江苏省南京市2026-2027学年苏科版九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章）

江苏省南京市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．下列各点不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 3．某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 7．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 10．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是________． 11．某读书会的成员之间每两人都互赠一张自制书签，读书会全体成员一共赠出了870张书签，这个读书会有______名成员． 12．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 13．的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 15．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 17．如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 18．如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 三、解答题（共64分） 19．解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 20．如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标． 21．在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． (1)若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； (2)若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 22．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 23．已知，半径为1的与相切于点． （1）如图1，点到射线的距离是______． （2）如图2，将从点开始沿射线的方向滚动，当与射线相切时，设与射线相切于点为，则线段的长为______． 24．已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 25．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点M，给出如下定义：将线段绕点M旋转可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点M为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点M为中心的“关联线段”是__________； (2)已知点，线段是以点M为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点M为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．下列各点不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式变形为，通过验证各点横纵坐标的乘积判断点是否在图象上． 【详解】解：由得（）. ∵ 选项A中， 选项B中，均满足， ∴ 这两个点在函数图象上． ∵ 选项C中，不满足，∴ 该点不在函数图象上． ∵ 选项D中，满足， ∴ 该点在函数图象上． 2．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，据此进行逐项分析，可得答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程需同时满足：是整式方程，只含有1个未知数，未知数的最高次数为2， ∴ 对各选项逐一判断： A、是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合条件； B、中未知数的最高次数为1，不符合； C、是分式方程，不是整式方程，不符合； D、含有、两个未知数，不符合． 3．某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】月均增长率指每月产值在上月基础上增长，从6月到8月经过2次增长，据此推导8月产值表达式列方程． 【详解】解：∵6月份产值为千万元，月均增长率为． ∴7月份产值为千万元． ∴8月份产值为千万元． ∵8月份产值预计为千万元． ∴列方程得． 4．下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据圆的相关定理逐一判断即可求解． 【详解】解：①直径是过圆心的弦，该选项说法正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； ③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项说法错误； ④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误； 综上，正确的说法有个． 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 6．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 【答案】B 【详解】解：由题意知，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系， ∴设， 将点代入得，， ∴， 当液体密度时，浸在液体中的高度，∴选项A错误； 当浸在液体中的高度满足时，当时，对应的液体密度为，∴该液体密度，∴选项B正确； 当液体密度时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项C错误； 当液体密度满足时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项D错误． 7．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 二、填空题（共20分） 9．一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 【答案】4 【分析】根据方程根的定义得到a满足的等式，将所求代数式变形为可整体代入的结构，无需计算方程的具体根即可完成求值． 【详解】解：∵ a是一元二次方程的根， ∴ 把代入方程可得， 移项整理得， ∴． 10．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是________． 【答案】 5 【分析】先求解给定的一元二次方程，根据对角线长度为正的实际意义确定有效根，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算菱形边长． 【详解】解：由， 可得或， ∵对角线长度为正数， ∴舍去负根，即菱形的另一条对角线长为6， ∵菱形的对角线互相垂直且互相平分， ∴两条对角线的一半长度分别为，， ∴菱形的边长为以3、4为直角边的直角三角形的斜边长， 由勾股定理得边长为． 11．某读书会的成员之间每两人都互赠一张自制书签，读书会全体成员一共赠出了870张书签，这个读书会有______名成员． 【答案】30 【分析】互赠书签为双向行为，总赠出书签数等于成员数与单名成员送出书签数的乘积，据此列一元二次方程求解并结合实际意义舍去负根即可． 【详解】解：设这个读书会有名成员， ∵每两人都互赠一张自制书签， ∴每名成员需要向除自身外的名成员各赠送1张书签， ∴全体成员赠出的书签总数为张， 根据题意列方程得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，． ∵成员人数为正整数， ∴不符合实际意义，舍去， ∴这个读书会有30名成员． 12．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 【答案】 【分析】三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如下图， 分别作出与的垂直平分线交于点E，则点E的横坐标为3，纵坐标为3， 外接圆的圆心坐标是． 13．的信号强度与距离有函数关系，下表是科研人员调查以后得到的距离与信号强度相关数据： 距离 1 2 5 8 10 信号强度 400 200 80 50 40 当距离为时，信号强度为________． 【答案】100 【分析】观察发现：距离与信号强度的乘积为定值，即信号强度与距离成反比例关系，再利用待定系数法求得函数解析式，再将代入求函数值即可解答． 【详解】解：由题意可得：信号强度与距离成反比例关系， 设信号强度与距离的函数关系式为， 则， 所以信号强度与距离的函数关系式为， 当时，． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式得出，再利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解：由题意可知，，，，…，， 在反比例函数的图象上， ， ， ． 15．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 16．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 17．如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 18．如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 三、解答题（共64分） 19．解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： 或 ∴． 20．如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据题意得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， （2）解方程组得：或， ∴， 设点C的坐标为， 则， 解得：， ∴点C的坐标为． 21．在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． (1)若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； (2)若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 【答案】(1)24 (2)9元或11元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； （2）解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 22．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米 (2)小明的眼镜度数增加了50度 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． （1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解； （2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与200度作比较即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为． 由图象可知，当时，， ∴，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，． 答：当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米． （2）解：当时，， （度）． 答：小明的眼镜度数增加了50度． 23．已知，半径为1的与相切于点． （1）如图1，点到射线的距离是______． （2）如图2，将从点开始沿射线的方向滚动，当与射线相切时，设与射线相切于点为，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握性质和特殊角的函数值是解题的关键． （1）根据切线的性质，特殊角的函数值计算即可． （2）如图2，连接，延长交于点B，设与射线相切于点N，连接，根据切线的性质，三角函数计算即可． 【详解】（1）连接，过点O作于点D， ∵，半径为1的与相切于点． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图2，连接，延长交于点B， 设与射线相切于点N，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 24．已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 25．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 26．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点M，给出如下定义：将线段绕点M旋转可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点M为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点M为中心的“关联线段”是__________； (2)已知点，线段是以点M为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点M为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于M成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点M为中心的“关联线段”； （2）由E与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，M点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围； （3）设，，根据中心对称得到、的坐标，由在上得到t与m的关系，再结合在上的条件，将问题转化为直线与圆有交点的问题，通过距离公式及根的判别式求出m的取值范围． 【详解】（1）解：如图， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”， 则与关于M点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点M为中心的“关联线段”， 综上，以点M为中心的“关联线段”是和； （2）解：∵与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的坐标为，M点坐标为， ∵是的弦， ∴， ∵与F点关于对称， ∴； （3）解：设，， ∵M为E与的中点， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∵M为F与的中点， ∴， ∵在上， ∴， 将代入得，， 整理得，， ∵直线上存在点F满足条件， ∴关于x的方程有实数解，判别式， ∴， ， ∴m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $