精品解析：云南省多校联考2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026年秋季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数型不等式，再求交集即可. 【详解】由集合，， 所以， 故选：B 3. 已知直线过点，，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 可得，由题意与直线的方向向量平行， 所以， 解得. 4. 在空间直角坐标系中，点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由点与点关于平面对称，可得， 又，所以. 5. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，体积为．球的表面积为，半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆台体积公式求出圆台的高，再由球表面积公式求出球半径，最后计算比值. 【详解】已知圆台上底面半径，下底面半径，高为， 圆台体积为，代入，，所以， 由题意，得 ， 球的表面积为，半径为，由，得， 因此 ，故A正确. 7. 在中，已知向量，向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，利用正、余弦定理边角转化可得，进而可得结果. 【详解】因为，则， 即， 设角的对边分别为，根据正弦定理可得， 即，由余弦定理得， 且，可知，所以. 故选：C. 8. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，若共面，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由共面向量定理及向量相等建立方程组求解. 【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得， 即， 则，解得. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为0 B. 方程表示过点的所有直线 C. 经过点且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为或 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分析直线特征，判断倾斜角，即可求得斜率；对于B，分析点斜式方程的适用范围，确认是否存在遗漏直线；对于C，分类讨论截距是否为0的情况即可求解；对于D，计算边界直线的斜率，结合图象分析斜率范围． 【详解】对于A，直线平行于轴，其倾斜角为，则斜率，A正确； 对于B，令，解得，， 故方程表示过点，且斜率为的直线， 但是不包括直线，B错误； 对于C，若直线在两坐标轴上的截距都为0，则直线过原点，令直线方程为， 代入点，得，解得，则直线方程为，即； 若直线在两坐标轴上的截距都不为0，设轴上截距为，轴截距为， 令直线方程为，代入点，得，解得， 则直线方程为，即，C正确； 对于D，直线过定点且与以、为端点的线段有交点， 则，， 故由图可知，或，即斜率的取值范围是，D正确． 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间中点到直线距离公式求解A和D；利用点到面的距离公式求解B；将面到面的距离问题转换为点到面的问题进行求解C. 【详解】 如图所示，以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于A，易得，， 设，则，所以， 因此点到直线的距离 ，故A正确； 对于B，易得，取平面 的一个法向量 ， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C，易得，， 设平面的法向量为， 则，即 ，令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 由于，所以 ， 又因平面，平面，所以平面，同理平面， 平面，， 所以平面平面，因此平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 即平面 与平面 间的距离为 ，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若倾斜角为的直线与直线平行，则______________． 【答案】2 【解析】 【详解】由于直线的斜率为2，故直线的斜率也为2，因此 13. 定义在上的奇函数，满足，当时，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期，即可利用周期和奇偶性求解. 【详解】由于为奇函数，且，故，故为周期函数，且周期为4， 14. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果. 【详解】由题意画出图形，如图所示， 因为，且是向量在上的投影， 所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求图象的对称中心； （2）求取最大值时自变量的取值集合． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先用辅助角公式将原式合并为标准正弦型函数，再令整体角等于，，解出横坐标即可得到对称中心； （2）令正弦型函数的整体角等于，，解出自变量x，即可得到函数取最大值时的x的集合. 【小问1详解】 ，， 令，，得，， 即图象的对称中心为， 【小问2详解】 令，，解得，， ∴取最大值时，自变量的取值集合为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. （1）利用空间向量证明； （2）求的长. 【答案】（1） 设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 所以. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）； （2）分； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为，即可计算出； （2）利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数； （3）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点，即可求出相应概率. 【小问1详解】 由， 解得； 【小问2详解】 由题可知知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， 在分以下所占比例为， 因此，第百分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的第百分位数约为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分； 【小问3详解】 由题意可知，分数段的人数为 (人)， 分数段的人数为 (人)． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，， 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件， 则样本空间共包含个样本点， 而的对立事件包含个样本点， 所以，所以， 即抽取的这名学生至少有人在内的概率为． 18. 已知直线． （1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限； （2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线，即， 令，得，，即直线过定点， 所以无论取何值，直线始终经过第一象限． （2）4；． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以． 令，解得；令，得， 即，． 故． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，取得等号， 则，所以，从而的最小值为4， 此时直线的方程为，即． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为的中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 【答案】（1） 证明：如图，连接，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质得 ，再根据线面平行判定证 平面 ABCD，进而由面面交线性质得 . （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得向量 、，设平面 法向量，根据向量垂直关系求出法向量，再结合平面 法向量求两面夹角余弦值. （3）设平面与棱交点坐标，得向量 ，利用向量垂直关系求出 坐标中的参数，从而算出 PQ长度. 【小问1详解】 证明：如图，连接，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； 【小问2详解】 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 则， 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 解：易知平面与棱交于一点，设交点， 则， 又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点，，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，体积为．球的表面积为，半径为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知向量，向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，若共面，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为0 B. 方程表示过点的所有直线 C. 经过点且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为或 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若倾斜角为的直线与直线平行，则______________． 13. 定义在上的奇函数，满足，当时，则______________． 14. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求图象的对称中心； （2）求取最大值时自变量的取值集合． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. （1）利用空间向量证明； （2）求的长. 17. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值； （2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； （3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 18. 已知直线． （1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限； （2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为的中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $