精品解析：江苏省常州市正衡中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

常州市正衡中学2025-2026第一学期 九年级数学期中学习情况调查 考试时间：120分钟 试卷页数：共4页 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：有理数的相反数是， 故选：D． 2. 常州的新能源产业澎湃起势．年，常州新能源产业产值超亿元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．利用科学记数法的表示方法正确确定的值以及的值即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：D． 4. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 5. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 通过一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴ ， 故选A． 6. 如图，直线，另两条直线分别交，，于点，，及点，，，且，，，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得．   故选：B ． 7. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，汽车以速度匀速行驶，若一路绿灯通过路口、、、且，则称为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．设汽车在第0秒出发，行驶后路程为．下列选项表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况，“”表示绿灯亮，“”表示红灯亮．能反映速度为绿灯速度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据一路绿灯通过路口、、、且，则称为绿灯速度判断每个选项即可． 【详解】解：A选项：在、处遇红灯，不符合题意； B选项：在处遇红灯，不符合题意； C选项：一路绿灯通过路口，且即在范围内，符合题意； D选项：在处遇红灯，不符合题意； 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 11. 在中，，，，那么长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．利用正切函数的概念直接求解． 【详解】解：在中，，， ，解得， 故答案为：． 12. 圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点为的黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟记黄金分割比列方程求解是解决问题的关键． 设，则，由黄金分割比，列式代值解方程求出，进而由代值计算即可得到答案． 【详解】解：设，则， 点为的黄金分割点， ，即， 则， 解得， （大于长，舍去），， 则， 故答案为：． 15. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的弧长，根据摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，可知扇形所对的圆心角度数为，根据扇形的弧长公式求出的长度即轿厢经过的路径长度． 【详解】解：摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点， ， ． 故答案为： ． 16. 如图，楼高米，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为．若，两楼相距米，则楼落在楼上的影子有______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：． 17. 我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，由两个全等的矩形、矩形组成了“T”字形，，，，若将矩形从如图位置沿着轴方向平移中，使得点落在点处：整个过程中，用一个最小面积的圆（半径可变）将这个图案完全覆盖，则圆心经过的路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是确定最小圆的圆心的位置及垂径定理的运用．根据垂径定理的推论可以判定“T”字形组合图的最小覆盖圆的圆心在的垂直平分线上，根据勾股定理分别求出平移前和平移后，最小覆盖的圆心经过的路程． 【详解】解：作的垂直平分线， 平移前两个全等的矩形、矩形组成了“T”字形是轴对称图形， 这个图案最小覆盖圆的圆心在直线上， ， 直线的解析式为：， 初始位置：， 最终位置：， 最小覆盖圆需覆盖两个矩形的所有顶点，即覆盖到最远的两个顶点， 平移过程中，固定，的坐标从沿轴平移到, 最小覆盖圆的圆心应是线段的垂直平分线与的交点， 初始时，设最小覆盖圆的圆心为, 则圆心到和的距离相等，即： 解得，．即 结束时，设最小覆盖圆的圆心为，则圆心到和的距离相等，即： 解得，，即， ， 则圆心经过的路程是． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 解方程或不等式组 （1）解方程； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法及解一元一次不等式组，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 21. 青少年体重指数是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中表示体重，表示身高．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（） 标准 B． 超重 C． 肥胖（） 男 女 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据： 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于___________等级；（填A， B，C，D） （2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 【答案】（1）B （2）100人， 补全条形统计图如下： （3）120人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体． （1）根据体重指数计算公式：，求出该男生的体重指数即可； （2）从两个统计图可知，样本中体重指数是“C超重”等级的人数是人，占被调查人数的，用频数除以频率即可求出被调查的总人数，求出体重指数是“B标准”的女生人数即可补全条形统计图； （3）用总人数乘以样本中体重指数为“D肥胖”等级的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：该男生的， 由于标准为， ∴该男生的体重指数为“B标准”等级， 故答案为：B； 【小问2详解】 解：总人数为（人）， 样本中体重指数为“B标准”等级的女生人数为（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校2000名学生中体重指数为“肥胖”的学生约为120人． 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲和乙选择不同体验项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲同学从、、三个项目中随机选择一个， 甲选择项目的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中甲和乙选择不同体验项目的结果有种， 甲和乙选择不同体验项目的概率为． 23. 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决） 【答案】 长，宽 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，设围成的矩形的长为，则宽为，列出方程，即可求解； 【详解】解：设围成的矩形的长为，则宽为， ∴， 解得：； 此时或； 即：围成的矩形的长为，宽为时，可使得面积为； 24. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）直接写出两个函数的解析式： （2）当且时，的取值范围是______； （3）设点的横坐标为2， ①第一象限内，以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是______： ②求的面积． 【答案】（1） （2） （3）；3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用（解析式求解、函数值大小比较、位似变换、三角形面积计算），解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，并结合函数图象与几何性质分析问题． (1)将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； (2)由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围； (3)①根据位似三角形的性质即可求得； ②先求得点的坐标，然后根据三角形面积公式得到解得即可． 【小问1详解】 解： 反比例函数为的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 把代入，得． 点坐标为， 一次函数解析式图象经过，， ， ， 故一次函数解析式为：． 【小问2详解】 由图象可得，当且时，的取值范围是． 故答案为：； 【小问3详解】 把代入得，， ， ①以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是， 故答案为：； ②把代入得，， ， ， ． 25. 【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）； （2）能，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员能观察到物体． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，从实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； （2）过点M作交于点N，可证，得到比例式，求出即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴； （2）略 26. 如图，点是外一点，过点的直线与交于点，过点作弦，连接交于点，连接，且满足． （1）在图1中，求证：直线是的切线； （2）图2中，过点作直线，直线与直线交于点，直线与圆相切，切点是，， ①求的度数； ②若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接、，如图所示： 设， ， ， ， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， ， 即， ， 为圆的半径， ∴直线是的切线； （2）①；②的半径为 【解析】 【分析】（1）连接、，如图所示，设，再由圆周角定理得到，进而由题意确定，然后利用等腰三角形的性质得到，结合三角形内角和定理表示出，即可得，进而由切线的判定定理即可得证； （2）①连接，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，再根据切线的性质以及全等三角形的判定与性质得到，则由全等性质得，再结合可得点在上，即为的直径，则；最后结合以及三角形内角和定理列式求解可得；②过作，先判定四边形是矩形，则，设的半径为，则，再根据含的直角三角形的性质可得，由求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， 即平分， ∵直线是的切线，直线是的切线， ， 在和中， ， ， ， 即平分， 平分， ∴点在上，即为的直径， ， ， ， ， ， 解得， 即； ②过作，如图所示： ， ，， ， 三点共线， ，，， 四边形是矩形， 则， 设的半径为，则， 在中，，，则， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查圆综合，涉及圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、切线的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质、角平分线定义、平行线性质、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质等知识点，熟记圆的相关性质、灵活运用相关几何性质与判定求解是解题的关键． 27. 在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点． （1）如图①，求证：． （2）如图②，若，，，分别求线段、线段的长． （3）若，，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明∶， ． ， ． ， ． ，， ． ． （2）的长是5、线段的长是4 （3）或4 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，得出两组对应角相等，则； （2）由，，可得，设，则，可得，求出m的值即可解答； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形和全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ， ． 设，则． 在中，． 即． 解得． ． 综上所述：线段的长是5、线段的长是4． 【小问3详解】 解：， ∴当与相似时，或． 当时， 则． ， ． ，， ． ，， ． ． ，即． 解得，． ， ，即． ． 由（1）知，． ，即． 解得（负数舍去） 当时，如图 ，， ， ． ， ． ， ． 在和中 ． ． 是的垂直平分线． ． 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质，掌握相似三角形判定定理和分类讨论思想的应用是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在点，使得是直角三角形且，则称点是的关联点，称为点与的关联角． （1）如图，的半径为． ①判断：点，是的关联点吗？若是，请直接写出该点与的关联角度；若不是，请说明理由； ②点是平面内一点，点，当时，以为圆心、为半径的圆上的所有点都是的关联点，则线段的长度的取值范围为______． （2）已知点，，，，圆的半径为4，若线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①是，关联角分别为和；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据定义，作出图形判定，即可确定点是否为关联点，求出关联角的余弦值即可得出关联角的度数；②根据题意，作出图形，分为与相离或与内含两种情况进行讨论，然后根据与的位置关系即可求出在不同情况时的范围； （2）由，，圆的半径为4，判定在射线上运动，然后根据与线段是否有公共点分当圆心在线段上（不包括两个端点）、当圆心在射线上讨论求解即可判定的取值范围． 【小问1详解】 解：①过点作轴，过点作切线，切点为，连接，则，如图所示： 、是直角三角形， 则根据关联点定义可知，当点不在上时，总可以在上找到一个点，使得是直角三角形，且， 即当点不在上时，点都是的关联点， 点，均不在上，都是的关联点； 在中，，则； 在中，，则； 故点和都是的关联点，关联角分别为和； ②点，， 取，连接，点为与轴的交点，连接、交于点，分别以点为圆心，为半径作圆，则分别与相切于，如图所示： 以为圆心、为半径的圆上的所有点都是的关联点， 由①可知，当与没有交点时，上的点都是的关联点， 则可由点在线段上的位置，通过与的关系，由的半径确定线段的长度的范围， 当与相离时，上的所有点都在之外，如图所示： 与关于轴对称，即圆心从到的运动过程中与的位置关系与圆心从到的运动过程中与的位置关系相同， 当与相切时，是此种情况的最大值， 在中，由勾股定理可得， ∵的半径为，即， ， 又，且， 则此种情况下，； 当与内含时，要使上的所有点都在之外，如图所示： 与关于轴对称，即圆心从到的运动过程中与的位置关系与圆心从到的运动过程中与的位置关系相同， 当与内切时，是此种情况的最小值， 在中，由勾股定理可得， ∵的半径为，即， ， 则此种情况下，； 综上所述，线段的长度的取值范围为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：， 的圆心在直线上， 则直线与坐标轴的交点分别为、， ， ，圆的半径为4， 以点为圆心，为半径作，点在线段上，过点作交于点，如图所示： 、、、， ，，，， ， 当圆心在线段上（不包括两个端点）时，线段上所有点都在内部， 由①中的结论可知，当上的所有点都在内时，上的点都是的关联点， 此时，， 由关联点定义可知，当点与的关联角度都不超过， 即， ， 在中，，则， 即只有当时，才能保证线段上任意点与的关联角度都不超过， 若点在线段上时，，此时，存在长度不满足的情况（假设取极端值，则点就不是的关联点），也就是不能保证线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过； 当点在线段上时，如图所示： 若，则， 当时，过点作轴垂线、过点作轴垂线，且两条垂线交于点，如图所示： ， ， 在等腰中，，，则由勾股定理可得， ， ， 则当时，，线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过， 此时，； 当在射线上，且时， 当时，即为切线，切点为，如图所示： 由、可得， 解得或（负值，舍去）， 当时，线段与有交点，此时不满足关联点定义，该情况不存在； 当时，即时，过点作切线，切点为，如图所示： 由于此时线段上所有点都在外部，则线段上的所有点都是的关联点， 根据关联点定义可知，当点与的关联角度都不超过， 即， ， 在中，，则， 即只有当时，才能保证线段上任意点与的关联角度都不超过， 对任意点，当最小长度、最大长度时，才能保证线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过， 当时，如图所示： 在中，，则， 是等腰直角三角形，且， 在中，，则由勾股定理可得， 此时符合， 过点作轴垂线、过点作轴垂线，且两条垂线交于点，如图所示： ， ， 在等腰中，，，则由勾股定理可得， ， ， 则当时，，线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过， 此时，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆的新定义问题，综合性强，难度特别大，涉及切线性质、圆与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、勾股定理、两点之间距离公式、一次函数的图象和性质、不等式性质、解直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、解一元二次方程等知识点，准确理解新定义、数形结合求解是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市正衡中学2025-2026第一学期 九年级数学期中学习情况调查 考试时间：120分钟 试卷页数：共4页 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 有理数的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 常州的新能源产业澎湃起势．年，常州新能源产业产值超亿元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 5. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，直线，另两条直线分别交，，于点，，及点，，，且，，，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，汽车以速度匀速行驶，若一路绿灯通过路口、、、且，则称为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．设汽车在第0秒出发，行驶后路程为．下列选项表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况，“”表示绿灯亮，“”表示红灯亮．能反映速度为绿灯速度的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 10. 把多项式分解因式的结果是_______． 11. 在中，，，，那么长为______． 12. 圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点为的黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号） 15. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 16. 如图，楼高米，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为．若，两楼相距米，则楼落在楼上的影子有______米． 17. 我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，由两个全等的矩形、矩形组成了“T”字形，，，，若将矩形从如图位置沿着轴方向平移中，使得点落在点处：整个过程中，用一个最小面积的圆（半径可变）将这个图案完全覆盖，则圆心经过的路程是______． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程或不等式组 （1）解方程； （2）解不等式组． 21. 青少年体重指数是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中表示体重，表示身高．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（） 标准 B． 超重 C． 肥胖（） 男 女 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据： 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于___________等级；（填A， B，C，D） （2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 23. 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决） 24. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）直接写出两个函数的解析式： （2）当且时，的取值范围是______； （3）设点的横坐标为2， ①第一象限内，以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是______： ②求的面积． 25. 【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 26. 如图，点是外一点，过点的直线与交于点，过点作弦，连接交于点，连接，且满足． （1）在图1中，求证：直线是的切线； （2）图2中，过点作直线，直线与直线交于点，直线与圆相切，切点是，， ①求的度数； ②若，求的半径． 27. 在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点． （1）如图①，求证：． （2）如图②，若，，，分别求线段、线段的长． （3）若，，连接，且与相似，请直接写出的长． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在点，使得是直角三角形且，则称点是的关联点，称为点与的关联角． （1）如图，的半径为． ①判断：点，是的关联点吗？若是，请直接写出该点与的关联角度；若不是，请说明理由； ②点是平面内一点，点，当时，以为圆心、为半径的圆上的所有点都是的关联点，则线段的长度的取值范围为______． （2）已知点，，，，圆的半径为4，若线段上的所有点都是的关联点，且这些点与圆的关联角度都不超过，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $