2026--2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级数学上册期中测评 预测卷(三)

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(三) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 2．（4分）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 3．（4分）解方程：，x＝（　　） A． B． C． D． 4．（4分）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 5．（4分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 6．（4分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）经过点A和点B．以下结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（　　） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为_____ cm． 8．（4分）已知是二次函数，那么m的值是 _____ ． 9．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是_______________ 10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是___________ ． 11．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S△BDE：S△DEC＝2：5，则S△DEF：S△AFC＝_________ ． 12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 13．（4分）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如表（满分10分，球重2kg）． 成绩（米） 7.68及以下 7.69﹣7.85 7.86﹣8.02 8.03﹣8.19 8.20及以上 得分 6分 7 8 9 10 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是_____ 分． 14．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，点E在边AD上，，射线CE交BD于点F，交射线BA于点G，那么GE：EF：FC＝__________ ．（结果化为最简整数比） 15．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 _________ .（填写序号） 16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣2x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝__________________ ． 17．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②BE＝DE；③△BED∽△BDA；④3BF＝4AC．其中结论正确的有________ （填序号）． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 20．（10分）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E，交AB于F． 求证：． 21．（12分）探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．请根据以下步骤画图： ①在边AB上取点G'（如图），过G′作G′D′⊥BC，垂足为D′； ②以G′D′为边在△ABC内部作正方形G'D'E'F'； ③联结BF′并延长交AC于点F； ④过F作FE∥F′E交BC于点E、FG∥F'G交AB于点G；过G作GD∥G'D'交BC于点D． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形DEFG是正方形． （2）如果△ABC是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为____________________ ． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D在边BC上，点E在CB的延长线上，联结AD、AE，过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE＝EF． （1）求证：BD＝BE； （2）求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 24．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC交抛物线的对称轴于点D，连接AC． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在对称轴上； ①当AE+CE的值最小时，求点E的坐标； ②以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求点E的坐标． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（三）答题卡 试卷类型：C 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 0, 2 13. 14 15. 6 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 18.答： 19.答： 20.答： 2 A F 公 B D C 21.答： A G B C 22.答： 3 A 分 M H E B D C 23.答： y/m 甲？发球点 乙 图1 图2 24.答： 4 yA C D A 0 B c ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(三) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 2．（4分）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 3．（4分）解方程：，x＝（　　） A． B． C． D． 4．（4分）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 5．（4分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 6．（4分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）经过点A和点B．以下结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（　　） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为_____ cm． 8．（4分）已知是二次函数，那么m的值是 _____ ． 9．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是_______________ 10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是___________ ． 11．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S△BDE：S△DEC＝2：5，则S△DEF：S△AFC＝_________ ． 12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 13．（4分）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如表（满分10分，球重2kg）． 成绩（米） 7.68及以下 7.69﹣7.85 7.86﹣8.02 8.03﹣8.19 8.20及以上 得分 6分 7 8 9 10 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是_____ 分． 14．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，点E在边AD上，，射线CE交BD于点F，交射线BA于点G，那么GE：EF：FC＝__________ ．（结果化为最简整数比） 15．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 _________ .（填写序号） 16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣2x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝__________________ ． 17．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②BE＝DE；③△BED∽△BDA；④3BF＝4AC．其中结论正确的有________ （填序号）． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 20．（10分）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E，交AB于F． 求证：． 21．（12分）探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．请根据以下步骤画图： ①在边AB上取点G'（如图），过G′作G′D′⊥BC，垂足为D′； ②以G′D′为边在△ABC内部作正方形G'D'E'F'； ③联结BF′并延长交AC于点F； ④过F作FE∥F′E交BC于点E、FG∥F'G交AB于点G；过G作GD∥G'D'交BC于点D． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形DEFG是正方形． （2）如果△ABC是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为____________________ ． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D在边BC上，点E在CB的延长线上，联结AD、AE，过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE＝EF． （1）求证：BD＝BE； （2）求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 24．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC交抛物线的对称轴于点D，连接AC． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在对称轴上； ①当AE+CE的值最小时，求点E的坐标； ②以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求点E的坐标． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(三) 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B B B 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为，， 所以， 故A选项不符合题意； 因为，， 所以， 故B选项不符合题意； 因为，， 所以， 故C选项符合题意； 因为，， 所以， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 2．（4分）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 【答案】A 【分析】直接利用x＝0时，求出y的值进而得出答案． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴相交，则x＝0， 故y＝1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，1）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x＝0是解题关键． 3．（4分）解方程：，x＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质解答即可．比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积． 【解答】解：， 9（x﹣1）＝3×4， 9x﹣9＝12， 9x＝21， x． 故选：B． 【点评】本题考查了解比例，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 4．（4分）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 【答案】B 【分析】根据相似三角形对边的比相等求出与它相似的三角形的另外两边长，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵一个三角形三边之比为3：4：5， ∴与它相似的三角形三边之比为3：4：5， ∵与它相似的三角形最短边的长为6cm， ∴与它相似的三角形的另外两边长分别为8cm，10cm， ∴与它相似的三角形的周长为：6+8+10＝24（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形对边的比相等是解题的关键． 5．（4分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断． 【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m， 二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值， 点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x， 其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2， 各个点到对称轴的距离： 点A：|﹣1﹣2|＝3， 点B：|4﹣2|＝2， 点C：|6﹣2|＝4， 又开口向下，距离越小，y越大， ∵2＜3＜4， 故y2＞y1＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6．（4分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）经过点A和点B．以下结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（　　） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 【答案】B 【分析】由题意得，抛物线的对称轴为直线x，则2a＝b，即2a﹣b＝0；由图可得，a＞0，c＜0，则b＝2a＞0，可得abc＜0；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）；由题意知抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，可知方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根；将B（﹣1，﹣3）代入y2＝mx+n，得﹣m+n＝﹣3，当x＝1时，抛物线y1＝ax2+bx+c对应的函数值为a+b+c＞﹣3，则a+b+c＞﹣m+n；由图可得，不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴2a＝b， 即2a﹣b＝0． 故结论①不正确； 由图可得，a＞0，c＜0， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0． 故结论②正确； 由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）． 故结论③不正确； ∵抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）， ∴抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点， ∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根． 故结论④不正确； ∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过点B（﹣1，﹣3）， ∴﹣m+n＝﹣3． 由图可知，当x＝1时，抛物线y1＝ax2+bx+c对应的函数值为a+b+c＞﹣3， ∴a+b+c＞﹣m+n． 故结论⑤正确； 由图可得，不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1． 故结论⑥正确． 综上所述，结论正确的是②⑤⑥． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为　8　 cm． 【答案】8． 【分析】根据成比例线段的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得d的值． 【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm， ∴3：4＝6：d， 解得：d＝8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了比例线段，理解比例线段的概念，写比比例式是本题的关键． 8．（4分）已知是二次函数，那么m的值是 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【解答】解：根据已知，得m2+2＝2， 解得：m＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 9．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是y＝（x+3）2﹣7　 【答案】y＝（x+3）2﹣7． 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣1﹣1＝（x+1）2﹣2． ∴将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是：y＝（x+1+2）2﹣2﹣5，即y＝（x+3）2﹣7． 故答案为：y＝（x+3）2﹣7． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0＜x＜3时，y的取值范围是　﹣4≤y＜0　 ． 【答案】﹣4≤y＜0． 【分析】求得顶点坐标以及x＝3时的函数值，然后利用二次函数的性质即可求得． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点为（﹣1，﹣4）， 令x＝3，则y＝x2﹣2x﹣3＝0， ∵抛物线开口向上， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0， 故答案为：﹣4≤y＜0． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题关键． 11．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S△BDE：S△DEC＝2：5，则S△DEF：S△AFC＝　4：49　 ． 【答案】4：49． 【分析】先根据已知得到BE：CE＝2：5，则BE：BC＝2：7，证明△BDE∽△BAC，△DEF∽△CAF，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，S△BDE：S△DEC＝2：5， ∴BE：CE＝2：5， ∵BE+CE＝BC， ∴BE：BC＝2：7， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC，△DEF∽△CAF， ∴DE：AC＝BE：BC＝2：7， 则， 故答案为：4：49． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 12．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】先求出CF＝6，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵GF＝4，AC＝3，CG＝2， ∴CF＝6， ∵AB∥CD∥EF， ∴若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（4分）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如表（满分10分，球重2kg）． 成绩（米） 7.68及以下 7.69﹣7.85 7.86﹣8.02 8.03﹣8.19 8.20及以上 得分 6分 7 8 9 10 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是　6　 分． 【答案】6． 【分析】依据题意，当y＝0时代入解析式求出x的值就可以求出结论． 【解答】解：由题意，得当 y＝0时，， ∴（x﹣2）2＝25， ∴x1＝7，x2＝﹣3（舍去）， ∴对照表格可得，小明此次投掷的成绩得分是6分． 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键． 14．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，点E在边AD上，，射线CE交BD于点F，交射线BA于点G，那么GE：EF：FC＝　5：4：6　 ．（结果化为最简整数比） 【答案】5：4：6． 【分析】设AE＝x，则DE＝2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC＝AD＝AE+DE＝3x，AD∥BC，证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得，，即，设EF＝2y，则CF＝3y、GE＝y，从而得出答案． 【解答】解：设AE＝x，则DE＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3x，AD∥BC， ∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF， ∴，， ∴， 设EF＝2y，则CF＝3y， ∴EC＝EF+CF＝5y， ∴GE＝y，y， ∴GE：EF：FCy：2y：3y＝5：4：6， 故答案为：5：4：6． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 　①②③⑤　 .（填写序号） 【答案】①②③⑤． 【分析】将点代入函数解析式可判断①；将函数解析式进行变换并换元为二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴可判断②；根据变形后的函数解析式结合二次函数的性质可判断④；取两个满足x1＜x2＜﹣的x的值代入，求解并对比函数值即可判断④；将x1+x2+2x1x2＝0进行变形并换元，根据﹣1＜x1＜0＜x2求出元的范围，再代入到函数解析式即可判断⑤． 【解答】解：函数为将代入函数解析式， ∴函数图象过，①正确； ∵函数，令， ∴函数可化为y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2， ∴y是关于t的二次函数，开口方向向上，且对称轴为直线t＝﹣1， ∴当t＝﹣1时，函数有最低点，此时x＝﹣1， 当x＝﹣1时，， ∴函数图象的最低点坐标为 （﹣1，2），②正确； 由②知，函数有最低点无最高点， ∵函数， ∴x≠0，即函数在x＝0处取不到函数，即函数图象为两段， ∴图象无最高点且分为两段，③正确； 若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1， 令x1＝﹣3，x2＝﹣2，，， ∴y1＞y2，④错误； ∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0， ∴， 令，，， 则有t1+t2＝﹣2t1＜﹣1，2＞0，对于函数y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2， 则有，，t1+t2＝﹣2， ∴t1＝﹣2﹣t2， ∴，⑤正确． ∴正确结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，函数的最值，以及函数图象的形状．对于判断函数图象是否过某点，将点代入函数解析式看是否成立，对于函数的最值以及函数值的大小，需对函数进行变形分析是解决本题的关键． 16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣2x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，C的坐标，易证△ADM≌△DCN（AAS），利用全等三角形的性质，可得出DN＝AM＝m，DM＝CN＝n，由MN＝DN+DM结合点A，C的纵坐标，即可求出m﹣n． 【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A，C在抛物线y＝﹣2x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（m，﹣2m2+4），点C的坐标为（n，﹣2n2+4）， ∴AM＝m，CN＝n． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCN＝∠ADM． 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）． ∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n． ∴MN＝DN+DM， ∴m+n＝（﹣2n2+4）﹣（﹣2m2+4）＝2m2﹣2n2＝2（m+n）（m﹣n）． ∴m﹣n． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用全等三角形的性质及各边之间的关系，找出m﹣n是解题的关键． 17．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②BE＝DE；③△BED∽△BDA；④3BF＝4AC．其中结论正确的有　①③④　 （填序号）． 【答案】①③④． 【分析】根据∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∠EAD＝∠DAC，可判断①；分别表示∠ABD＝90°﹣∠FBA＝90°﹣2∠CAD，∠CAD＝∠BDE，再根据90°﹣2∠CAD与∠CAD不一定相等，故∠ABD与∠BDE不一定相等，得BE与DE不一定相等，进行判断②；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明△BED∽△BDA，可判断③；连接DM，可证DM∥BF∥AC，得易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解，即可判断④． 【解答】解：①∵AC⊥BC，DE⊥AD， ∴∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠AED＝∠ADC， 故结论①正确，符合题意； ②BF⊥BC，AC⊥BC， ∴FB∥AC，∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠FBA＝∠CAM， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠CAM＝2∠CAD， ∴∠ABD＝90°﹣∠FBA＝90°﹣∠CAM＝90°﹣2∠CAD， ∵DE⊥AD， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠BDE， ∵90°﹣2∠CAD与∠CAD不一定相等， ∴∠ABD与∠BDE不一定相等， 故BE与DE不一定相等， 故结论②不正确，不符合题意； ③由①知∠AED＝∠ADC， ∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠ADC， ∴∠BED＝∠BDA， 又∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BED∽△BDA， 故结论③正确，符合题意； ④如图，在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，连接DM， ∴DM＝MA． ∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC， ∴DM∥BF∥AC， ∴，△FMB∽△CMA， ∴， ∴3BF＝4AC， 故结论④正确，符合题意， 综上所述，结论正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 【答案】∵， ∴11，即， 11，即． 【分析】运用等式性质求解即可． 【解答】证明：∵， ∴11，即， 11，即． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是运用等式性质求解． 19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 【答案】3或． 【分析】分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可． 【解答】解：当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论． ①当t+3＜3时，即t＜0，y随x的增大而增大， 当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4， 当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5， ∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9， ∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去）． ②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴m＝4， 当0≤t时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5， ∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9＝3， 解得t＝3或3（不合题意，舍去）． 当t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4， ∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2＝3， 解得t或（不合题意，舍去）， ③当t≥3时，y随x的增大而减小， 当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5， 当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4， ∴m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9＝3， 解得t＝2． 综上所述，t＝3或． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 20．（10分）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E，交AB于F． 求证：． 【答案】证明：如图，过点D作DN∥CF，交AB于点N． ∵DC＝DB， ∴． ∵DN∥CF， ∴，即， ∴． 【分析】过点D作DN∥CF，交AB于点N．易得FN，再根据平行线分线段成比例求证即可． 【解答】证明：如图，过点D作DN∥CF，交AB于点N． ∵DC＝DB， ∴． ∵DN∥CF， ∴，即， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（12分）探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．请根据以下步骤画图： ①在边AB上取点G'（如图），过G′作G′D′⊥BC，垂足为D′； ②以G′D′为边在△ABC内部作正方形G'D'E'F'； ③联结BF′并延长交AC于点F； ④过F作FE∥F′E交BC于点E、FG∥F'G交AB于点G；过G作GD∥G'D'交BC于点D． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形DEFG是正方形． （2）如果△ABC是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为　　 ． 【答案】（1）如图所示， 证明：∵四边形G'D'E'F'是正方形，FE∥F′E'，FG∥F'G'，GD∥G'D'， ∴∠GDE＝∠FGD＝∠FED＝∠F'E'D'＝90°， ∴四边形GDEF为矩形， ∴F'E'＝F'G'， ∵FE∥F'E'， ∴△BE'F'∽△BEF， ∴， 同理， ∴， 又∵F'E'＝F'G'， ∴FE＝FG， ∴矩形GDEF为正方形． （2）． 【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形GDEF为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明FE＝FG，即可得出四边形DEFG是正方形； （2）勾股定理求得△ABC的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， 证明：∵四边形G'D'E'F'是正方形，FE∥F′E'，FG∥F'G'，GD∥G'D'， ∴∠GDE＝∠FGD＝∠FED＝∠F'E'D'＝90°， ∴四边形GDEF为矩形， ∴F'E'＝F'G'， ∵FE∥F'E'， ∴△BE'F'∽△BEF， ∴， 同理， ∴， 又∵F'E'＝F'G'， ∴FE＝FG， ∴矩形GDEF为正方形． （2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∴； ①当正方形的边在△ABC的直角边上时， 如图，连接CE， 设正方形DEFC的边长为x，则DE＝EF＝x， ， ∴， ∴正方形的面积为 ②当正方形的边在△ABC的斜边上时，如图， 设正方形的边长为x， ∵NQ∥AB， ∴△NCQ∽△ABC， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵∠ACB＝∠QPB＝90°，∠B＝∠B， ∴△PBQ∽△CBA， ∴，即， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的面积为， ∴这个正方形铁片的最大面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了作图、正方形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D在边BC上，点E在CB的延长线上，联结AD、AE，过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE＝EF． （1）求证：BD＝BE； （2）求证：． 【答案】（1）证明；∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EAF＝∠BAC+∠EAB，∠EAF＝∠BCA+∠FEC， ∴∠EAB＝∠FEC， ∵EF⊥AD， ∴∠AHE＝∠DHE＝90°， ∴∠DHE＝∠FEC+∠HDE＝90°， ∵∠EAB+∠AEB＝∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝∠HDE， ∴AE＝AD， ∵∠ABE＝∠ABC＝90°， ∴BD＝BE； （2）证明：由（1）知，∠EAB＝∠FEC，BD＝BE，△AED是等腰三角形， ∴∠EAB＝∠DAB＝∠FEC， 又∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∠ABE＝∠EBM＝90°，∠EMB＝∠AMH， ∴△AEB∽△EMB，△AMH∽△EMB， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 【分析】（1）根据Rt△ABC为等腰直角三角形，△EAF为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到∠EAB＝∠FEC，根据等角的余角相等得到∠AEB＝∠HDE，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论． （2）通过证明△AEB∽△EMB，△AMH∽△EMB，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论． 【解答】（1）证明；∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EAF＝∠BAC+∠EAB＝∠BCA+∠FEC， ∴∠EAB＝∠FEC， ∵∠AHE＝∠DHE＝90°， ∴∠DHE＝∠FEC+∠HDE＝90°， ∵∠EAB+∠AEB＝∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝∠HDE， ∴AE＝AD， ∴△AED是等腰三角形， ∵∠ABE＝∠ABC＝90°， ∴BD＝BE； （2）证明：由（1）知，∠EAB＝∠FEC，BD＝BE，△AED是等腰三角形， ∴∠EAB＝∠DAB＝∠FEC， 又∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∠ABE＝∠EBM＝90°，∠EMB＝∠AMH， ∴△AEB∽△EMB，△AMH∽△EMB， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确进行计算是解题关键． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 【答案】（1），羽毛球本次飞行的最大高度为3m； （2）羽毛球能越过球网，理由如下： 当x＝2时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）球员乙选择吊球更合适． 【分析】（1）根据表格将点，代入二次函数解析式，利用待定系数法可求得二次函数的一般式，再将二次函数一般式转为顶点式，即可求得结果； （2）先将x＝2代入二次函数解析式求得y值，即k值，再将k值与1.55m进行比较即可判断； （3）先求出乙选择扣球的函数解析式，球的落地点即函数图象与x轴的交点，此时y＝0，令一次函数关系式中的y＝0，解出对应的x值，再将代入乙选择吊球的函数解析式并求出，令二次函数关系式中的y＝0，解出对应的x值，通过比较二者的x值，选择出较大的x值可使羽毛球的落地点到原点的距离更远的方式． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（4，3）， ∵， ∴羽毛球本次飞行的最大高度为3m． （2）羽毛球能越过球网， 理由：当x＝2时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）当x＝6时，， ∴点， 将点Q代入，得，解得， ∴乙选择扣球，则y与x的函数关系式为， 令y＝0，即，解得x＝2，即羽毛球的落地点到原点的距离为2m， 将点代入，得，解得， ∴乙选择吊球，则y与x的函数关系式为， 令y＝0，即，解得x1＝3，x2＝7（舍去）， 即羽毛球的落地点到原点的距离为3m， ∵3＞2， ∴要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，球员乙选择吊球更合适． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键． 24．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC交抛物线的对称轴于点D，连接AC． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在对称轴上； ①当AE+CE的值最小时，求点E的坐标； ②以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）①； ②或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①B是点A关于抛物线对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，进而求解； ②以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，根据点的坐标可得△ABC为直角三角形，当∠CED为直角时，可得：点E的坐标为；当∠ECD为直角时，求出AC的表达式为：y＝2x+2，即可求解． 【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①∵B是点A关于抛物线对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点， 则点D、E重合， 设BC的解析式为y＝kx+b， 将B（4，0），C（0，2）代入解析式可得： ， 解得， ∴直线CB的表达式为：， 由知，点D的横坐标为， 把代入，可得， ∴； ②令， 解得：x＝﹣1或4，则点A（﹣1，0）， 由点A、B、C的坐标得，AB＝5，，， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∵以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似， 则△CDE为直角三角形， 当∠CE′D为直角时，如图， 则点E′的坐标为； 当∠ECD为直角时，如图， ∵∠ACB为直角， ∴A，C，E三点共线， 设AC的解析式为y＝k1x+b1， 把A（﹣1，0），C（0，2）代入可得： ， 解得， ∴直线AC的表达式为：y＝2x+2， 当时，y＝2x+2＝5， 即点； 综上，点E的坐标为：或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，二次函数的性质等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（三）答题卡 试卷类型：0 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B]C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 0123456 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 1 A 分 E B D C 21.答： A c B C 22.答： A M H E B D C 23.答： y/m↑ y/m >Q 甲职发球点 史乙 6 图1 图2 24.答： 2 y C A/ 0 B