江苏省南通市如皋市2026-2027学年人教版九年级上学期期中数学模拟试卷

如皋市2026-2027学年人教版九年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版九年级数学上册第26-27,29-30章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.反比例函数的图象位于(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】D  【解析】解：反比例函数，， 双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 故选：． 根据当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限解答即可． 本题反比例函数的性质和图象，反比例函数的图象是双曲线：当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：． 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3.如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：． 先利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据垂径定理，因为于点，所以设圆的半径为，则在中，由勾股定理可得：即展开并化简：解得接下来求圆心角的度数在中，所以，则根据弧长公式其中为圆心角度数，可得弧的长为：因此，答案选 B． 5.抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据题意，得， 令，得，解得，，据此逐项分析判断如下： A.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合题意； B.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意； C.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意； D.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意． 故选：． 根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 6.若二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：二次函数的图象经过、， 二次函数的对称轴为直线． 对应的对称点为 ， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小． ， ． 故选：． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 本题考查了二次函数的增减性，正确记忆相关知识点是解题关键． 7.如图，在中，，的内切圆的半径为，三个切点分别为，，若，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则下列说法正确的是(    ) A. 点到轴的距离为 B. 当时，随的增大而增大 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 【答案】D  【解析】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，则， 反比例函数解析式为，据此逐项分析判断如下： 选项A点到轴的距离为，该选项错误，不符合题意； 选项B根据函数图象可知，当时，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； 选项C当时，，则点不在反比例函数的图象上，该选项错误，不符合题意； 选项D ，该选项正确，符合题意； 故选：． 根据题意求出函数解析式，根据反比例函数的图象和性质进行判断即可． 本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键． 9.【问题】关于的一元二次方程在的范围内有解求的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 三名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是(    ) A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 甲和乙合在一起正确 【答案】B  【解析】解：由题意可得：抛物线和直线有交点， 或， 解得：． 故选：． 根据关于的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 10.如图，点的坐标是，是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，连接，，，，点关于点的对称点为点，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，令，则，要求值最大，直线越往上越大，当直线与相切时，最大，设直线于轴交于点，切点为，连接，则，由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为，为等腰直角三角形，，即，最大值为，故选B．    第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11.反比例函数的图象在各个象限内随着的增大而增大，那么的取值范围        ． 【答案】  【解析】解：反比例函数在各个象限内随着的增大而增大， ， ， 故答案为：． 在反比例函数中，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，据此列式求解即可． 本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为，露在墙体外侧的弦长，其中半径垂直平分，则埋在墙体内的弓形高          ． 【答案】  【解析】【分析】 在中，，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确运用勾股定理是解题关键． 【解答】 解：在中，， 则， 故答案为：． 13.若一个二次函数的图象与的图象关于轴对称，则该二次函数的表达式为        ． 【答案】  【解析】解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 该点关于轴对称的点的坐标是， 一个二次函数的图象与的图象关于轴对称， 该二次函数的顶点为， 该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式是， 故答案是：． 利用二次函数图象的对称性进行解答； 该题考查了二次函数的几何变换，正确记忆基本变换性质是解题关键． 14.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为若，，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 垂直于弦，垂足为， ， ， ， ． 故答案为：． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可得，设，则，利用勾股定理可得，即得，由此可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15.如图，直线与轴平行且分别与反比例函数的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为        ． 【答案】  【解析】解：如图：连接，，设交轴于点， ， ， 的面积为． 故答案为：． 如图：连接，，则，进而根据反比例函数的几何意义即可解答． 本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键． 16.如图，抛物线与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，． 抛物线的对称轴为直线          ； 当时，则           ． 【答案】(1)  (2)3  【解析】  抛物线与关于轴对称，得到抛物线的对称轴为直线； 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与关于轴对称， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，解析式为   根据对称得到解析式为，设这条平行线为，，，，的横坐标依次为，，，，由对称得到，再分别联立平行线与抛物线得到，，最后根据列方程求解即可． 一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，， 设这条平行线直线为，，，，的横坐标依次为，，，， ，两点关于轴对称， ，，，， 联立，整理得， ，则， 联立，整理得， ，则， ， ，， ， ， 解得， ， ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点 求一次函数和反比例函数的解析式 根据函数图象，直接写出不等式的解集 【答案】(1)由题意，∵一次函数y1=mx+n与反比例函数的图象交于A（4，1），B（1，b）两点， ∴k=4×1=b×1， ∴b=4，k=4． ∴B（1，4）， 将A，B分别代入y1=mx+n, ∴可得方程组， ∴， ∴一次函数解析式为y=-x+5，反比例函数解析式为  (2)由题意，不等式-mx+-n＞0可化为＞mx+n, ∵不等式＞mx+n的解集可以看作是的图象在y1=mx+n的图象上方的部分的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式-mx+-n＞0的解集为：0＜x＜1或x＞4  【解析】解：由题意，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， ，． ， 将，分别代入， 可得方程组， ， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 由题意，不等式可化为， 不等式的解集可以看作是的图象在的图象上方的部分的自变量的取值范围， 结合图象可得，不等式的解集为：或． 依据题意，由一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，从而可得，又将，分别代入，可得方程组，进而计算可以得解； 依据题意，不等式可化为，又不等式的解集可以看作是的图象在的图象上方的部分的自变量的取值范围，结合图象可以得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 18.本小题分 已知二次函数 求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点 若函数有最小值，求的值 【答案】(1)证明：令y=0，x2-mx+m-2=0， ∴Δ=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， ∵不论m为何值时，（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4＞0即Δ＞0， ∴此二次函数图象与x轴有两个不同交点  (2)由题意，得：， 整理，得：m2-4m+3=0， 解得m1=1，m2=3  【解析】证明：令，， ， 不论为何值时，， 即， 此二次函数图象与轴有两个不同交点． 由题意，得：， 整理，得：， 解得，． 令，得到，求出判别式的符号，即可； 根据函数的最小值为顶点的纵坐标，列出方程进行计算即可． 本题考查二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质，以及利用判别式判断图象与轴的交点的个数，是解题的关键． 19.本小题分 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时如图，木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点绳轮与地面之间的距离忽略不计，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点图中点，，，，，在同一平面内． 连接，求证：． 该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在到之间时，纺线较为舒适．若，，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．参考数据：，计算结果精确到个位 【答案】(1)证明：∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，∴，∴．  (2)舒适．理由：如图，连接OD， ∵DE与⊙O相切于点E，CD与⊙O相切于点C，∴∠OED＝90°，DE＝DC，∴ ，作OD的垂直平分线交DE于点F，连接OF，则OF＝DF，∴∠DOF＝∠ODF＝22.5°，∴∠OFE＝∠DOF+∠ODF＝45°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴EF＝OE＝30 cm，∴，∴ ，70 cm＜72 cm＜120 cm，∴使用该纺车纺线时舒适．   【解析】 略  略 20.本小题分 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间时变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到． 求线段及双曲线段的函数解析式写出自变量取值范围； 求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】(1)解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为；   (2)解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时．   【解析】  利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点的横坐标即可得到答案；   把分别代入到两个函数解析式中求出对应的的值即可得到答案． 21.本小题分 如图，经过、两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点是该优弧所在圆的圆心，船在暗礁区外行驶，连结交优弧于点． 【实践与操作】使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点保留作图痕迹，不要求写作法 【应用与说理】连结、，测得，若要使船不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内 【答案】(1)解：如图：   (2)<ACB<.  【解析】 略  略 22.本小题分 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动如图，花圃一边靠墙墙的长度不限，其余部分用总长为的栅栏围成围成矩形花圃时，用栅栏栅栏宽度忽略不计将该花圃分隔成为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口此处不用栅栏要使上述方案中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米 【答案】设花圃的面积为，与墙垂直的边的长度为， 则与墙平行的一边长为． 根据题意，得． ， 当时，取得最大值，此时与墙平行的边的长度为． 答：要使方案中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为  【解析】略 23.本小题分 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，点为上一点，，连接交于点，若  求证：是的切线；  若的半径是，，求图中阴影部分的面积结果保留根号和． 【答案】证明：以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接，    ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，即，  ，  是的半径，  是的切线．  解：，  ，  ，，  在中，，  ，  阴影部分的面积．  【解析】连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论；  利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 24.本小题分 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想 【数学眼光】 如图，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过，，三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢如图，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接，． 按照小明的思路完成证明过程． 【问题解决】 如图，若墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离 如图，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长用含，，的代数式表示 【答案】(1)证明:=,ACB=ADB. ADB>AB,ACB>AB, ​​​​​​​视角ACB最大,站在此处观赏最理想;   (2)(1)解:点A距地面3米,最低处的点B距地面米,最大视角为,连接AC,BC,OA,OB,作OGAB于点G,如图, 由题知,AB=3-=(米), ACB=, AOB=2ACB=. OA=OB, OAB为等边三角形, OA=OB=AB=米. OGAB, AG=BG=米. OGH=OCH=GHC=, 四边形OGHC为矩形, GH=OC=OB=米, HC=GO===(米), AH=GH+AG=米, H距地面的距离为3-=(米), 故此时观赏者站在距墙壁米远的地方最理想;点C距地面的距离为米. (2)解:最佳观赏距离CH的长为米,理由如下: 展品最高处的点A距地面a米,最低处的点B距地面米,观赏者的眼睛点C距地面m米, AB=(a-b)米. OA=OB,OGAB, AG=BG=米. AH=(a-m)米, 由(2)同理可知,四边形OGHC为矩形, OC=OA=GH=a-m-=(-m)米, CH=OG= = = =米, 故最佳观赏距离CH的长为米.   【解析】 略  略 25.本小题分 已知抛物线为常数． 若抛物线过点，，求的值 抛物线与轴交于，两点，点为线段上一点，过点作轴垂线，分别与抛物线和直线交于点，，求的最大值 点，都在抛物线上，当，时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)由抛物线y=-+1可知对称轴为直线x=t,抛物线过点(-3,m),(1,m),这两点关于对称轴对称,即t=,t=-.  (2)令y=0,则有-+1=0,解得=t+1,=t-1,抛物线与x轴的交点横坐标为t+1,t-.点P(2t-,0)为线段AB上一点,t-12t-1t+1,解得0t.过点P作x轴的垂线,分别与抛物线和直线y=-x-3交于点M,N,且P(2t-,0),M(2t-1,-+2t),N(2t-1,-t-),MN=|-+2t-(-t-)|=|-+3t+|=|-+|.当0t2时,绝对值中的式子的值恒大于0,-1<0,当t=时,-+取得最大值,最大值为,MN的最大值为.  (3)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=t,开口向下,当x>t时,y随x的增大而减小,当x< t时,y随x的增大而增大,根据题意可知:当-2t-1-2t,24时,的最小值应大于的最大值,分析抛物线对称轴x=t与x=2和x=4的三种关系,当t>4时,如图,此时-2t-1<-2t<2<4< t,都有<,符合题意; 当2< t4时,且当3< t4时,此时当=2时,取得最小值,当=-2t时,取得最大值,t-2< t-(-2t),解得t>-1,当3< t4时,<恒成立;当2< t3时,如图,此时-2t-1<-2t<2< t<4,在=-2t时取得最大值,在=4时取得最小值,4-t< t-(-2t),解得t>1,当2< t4时,都有<; ​​​​​​​当0t2时,如图,此时-2t-1<-2t< t<2<4,在=-2t时取得最大值,在=4时取得最小值,4-t< t-(-2t),解得t>1,当1< t2时,都有<; 当t<0时,则-2t>0,若-2t-1t时,则的最大值大于,即<不成立,若-2t-1>t时,如图,当=-2t-1时,点C的纵坐标取得最大值,当=4时,点D的纵坐标取得最小值,-2t-1>4,解得t<-. 综上所述,t的取值范围为t<-或t>1.   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋市2026-2027学年人教版九年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16. 【小题】       【小题】   17. 【小题】由题意，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， ，． ， 将，分别代入， 可得方程组， ， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为 【小题】由题意，不等式可化为， 不等式的解集可以看作是的图象在的图象上方的部分的自变量的取值范围， 结合图象可得，不等式的解集为：或   18. 【小题】证明：令，， ， 不论为何值时，， 即， 此二次函数图象与轴有两个不同交点 【小题】由题意，得：， 整理，得：， 解得，   19. 【小题】 证明：与相切于点，，，，，． 【小题】 舒适．理由：如图，连接， 与相切于点，与相切于点，，， ，作的垂直平分线交于点，连接，则，，，为等腰直角三角形，，， ，，使用该纺车纺线时舒适．   20. 【小题】 解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得 解得 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， 双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； 【小题】 解：令， 解得， 段温度为的时刻为时． 令， 解得， 段温度为的时刻为时， 小时， 答：温度不低于的时长为小时．   21. 【小题】 解：如图： 【小题】 ．   22. 设花圃的面积为，与墙垂直的边的长度为， 则与墙平行的一边长为． 根据题意，得． ， 当时，取得最大值，此时与墙平行的边的长度为． 答：要使方案中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为  23. 证明：以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接，    ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，即，  ，  是的半径，  是的切线．  解：，  ，  ，，  在中，，  ，  阴影部分的面积．  24. 【小题】 证明：，． ，， 视角最大，站在此处观赏最理想 【小题】 解：点距地面米，最低处的点距地面米，最大视角为，连接，，，，作于点，如图， 由题知，米， ， ． ， 为等边三角形， 米 ， 米 ， 四边形为矩形， 米， 米， 米， 距地面的距离为米， 故此时观赏者站在距墙壁米远的地方最理想点距地面的距离为米 解：最佳观赏距离的长为米，理由如下： 展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米， 米． ，， 米 米， 由同理可知，四边形为矩形， 米， 米， 故最佳观赏距离的长为米   25. 【小题】 由抛物线可知对称轴为直线，抛物线过点，，这两点关于对称轴对称，即，． 【小题】 令，则有，解得，，抛物线与轴的交点横坐标为，．点为线段上一点，，解得．过点作轴的垂线，分别与抛物线和直线交于点，，且，，，当时，绝对值中的式子的值恒大于，，当时，取得最大值，最大值为，的最大值为． 【小题】 由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值，分析抛物线对称轴与和的三种关系，当时，如图，此时，都有，符合题意 当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值，，解得，当时，恒成立当时，如图，此时，在时取得最大值，在时取得最小值，，解得，当时，都有 当时，如图，此时，在时取得最大值，在时取得最小值，，解得，当时，都有 当时，则，若时，则的最大值大于，即不成立，若时，如图，当时，点的纵坐标取得最大值，当时，点的纵坐标取得最小值，，解得． 综上所述，的取值范围为或．   【解析】 1. 解：反比例函数，， 双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 故选：． 根据当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限解答即可． 本题反比例函数的性质和图象，反比例函数的图象是双曲线：当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 2. 解：抛物线的顶点坐标为． 故选：． 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3. 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：． 先利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4. 根据垂径定理，因为于点，所以设圆的半径为，则在中，由勾股定理可得：即展开并化简：解得接下来求圆心角的度数在中，所以，则根据弧长公式其中为圆心角度数，可得弧的长为：因此，答案选 B． 5. 解：根据题意，得， 令，得，解得，，据此逐项分析判断如下： A.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合题意； B.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意； C.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意； D.根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合题意． 故选：． 根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 6. 解：二次函数的图象经过、， 二次函数的对称轴为直线． 对应的对称点为 ， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小． ， ． 故选：． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 本题考查了二次函数的增减性，正确记忆相关知识点是解题关键． 7. 略 8. 解：点在反比例函数的图象上，轴于点，则， 反比例函数解析式为，据此逐项分析判断如下： 选项A点到轴的距离为，该选项错误，不符合题意； 选项B根据函数图象可知，当时，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； 选项C当时，，则点不在反比例函数的图象上，该选项错误，不符合题意； 选项D ，该选项正确，符合题意； 故选：． 根据题意求出函数解析式，根据反比例函数的图象和性质进行判断即可． 本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键． 9. 解：由题意可得：抛物线和直线有交点， 或， 解得：． 故选：． 根据关于的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 10. 如图，连接，，，，点关于点的对称点为点，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，令，则，要求值最大，直线越往上越大，当直线与相切时，最大，设直线于轴交于点，切点为，连接，则，由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为，为等腰直角三角形，，即，最大值为，故选B．    11. 解：反比例函数在各个象限内随着的增大而增大， ， ， 故答案为：． 在反比例函数中，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，据此列式求解即可． 本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12. 【分析】 在中，，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确运用勾股定理是解题关键． 【解答】 解：在中，， 则， 故答案为：． 13. 解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 该点关于轴对称的点的坐标是， 一个二次函数的图象与的图象关于轴对称， 该二次函数的顶点为， 该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式是， 故答案是：． 利用二次函数图象的对称性进行解答； 该题考查了二次函数的几何变换，正确记忆基本变换性质是解题关键． 14. 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 垂直于弦，垂足为， ， ， ， ． 故答案为：． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可得，设，则，利用勾股定理可得，即得，由此可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 解：如图：连接，，设交轴于点， ， ， 的面积为． 故答案为：． 如图：连接，，则，进而根据反比例函数的几何意义即可解答． 本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键． 16.   抛物线与关于轴对称，得到抛物线的对称轴为直线； 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与关于轴对称， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，解析式为   根据对称得到解析式为，设这条平行线为，，，，的横坐标依次为，，，，由对称得到，再分别联立平行线与抛物线得到，，最后根据列方程求解即可． 一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，， 设这条平行线直线为，，，，的横坐标依次为，，，， ，两点关于轴对称， ，，，， 联立，整理得， ，则， 联立，整理得， ，则， ， ，， ， ， 解得， ， ． 17. 解：由题意，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， ，． ， 将，分别代入， 可得方程组， ， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 由题意，不等式可化为， 不等式的解集可以看作是的图象在的图象上方的部分的自变量的取值范围， 结合图象可得，不等式的解集为：或． 依据题意，由一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，从而可得，又将，分别代入，可得方程组，进而计算可以得解； 依据题意，不等式可化为，又不等式的解集可以看作是的图象在的图象上方的部分的自变量的取值范围，结合图象可以得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 18. 证明：令，， ， 不论为何值时，， 即， 此二次函数图象与轴有两个不同交点． 由题意，得：， 整理，得：， 解得，． 令，得到，求出判别式的符号，即可； 根据函数的最小值为顶点的纵坐标，列出方程进行计算即可． 本题考查二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质，以及利用判别式判断图象与轴的交点的个数，是解题的关键． 19.  略  略 20.   利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点的横坐标即可得到答案；   把分别代入到两个函数解析式中求出对应的的值即可得到答案． 21.  略  略 22. 略 23. 连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论；  利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 24.  略  略 25.  略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋市2026-2027学年人教版九年级上学期期中数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版九年级数学上册第26-27,29-30章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.反比例函数的图象位于(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.若二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，的内切圆的半径为，三个切点分别为，，若，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则下列说法正确的是(    ) A. 点到轴的距离为 B. 当时，随的增大而增大 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 9.【问题】关于的一元二次方程在的范围内有解求的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 三名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是(    ) A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 甲和乙合在一起正确 10.如图，点的坐标是，是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为． A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11.反比例函数的图象在各个象限内随着的增大而增大，那么的取值范围        ． 12.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为，露在墙体外侧的弦长，其中半径垂直平分，则埋在墙体内的弓形高          ． 13.若一个二次函数的图象与的图象关于轴对称，则该二次函数的表达式为        ． 14.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为若，，则的长为        ． 15.如图，直线与轴平行且分别与反比例函数的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为        ． 16.如图，抛物线与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，． 抛物线的对称轴为直线          ； 当时，则           ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点 求一次函数和反比例函数的解析式 根据函数图象，直接写出不等式的解集 18.本小题分 已知二次函数 求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点 若函数有最小值，求的值 19.本小题10分 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时如图，木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点绳轮与地面之间的距离忽略不计，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点图中点，，，，，在同一平面内． 连接，求证：． 该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在到之间时，纺线较为舒适．若，，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．参考数据：，计算结果精确到个位 20.本小题10分 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间时变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到． 求线段及双曲线段的函数解析式写出自变量取值范围； 求该大棚在时内，温度不低于的时长， 21.本小题10分 如图，经过、两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点是该优弧所在圆的圆心，船在暗礁区外行驶，连结交优弧于点． 【实践与操作】使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点保留作图痕迹，不要求写作法 【应用与说理】连结、，测得，若要使船不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内 22.本小题10分 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动如图，花圃一边靠墙墙的长度不限，其余部分用总长为的栅栏围成围成矩形花圃时，用栅栏栅栏宽度忽略不计将该花圃分隔成为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口此处不用栅栏要使上述方案中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米 23.本小题12分 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，点为上一点，，连接交于点，若  求证：是的切线；  若的半径是，，求图中阴影部分的面积结果保留根号和． 24.本小题13分 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想 【数学眼光】 如图，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过，，三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢如图，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接，． 按照小明的思路完成证明过程． 【问题解决】 如图，若墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离 如图，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长用含，，的代数式表示 25.本小题13分 已知抛物线为常数． 若抛物线过点，，求的值 抛物线与轴交于，两点，点为线段上一点，过点作轴垂线，分别与抛物线和直线交于点，，求的最大值 点，都在抛物线上，当，时，都有，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $如皋市2026-2027学年人教版九年级上学期期中数学模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新人教版九年级数学上册第26-27,29-30章。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.反比例函数y=-的图象位于() A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限 2.抛物线y=-3(x-5)2+2的顶点坐标为() A.(5,2) B.(-5,2) C.(5,-2) D.(-3,2) 3.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，若AB=6,∠D=60°，则BC的长度为() A.2W3 B.3V3 C.6v3 D.3 B 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC,点0是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB1AC于点 D.若AC=300V3m,BD=150m,则AC的长为() B 第1页，共9页 A.300πm B.200πm C.150πm D.100v3nm 5.抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是() 产☆妈 6.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过五个点A(2,n)B(-3,n)C(0,y1)D(-3,y2)和E(2.5,y3): 则下列关系正确的是() A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2 7.如图，在Rt△ABC中，LC=90°，△ABC的内切圆的半径为2，三个切点分别为D,E,F若AB=10, 则△ABC的面积是（) B A D A.14 B.24 C.28 D.10+10V2 8.如图，点P(1,2)在反比例函数y=的图象上，PA1x轴于点A,则下列说法正确的是() A.点P到y轴的距离为2 B.当x<0时，y随x的增大而增大 C.点P(-1,2)也在反比例函数y=的图象上 D.S△0AP=1 9.【问题】关于x的一元二次方程-x(x-m)一3=0在2≤x≤4的范围内有解求m的取值范围. 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数y=一x(x一m)与直线y=3的相关问题. 第2页，共9页 三名学生的答案如下： 甲：m=2W3:乙：7≤m≤ :丙：2≤m≤4. 下列判断正确的是() A.甲正确 B.乙正确 C.丙正确 D.甲和乙合在一起正确 y个 2H -10%1234 10.如图，点A的坐标是(-3,0)，C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P(x,y), 则x+y的最大值为() B A.3 B.3V2 C.6 D.3V2+3 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11.反比例函数y=-的图象在各个象限内y随着x的增大而增大，那么k的取值范围一· 12.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm,露在墙体外侧的弦长AB= 18cm,其中半径0C垂直平分AB,则埋在墙体内的弓形高CD=cm. 墙网4 B 第3页，共9页 13.若一个二次函数的图象与y=3x2-6x+5的图象关于x轴对称，则该二次函数的表达式为 14.如图，在⊙0中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若LCAB=30°，AC=5,则BE的长为· D 0 15如图，直线1与x轴平行且分别与反比例函数y=-是(x<0)y=(x>0)的图象交于点A和点B,点P 是x轴上的一个动点，则△APB的面积为一· 16.如图，抛物线y1与y2关于y轴对称，且y1=(x+1)2(x<0),一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个 交点，从左到右依次记为A,B,C,D. B D (1)抛物线y2的对称轴为直线 (2)当AB=BC=CD时，则AD= 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(体小题10分)如图，一次函数y1=mx+n与反比例函数，=的图象交于点A(4,1),B(1,b)两点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2②)根据函数图象，直接写出不等式-x+-n>0的解集 0 第4页，共9页 18.(本小题10分) 已知二次函数y=x2-mx+m-2 (1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点 (②)若函数y有最小值-？求m的值 19.(本小题10分) 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮⊙O与水 平面DB相切于点E(绳轮与地面之间的距离忽略不计)，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳 CD与⊙0相切于点C,过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O,A,E,D,C,B在同一平面内)： B E D (1)连接AC,求证：∠ACD+LA0C=180° (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30cm,且圆心0与D处锭子之间的水平距离DE 在70cm到120cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDE=45°，0E=30cm,请判断使用该纺车纺线时是否 舒适，并说明理由.（参考数据：√2≈1.414，计算结果精确到个位） 第5页，共9页 20.(本小题10分) 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0~24时的温度变化，并绘制出大棚内的温 度y(℃)随时间x(时)变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为 15°C,线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D 表示24时温度降到15C. y/C 30 B 15 05 24x/时 (①)求线段AB及双曲线CD段的函数解析式（写出自变量取值范围）： (2)求该大棚在0~24时内，温度不低于24℃的时长， 21.(本小题10分) 如图，经过A、B两点的优弧与海岸线AB围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C 在暗礁区外行驶，连结AC交优弧于点D. D 0 B (1)【实践与操作】使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线AB最远的点E;(保留作图痕迹，不要 求写作法) 第6页，共9页 (2)【应用与说理】连结AE、BE,测得LAEB=60°，若要使船C不会进入暗礁区，则∠ACB的大小应保 持在什么范围内？ 22.(本小题10分) 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动如图，花圃一边靠墙（墙的长度不限），其 余部分用总长为60的栅栏围成.围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔成为两个小矩 形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）.要使上述方案中花 圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 墙 花圃 3p区域1 区域23m 23.(本小题12分) 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边交于点E,点D为⊙O上一点， OD⊥BE,连接AD交BC于点F,若AC=FC. (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若⊙0的半径是6，∠ADB=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）. 第7页，共9页 E D 24.(本小题13分) 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图1，设墙壁上的展品最高处点A距离地面α米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地 面m米，当过A,B,C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角∠ACB最大，站在此处观赏最理想 A B D 777777777777 H 图1 图2 图3 (1)【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图2，他在过点C的水平线HC上任取异于点C的点C,连接AC'交⊙O于点D, 连接BD,BC' 按照小明的思路完成证明过程 (2)【问题解决】 (1)如图3，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面1.8米，最大视角为30°，求此 时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ (2)如图3，设墙壁上的展品最高处的点A距地面α米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地 面m米，直接写出最佳观赏距离CH的长.（用含a,b,m的代数式表示） 第8页，共9页 25.(本小题13分) 已知抛物线y=-(x-t)2+1.(t为常数) (1)若抛物线过点(-3，m),(1,m),求t的值； (2)抛物线与x轴交于A,B两点，点P(2t-1,0)为线段AB上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和 直线y=-2x-3交于点M,N,求MN的最大值； (3)点C(x1y1),D(x2y2)都在抛物线上，当-2t-1≤x1≤-2t,2≤x2≤4时，都有y1<y2,求t的取值 范围. 第9页，共9页