江苏省常州市2026-2027学年苏科版九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章）

江苏省常州市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 3．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 5．用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．下列说法中，是真命题的有（     ） ①三点确定一个圆； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于这条弦； ④函数的图像与x轴有两个不同的交点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题（共20分） 9．某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 10．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________． 11．在实数范围内定义一种运算“@”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的根为________． 12．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ． 13．物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是__________ 15．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 16．如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 17．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 18．在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程 (1)； (2)． 20．一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求，，． (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的横坐标的取值范围． 21．如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 22．阅读下面的材料，回答问题： 解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，． (1)利用这种方法解方程 (2)已知．利用上述方法求的值 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 24．如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 25．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示______，______； (2)连接、，当的面积为时，求t的值． 26．[问题提出] （1）如图，已知线段，点为上方的一个动点，且点与点之间的距离为．则，，所围成的三角形面积的最大值为 ； [问题探究] （2）如图2，为的弦．，点为圆周上一动点，连接、，，为上一点，且，求周长的最大值； [问题解决] （3）如图3，某农业中心要规划一块形状为四边形的试验田，，，．在边上找一点，连接，交于点，将四边形分为四块不同的区域，在和区域内种植玉米，剩下两块区域内分别种植甲，乙两种不同的水稻，并沿、修两条灌溉水渠．根据设计要求，种植甲水稻的面积与种植乙水稻的面积相等，要求的面积要尽可能大、灌溉水渠的总长度（）尽可能长．问能否达到该规划的设计要求？若能，请求出面积的最大值和灌溉水渠的总长度的最大值；若不能，请说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且. 解得． 2．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 3．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 4．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 5．用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法将化为，可得，，计算，即可得出答案． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即， ∵方程可化为的形式， ∴，， ∴． 6．下列说法中，是真命题的有（     ） ①三点确定一个圆； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于这条弦； ④函数的图像与x轴有两个不同的交点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据圆的确定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，抛物线与轴的交点问题逐一判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①为假命题． ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，一条弦对应两条弧，故②为假命题． ③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径则结论不成立，故③为假命题． ④对于函数， ∵， 又∵， ∴， ∴该函数图像与轴有两个不同的交点，故④为真命题． 综上，真命题共1个． 7．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 8．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 二、填空题（共20分） 9．某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 10．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，交于点，即为弧的圆心，如图： 11．在实数范围内定义一种运算“@”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的根为________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解后即可求解． 【详解】解：根据运算规则，原方程可化为， 利用平方差公式因式分解得， 整理得， 或， 解得． 12．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，首先根据垂径定理可得，再在中，由勾股定理解得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，，且， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：30． 13．物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 【答案】240 【详解】解：根据图象可知，压力不变，压强与受力面积S成反比例函数， 设， ∵在反比例函数图象上， ， 函数表达式为， 当，． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是__________ 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程可得， 移项整理得， 对所求代数式变形可得， 把代入变形后的式子，计算得． 15．已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长，根据直角三角形外接圆直径等于斜边长求半径． 【详解】解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 对方程因式分解得， 解得或， 不妨设，， ∵ 中，， ∴ 由勾股定理得， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴ 外接圆的半径为． 16．如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到，设，用含的代数式表示，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得，（舍去）， ． 17．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 18．在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 【答案】 / 【分析】连接、，过点作，根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，根据三角形的面积公式可以求出正六边形的面积为，根据圆的面积公式可以求出的面积为，根据概率公式即可求出箭落在圆形区域内的概率． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 箭落在圆形区域内的概率为． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）二次项系数为 1，可用配方法或公式法； （2）先移项，再提取公因式因式分解，注意不要两边同除以 ． 【详解】（1）解：移项得 ， ，，， ， ， 即 ，． （2）解：移项得 ， 提取公因式得 ， 所以 或 ， 即 ，． 20．一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求，，． (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：一次函数经过点，点， ， 解得， 点， 反比例函数经过点， ； （2）解：由（1）得，， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴点的横纵坐标都为正数， 点，点， ， ， 由题意得 ， 的横坐标a的取值范围为． 21．如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵的半径为， ， ，， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ， ． 22．阅读下面的材料，回答问题： 解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，． (1)利用这种方法解方程 (2)已知．利用上述方法求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，进而求出的值即可； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 又∵， ∴， 即． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 24．如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：与相切，理由如下： 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴与圆O相切； (2) 【分析】（1）由为角平分线得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，根据垂直于，得到垂直于，即可得证； （2）根据E为弧的中点，得到，利用等弧对等弦得到，证明四边形是菱形，进而证明，推出点F为的中点，易证为的中位线，得到，即，可得出弓形与弓形面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形的面积，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于F， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， 四边形是菱形， 为直径，得到， ， 与相切，C为切点， ， ， ， ， 即， ∴点F为的中点， 点O为的中点， 为的中位线， ，即， 在中，根据勾股定理得：， 则． 【点睛】本题考查切线的判定，角平分线的定义，平行线判断，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，三角形中位线，求不规则图形的面积等知识点．解题的关键是掌握判定切线的方法． 25．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示______，______； (2)连接、，当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴，； （2）解：在矩形中，， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴． 26．[问题提出] （1）如图，已知线段，点为上方的一个动点，且点与点之间的距离为．则，，所围成的三角形面积的最大值为 ； [问题探究] （2）如图2，为的弦．，点为圆周上一动点，连接、，，为上一点，且，求周长的最大值； [问题解决] （3）如图3，某农业中心要规划一块形状为四边形的试验田，，，．在边上找一点，连接，交于点，将四边形分为四块不同的区域，在和区域内种植玉米，剩下两块区域内分别种植甲，乙两种不同的水稻，并沿、修两条灌溉水渠．根据设计要求，种植甲水稻的面积与种植乙水稻的面积相等，要求的面积要尽可能大、灌溉水渠的总长度（）尽可能长．问能否达到该规划的设计要求？若能，请求出面积的最大值和灌溉水渠的总长度的最大值；若不能，请说明理由．    【答案】（1）；（2）最大为；（3）能达到要求，，的面积最大为平方米 【分析】（1）由三角形三边关系得，，则，设点到线段的高为，则，推出，当时，三角形面积最大； （2）设的周长为，则，当时直径时，最大，即可； （3）根据题意，当离点越近时，点到的高越大，则当点和点重合时，点到的距离最大；当点和点重合时，且面积最大，的值达到最大；根据正方形的判定和性质，求出，，即可求出此时的面积和的长． 【详解】由三角形三边关系得，，则 设点到线段的高为，则 ∴ 当，则有最大值 ∴有最大值为：． （2）设的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵点是圆周上的一个动点， ∴当时直径时，最长， ∴，， ∴，， ∴最大为． （3）∵种植甲、乙两种水稻的面积相等， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， 当离点越近时，点到的高越大，则当点和点重合时，点到的距离最大， 当点和点重合时，且面积最大，的值达到最大， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，点为正方形的中心， ∴， ∴ ∴ ∴（平方米）， ∴， ∴能达到要求，，面积最大为平方米．    【点睛】本题考查三角形，圆的基本性质，动点问题，解题的关键是掌握三角形三边的关系，圆的基本性质，动点的运动轨迹． 学科网（北京）股份有限公司 $