精品解析：云南省曲靖市马龙区马龙区第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

马龙区第二中学2026-2027学年秋季学期10月月考高二年级普高 数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 4. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 10. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率为0 D. 当时，直线与直线AB垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 13. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________． 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 19. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马龙区第二中学2026-2027学年秋季学期10月月考高二年级普高 数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 2. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 3. 已知向量．若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，即. 4. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线等价于对应向量共线的性质，结合共线向量的数乘关系列方程求解参数. 【详解】因为A、B、C三点共线，所以向量与共线，根据共线向量基本定理，存在实数，使得，即， 得，解得. 5. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 6. 已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【详解】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 7. 点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可. 【详解】联立方程,可得点的坐标为, 所以直线的方程为. 故选：B. 8. 若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 10. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案. 【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合； B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合； C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合； D：不在上，不符合. 故选：ABC 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率为0 D. 当时，直线与直线AB垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， 当时，，所以直线恒过定点，A选项正确. 时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误. 时，，直线的斜率为，C选项正确. 时，，斜率为， 直线的斜率为，， 所以直线与直线不垂直，D选项错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 13. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数的取值. 【详解】由于三条直线，，不能围成三角形， 则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点. （1）直线与直线平行，则，解得； （2）直线与直线平行，则，解得； （3）若三条直线交于一点，联立，解得， 所以直线，交于点， 由题意可知，点在直线上，可得，解得. 因此，实数的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽略三线交于一点这种情况的讨论. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 【答案】（1）； （2），两平行线间距离为. 【解析】 【分析】（1）应用直线垂直的判定列方程求参数值； （2）由直线平行的判定列方程求参数值，注意排除重合的情况，再由平行线的距离公式求距离. 【小问1详解】 因为，所以满足，解得； 【小问2详解】 因为，所以满足，解得或， 当时，两直线重合，不符， 所以，此时，，满足， 两平行线之间距离为. 16. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 17. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【小问1详解】 因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问2详解】 因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问3详解】 ①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明：由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解； （3）设，借助，求得值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设且（）， ，则，，， 所以，所以，， 所以， 化简得， 解得或（舍）， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $