精品解析：浙江诸暨市开放双语实验学校2026-2027学年第一学期 七年级数学9月学情自测卷

诸暨市开放双语实验学校2026学年第一学期 9月月考七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分．） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 5元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，在本题中规定了收入为正，那么与之相反的支出就为负． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴如果把收入元记作元，那么支出元记作元． 故选：B． 2. 2025年浙江省常住人口约6570万，将其用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：6570万． 3. 把写成省略加号和括号的形式后的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减法，熟练掌握运算法则中的符号问题是解答的关键． 根据去括号法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 4. 对于式子，下列说法不正确的是（ ） A. 幂为 B. 底数是 C. 指数是3 D. 表示3个相乘 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方．中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子，底数是；指数是3；表示3个相乘；幂为； 观察四个选项，选项A符合题意； 故选：A． 5. 已知、互为相反数，是的倒数，是绝对值最小的有理数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵、互为相反数， ∴． ∵是的倒数， ∴． ∵是绝对值最小的有理数， ∴， ∴． ∴． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数的绝对值一定是正数 B. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C. 相反数大于本身的数是负数 D. 数轴上原点两侧的数互为相反数 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值和相反数的定义与性质判断即可． 【详解】A.0的绝对值是0，0不是正数，故A选项错误； B. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故B选项错误； C.负数的相反数是正数，一定大于本身，故C选项正确； D. 数轴上原点两侧距离相等的数互为相反数，故D选项错误． 【点睛】本题考查绝对值和相反数的定义与性质，根据定义和性质进行判断是解题的关键． 7. 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 8. 已知，则代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的除法及绝对值，解题的关键是分类讨论：①，；②，；③，；④，，然后根据范围去掉绝对值可得出可能的值． 【详解】解：∵， ∴可分以下四种情况： ①，， ； ②，， ； ③，， ； ④，， ； 综上所述，代数式的值不可能为． 故选：B． 9. 若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 10. 求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减求解． 设，然后可以得到，再作差变形，即可求得所求式子的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即的值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 比较大小：______（填“＞”或“＜”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，解题关键是：根据两个负数绝对值大的反而小，即可判断．先求它们的绝对值，然后根据两个负数绝对值大的反而小，即可判断． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 12. 按照四舍五入精确到得到的近似数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数．把千分位上数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 在数轴上，到表示的点的距离为2的所有数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴两点间的距离，根据数轴上点到点的距离定义，到点的距离为的点有两个，分别位于的左侧和右侧． 【详解】解：到表示的点的距离为2的数为：或 故答案为：或． 14. 若则的值是_________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据完全平方和绝对值的非负性列式求出的值，然后代入中即可求解. 【详解】由题可知， 解得：， ∴ 故填：16. 【点睛】本题考查据完全平方和绝对值的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键. 15. 池塘里的浮萍每天增加一倍，10天刚好长满整个池塘．则长到池塘面积的时是第______天． 【答案】 7 【解析】 【分析】已知浮萍每天面积翻倍，10天可长满整个池塘，从满池状态倒推，每日面积为后一日的，逐步推导得到面积为池塘时对应的天数． 【详解】解：∵浮萍每天增加一倍，即后一天的浮萍面积是前一天的2倍， ∴前一天的浮萍面积是后一天的， ∵第10天浮萍长满整个池塘，对应面积为1， ∴第9天的浮萍面积为， ∴第8天的浮萍面积为， ∴第7天的浮萍面积为． 16. 长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 三、解答题：（共52分，解答要有必要的文字说明） 17. 把下列各数的序号填在相应的表示集合的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧32 （1）整数：{ } （2）正有理数：{ } （3）负分数：{ } 【答案】（1）整数：． （2）正有理数：． （3）负分数：． 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的分类，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据整数的含义可得答案． （2）根据正有理数的含义可得答案． （3）根据负分数的含义可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴整数：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）－2；（2）1；（3）－1；（4）－9 【解析】 【分析】（1）根据有理数加减运算法则和运算顺序计算即可； （2）根据有理数乘除法运算法则和运算顺序计算即可； （3）分别进行有理数的乘方运算、绝对值运算、乘除法运算和加减运算即可解答； （4）利用有理数乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】解：（1）=4－1－5=3－5=－2； （2） = =1； （3） = =－1+3－3 =－1； （4） = =－12+30－27 =－9． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键，灵活运用运算律进行简便运算． 19. 已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到村，继续向东行驶到村，然后向西行驶到村，最后回到快递点． （1）村离村有多远？ （2）已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 【答案】（1） 村离村. （2） 此次任务面包车耗油. 【解析】 【分析】（1）以快递点为原点，向东为正方向，用有理数表示各村庄位置，进而计算两点间的距离； （2）先计算面包车行驶的总路程，再结合单位耗油量求出总耗油量，即可解答． 【小问1详解】 解：设向东为正方向，快递点的位置记为， ∴村的位置为；村的位置为；村的位置为， ∴村与村的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）可得设向东为正方向，快递点的位置记为， ∴ 村到快递点的路程为， ∴总行驶路程为， ∴总耗油量为． 21. [特例观察] ，；，． [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： 互为相反数的两个数的绝对值_________；互为相反数的两个数的平方_________． [知识应用] （2）已知，，且，求的值； （3）已知a是最大的负整数，b与c互为相反数，，求的值． 【答案】（1）相等；相等； （2）9或； （3）3 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据特例，结合相反数和绝对值的意义解答即可； （2）根据绝对值的意义可得，根据平方根的意义得，然后根据，分两种情况进行计算即可解答； （3）根据最大负整数、相反数、绝对值、平方的意义可得，，，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；互为相反数的两个数的平方相等． 故答案为：相等；相等． （2）因为，， 所以，， 因为， 所以当，时，； 所以当，时，； 综上所述，的值为9或； （3）因为a是最大的负整数，b与c互为相反数，， 所以，，， 所以． 22. 如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． （1）如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． （2）若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． （3）如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】（1）点C表示的数为5； （2）点表示的数为或1； （3）运动4秒后，点P可以追上点Q． 【解析】 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【小问1详解】 解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； 【小问2详解】 解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； 【小问3详解】 解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 23. 【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果： ， ． （2）【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果） （3）【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）根据题干所给计算方法计算即可得解； （2）根据题干所给计算方法计算即可得解； （3）根据将进行变形，再计算即可得解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 24. 【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）______； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______； ②若，则符合条件的整数共有______个； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或； ② ③存在，可取，式子的最大值为4． 【解析】 【分析】（1）依据绝对值的几何意义，即数轴上两点间的距离来进行分析即可． （2）①根据数轴上所对应的两点之间的距离分析即可． ②先算出到3本身距离就是5，所以只有落在这两点之间（含端点）时，两段距离相加刚好等于5，再从中取整数． ③看成到的距离减去到3的距离；按在左侧、和3中间、3右侧三段分类讨论这个差的大小，对比找出最大值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ①解：， 变形：， 数轴上，点到的距离等于， 在数轴上找和相距个单位的点：，， 即或； ②， 变形：， 数轴上点到3的距离加上点到的距离等于， 先看和3这两个点之间的距离：，两点之间距离正好是5， 所以只要在和之间（包括端点），距离之和就恒等于5， 满足的整数：，一共个； ③存在，当时， 离的距离比离3的距离永远多4，式子结果固定是4， 当时， 离的距离比离3的距离永远少4，式子结果固定为， 当时， 离的距离与离3的距离之差永远小于4，式子结果必定小于4， 综上，存在有理数，当时，可取，式子的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨市开放双语实验学校2026学年第一学期 9月月考七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分．） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 5元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 2025年浙江省常住人口约6570万，将其用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把写成省略加号和括号的形式后的式子是（ ） A. B. C. D. 4. 对于式子，下列说法不正确的是（ ） A. 幂为 B. 底数是 C. 指数是3 D. 表示3个相乘 5. 已知、互为相反数，是的倒数，是绝对值最小的有理数，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数的绝对值一定是正数 B. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C. 相反数大于本身的数是负数 D. 数轴上原点两侧的数互为相反数 7. 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知，则代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 9. 若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 比较大小：______（填“＞”或“＜”） 12. 按照四舍五入精确到得到的近似数是_______． 13. 在数轴上，到表示的点的距离为2的所有数是________． 14. 若则的值是_________． 15. 池塘里的浮萍每天增加一倍，10天刚好长满整个池塘．则长到池塘面积的时是第______天． 16. 长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 三、解答题：（共52分，解答要有必要的文字说明） 17. 把下列各数的序号填在相应的表示集合的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧32 （1）整数：{ } （2）正有理数：{ } （3）负分数：{ } 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． （1）求的值； （2）求的值． 20. 随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到村，继续向东行驶到村，然后向西行驶到村，最后回到快递点． （1）村离村有多远？ （2）已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 21. [特例观察] ，；，． [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： 互为相反数的两个数的绝对值_________；互为相反数的两个数的平方_________． [知识应用] （2）已知，，且，求的值； （3）已知a是最大的负整数，b与c互为相反数，，求的值． 22. 如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． （1）如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． （2）若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． （3）如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 23. 【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果： ， ． （2）【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果） （3）【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 24. 【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）______； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______； ②若，则符合条件的整数共有______个； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $