精品解析：河南省南阳市名校2026-2027学年高一上学期10月期中学情分析数学试题

2026—2027学年（上）南阳名校高一期中学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数与是同一函数 D. 若函数是幂函数，则 10. 已知，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 设，将不超过的最大整数记作，如，，称函数为取整函数，也称为高斯函数．下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 方程的解集为 D. 点集所表示的平面区域的面积是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是__________． 13. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．有同学发现可以将其推广为：的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．则函数的图象的对称中心的坐标为__________． 14. 若关于的不等式恒成立，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若命题“，”与“，”都是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数（，且）的图象经过点，． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围． 19. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明； （3）设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）南阳名校高一期中学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定判断即可. 【详解】命题“，都有”的否定是，使得. 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，，当时，等号成立， 又当，可得，又恒成立，故， 所以， 所以甲是乙的充要条件. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，， 所以. 5. 已知函数若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由定义域可得，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】根据题意，函数的定义域为， ，解得， 当时，，不符合题意； 当时，， 由解得或（舍）， 当时，， ，方程无解； 综上，． 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得或，即函数定义域为. 令，则，其中. 函数在上为单调递增函数， 要使单调递增，需内层函数在定义域内单调递增. 函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增. 由同增异减法则可知的单调递增区间为. 7. 若函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断定义法判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性判断单调性，进而结合单调性可得，即可求解. 【详解】由，得且， 则，则， 故为偶函数， 又时，单调递减，函数在定义域上单调递减， 故单调递增， 所以由可得， 解得或， 故不等式的解集为 8. 已知，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 因为均为递增函数，所以也为递增函数， 所以，即， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数与是同一函数 D. 若函数是幂函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，利用复合函数定义域的求法即可判断；对于B选项，根据反比例函数的性质及单调区间的书写规范即可判断；对于C选项，将函数化简，再比较两函数的定义域和对应关系即可判断；对于D选项，利用幂函数的定义列出关于的方程求解即可判断. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 所以对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为，故A正确； 对于B选项，函数在和上单调递增， 其单调递增区间应写成和，不能用并集符号“”连接，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以， 这与的对应关系和定义域完全相同， 所以与是同一函数，故C正确； 对于D选项，若函数是幂函数， 则需满足系数为，即， 解得或. 所以“若函数是幂函数，则”这一说法不全面，故D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，得，再结合对数的运算求解． 【详解】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 11. 设，将不超过的最大整数记作，如，，称函数为取整函数，也称为高斯函数．下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 方程的解集为 D. 点集所表示的平面区域的面积是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项，利用高斯函数的定义及自然对数的底数的估值即可判断；对于选项，通过换元法解一元二次不等式，结合高斯函数的定义求出的范围即可判断；对于选项，设，代入方程求出对应的并检验即可判断；对于选项，由及高斯函数的定义得出和的取值情况，得到对应的平面区域即可求出面积. 【详解】对于选项，因为，所以，故正确； 对于选项，令，则原不等式化为， 解得. 因为为整数，所以只能取或. 当时，； 当时，. 综上，不等式的解集为，故错误； 对于选项，设（），则方程化为，即. 因为，所以. 又因为， 当时，，得，此时，不符合题意； 当时，，得，经检验满足，符合题意； 当时，，得，经检验均不符合题意； 当时，，得，经检验满足，符合题意； 当时，，得，经检验满足，符合题意； 当时，，即，解得，与矛盾，无解. 综上，方程的解集为，故正确； 对于选项，由且可知，只能有以下四种情况： ①，此时且，对应面积为的正方形； ②，此时且，对应面积为的正方形； ③，此时且，对应面积为的正方形； ④，此时且，对应面积为的正方形. 点集所表示的平面区域由个边长为的正方形组成，所以总面积为，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质确定的取值范围，再结合的范围求和． 【详解】因为，，所以． 两不等式相加，得． 又与可在各自区间内独立取值，故的取值范围为． 13. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．有同学发现可以将其推广为：的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．则函数的图象的对称中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由为奇函数，得，进而得，解出即可. 【详解】由题意得：令， 又为奇函数， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以函数的图象的对称中心为. 14. 若关于的不等式恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】，由的解集为，的解集为，故方程的两根为即可求解． 【详解】令，则， 当时，， 当或时，， 则当时，，当或时，， 故的解集为，的解集为， 故方程的两根为， 得，解得， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若命题“，”与“，”都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入集合，再根据交集与补集的概念求解； （2）由题可知且，再根据包含关系列不等式组求解即可． 【小问1详解】 时，，或， ； 【小问2详解】 ，，， 又，，所以， ， 解得． 17. 已知函数（，且）的图象经过点，． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点和代入求解，即可； （2）画出的图象，将方程的解转化为图象的交点即可； （3）用换元法，令，则转化为的最小值大于等于0，即可解出的范围. 【小问1详解】 ，，解得，， 所以. 【小问2详解】 画出的图象，如图所示， 则关于的方程有2个实数根，可以转化为直线与的图象有两个交点，故， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，，得， 令，因为，所以， 令，的对称轴为， 故， 则，转化为， 故，解得, 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）小问将一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，利用韦达定理求解和即可； （2）小问由，用含的式子表示出，则在上恒成立只需要满足即可； （3）小问分类讨论区间在对称轴的右侧和左侧两种情况即可. 【小问1详解】 不等式的解集为可转化为的解为，， 则由韦达定理可得，，则. 【小问2详解】 ，则，故， 则在上恒成立，要满足， ，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 当，则，对称轴为， 若区间在对称轴的右侧，则，此时在区间上单调递增，则， 所以和是方程，即的两个不相等的实数根， 故，解得， 令，对称轴为， 则，解得， 所以； 若区间在对称轴的左侧，则，此时在区间上单调递减， 则， 两式相减得， 整理可得， 又因为，所以，则，将其代入可得， ，即， 因为，所以，将其代入可得， ，即， 故和是方程的两个不相等的实数根， 则，解得， 令，对称轴为， 则，解得， 所以， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明； （3）设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性结合方程组法求解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题可得，利用单调性法及不等式的性质直接求出的最小值，利用换元法求出的最小值，解不等式即可. 【小问1详解】 ，则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $