一个月份？说明理由。 解析：一年个月相当于个抽屉。若每个月只有人，最多人；人必有至少人同月出生。 跟踪1 【模拟练习】 名同学中，能否保证至少有人出生在同一个月份？说明理由。 解析：不能保证。例如每个月恰好有人出生，合计人，没有任何月份达到人。 例2 【模拟练习】 袋中有红、蓝、黄种球，每种至少个。闭眼取球，至少取几个才能保证有个同色球？ 解析：最不利时每色取个，共个，还未有个同色。再取个必有某色个，所以取个。 跟踪2 【模拟练习】 袋中红、蓝、黄球各有个。闭眼取球，至少取几个才能保证取到至少两种颜色？ 解析：最不利时前个球都是同一种颜色；再取一个一定是另一种颜色，所以至少要取个。 例3 【模拟练习】 参加书法小组人，绘画小组人，两项都参加人，至少参加一项的有多少人？ 解析：两组相加把人多算了一次，人。 跟踪3 【模拟练习】 班上人，每人至少参加唱歌或舞蹈一项。唱歌人、舞蹈人，两项都参加多少人？ 解析：人。 例4 【模拟练习】 全班人，参加篮球人、足球人，两项都参加人。两项都没参加的有多少人？ 解析：至少参加一项人。两项都没参加人。 跟踪4 【模拟练习】 全班人，喜欢围棋人，喜欢象棋人，两种都不喜欢人。两种都喜欢的有多少人？ 解析：至少喜欢一种的有人；两种都喜欢的人数为人。 例5 【模拟练习】 从个整数中，能否保证至少有两个数除以的余数相同？为什么？ 解析：除以的余数只有、、、、、共种。把个整数按余数分成类，至少有一类包含两个数。 跟踪5 【模拟练习】 任意选出个整数，能否保证其中有两个数同为奇数或同为偶数？为什么？ 解析：整数按奇偶分成两类。个数放进两类，至少有一类有个数，所以一定有两个数奇偶相同。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 本书放入个盒子，至少有一个盒子放了几本？ 解析：每盒最多本时共本，所以至少有一个盒子放本。 A2 【模拟练习】 参加跑步人，跳绳人，两项都参加人，至少参加一项多少人？ 解析：人。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 有种不同颜色的卡片，每色充足。至少拿多少张才能保证某色有张？ 解析：先每色拿张，共张，第张必使某色达到张，所以张。 B2 【模拟练习】 人中，喜欢数学人、喜欢阅读人，至少有多少人两者都喜欢？ 解析：两类合并人数最多为人时，重叠最少，人。人数也可能更多，但至少人。 B3 【模拟练习】 个不同整数从到中选出，能否保证其中有两个数的和为？ 解析：把至分为（，）、（，）直到（，）这对。选个数，至少有一对的两个数都被选出，它们的和为。 B4 【模拟练习】 袋中红、蓝、黄球各有个。闭眼取球，至少取几个才能保证三种颜色都取到？ 解析：最不利时先取完两种颜色的个球；再取一个必是第三种，所以至少取个。 B5 【模拟练习】 从到这个整数中任选个，能否保证有两个数的差是？说明理由。 解析：分成、、、四组；选个数至少有两个落在同一组，这两个数的差为。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 把颗糖分给名同学，允许有人没有糖。能否保证有人至少颗？如总数为颗呢？ 解析：大于，能保证至少人颗。颗则可每人颗，不能保证。 C2 【模拟练习】 从到这个整数中任选个，能否保证其中有两个相邻整数？说明理由。 解析：把数分成、、、四组；选个数至少有两个属于同一组，而每组是两个相邻整数。 C3 【模拟练习】 某班人中，喜欢棋类的有人，喜欢音乐的有人。两种都喜欢的人最少和最多分别有多少人？ 解析：两种都喜欢的至少有人；由于两种都喜欢的人不超过喜欢音乐的人，最多为人。两种情况都能通过合理安排其余人数实现。 真题拓展 真题1 【真题改编】 只小猴分颗花生，每只小猴最少分颗，最多分颗。至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？ 解析：花生颗数有至这种。只猴按平均分配，只能保证至少只相同；还要使用总数。若每种颗数最多出现次，只猴必须每种各只，总花生为颗，与矛盾。因此至少只分得相同。这个保证恰好：让分颗的猴有只、分颗的有只，其余每种各只，共只，花生颗，没有任何一种超过只。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $分类放入抽屉 先确定物体与类别 两类合并 两类相加减去重叠 保证至少 考虑最不利的分配 抽屉与容斥 检验上下限 验证极端情况能否实现 第31讲 抽屉原理与容斥原理 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 班级统计书法和绘画兴趣小组人数，两组都参加的同学会不会被重复数？另一个问题：把一些卡片分放进几个盒子，能否保证至少有一个盒子装了规定数量？前者要去掉重复，后者要考虑最均匀、最不利的放法。 关系示意 知识梳理 把多于几个抽屉的物体放入这些抽屉，至少有一个抽屉放进个或更多物体。 要保证某一抽屉至少有个，可先计算每个抽屉最多放个的总数，再加。 两类对象的总人数等于第一类人数加第二类人数，再减去两类都属于的人数。 给出总数或总和等额外条件时，先检查最不利的分配能否同时满足这些条件，不能只机械套用平均数。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 名同学中，能否保证至少有人出生在同一个月份？说明理由。 跟踪1 【模拟练习】 名同学中，能否保证至少有人出生在同一个月份？说明理由。 例2 【模拟练习】 袋中有红、蓝、黄种球，每种至少个。闭眼取球，至少取几个才能保证有个同色球？ 跟踪2 【模拟练习】 袋中红、蓝、黄球各有个。闭眼取球，至少取几个才能保证取到至少两种颜色？ 例3 【模拟练习】 参加书法小组人，绘画小组人，两项都参加人，至少参加一项的有多少人？ 跟踪3 【模拟练习】 班上人，每人至少参加唱歌或舞蹈一项。唱歌人、舞蹈人，两项都参加多少人？ 例4 【模拟练习】 全班人，参加篮球人、足球人，两项都参加人。两项都没参加的有多少人？ 跟踪4 【模拟练习】 全班人，喜欢围棋人，喜欢象棋人，两种都不喜欢人。两种都喜欢的有多少人？ 例5 【模拟练习】 从个整数中，能否保证至少有两个数除以的余数相同？为什么？ 跟踪5 【模拟练习】 任意选出个整数，能否保证其中有两个数同为奇数或同为偶数？为什么？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 本书放入个盒子，至少有一个盒子放了几本？ A2 【模拟练习】 参加跑步人，跳绳人，两项都参加人，至少参加一项多少人？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 有种不同颜色的卡片，每色充足。至少拿多少张才能保证某色有张？ B2 【模拟练习】 人中，喜欢数学人、喜欢阅读人，至少有多少人两者都喜欢？ B3 【模拟练习】 个不同整数从到中选出，能否保证其中有两个数的和为？ B4 【模拟练习】 袋中红、蓝、黄球各有个。闭眼取球，至少取几个才能保证三种颜色都取到？ B5 【模拟练习】 从到这个整数中任选个，能否保证有两个数的差是？说明理由。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 把颗糖分给名同学，允许有人没有糖。能否保证有人至少颗？如总数为颗呢？ C2 【模拟练习】 从到这个整数中任选个，能否保证其中有两个相邻整数？说明理由。 C3 【模拟练习】 某班人中，喜欢棋类的有人，喜欢音乐的有人。两种都喜欢的人最少和最多分别有多少人？ 真题拓展 真题1 【真题改编】 只小猴分颗花生，每只小猴最少分颗，最多分颗。至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $