北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

初三年级数学学科参考答案 一.选择题（共16分，每题2分） 题号 2 4 5 6 7 8 答案 D A B D B D 二.填空题（共16分，每题2分） 9.X=-2,龙=2 10.y=-2(答案不唯一) 11.片<<y2 12.-3 13.500(1+x2=720 14.40° 15.（-2,0)或1,3) 16.①②④ 三.解答题（共68分，第17一21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24一26题， 每题6分，第27一28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解：a=1,b=2,c=-1 1分 △=b2-4ac=22-4×1×(-1)=4+4=8 …3分 x=-b±B-4ae_-2±8 由求根公式： 2a 2 …4分 .x=-1+V2,为2=-1-V2 5分 18.解：a是方程2x2-7x-1=0的一个根， .2a2-7a-1=0,… …2分 .2a2-7a=1, .4a2-14a+5 =2(2a2-7a+5 4分 =2+5=7.… …5分 19.(1)图略.关键点正确，图形比较准确即可给满分 …3分 (2)-4≤y<5 5分 20.(1)解：将△DCB绕点C旋转得到△ECA, ∴.△DCB≌△ECA. .∠DBC=∠EAC..… …1分 .∠CDB=∠FDA ∴.∠ACB=∠AFB ∠ACB=90°， .∠AFB=90°， ∴.∠BFE=90° …3分 (2)证明：△ECA≌△DCB, ∴.∠ACE=∠ACB=90°，∠AEC=∠BDC ∠BDC=67.5°， ∴.∠AEC=67.5° 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 ∴.∠EAC=22.5° △ACB中，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠BAC=45° ∴.∠BAE=∠AEB=67.5°， ..AB=EB............. …5分 21.(1),双曲 y-r>0a点4la.3) .0=2.. …1分 :直线y=+1过点4(2,3) k=1 …2分 2 ≤m≤1 (2)3 …5分 22. 1)证明：△=(2-m2-4x1x1-m）=m2≥0 …2分 ∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根， 即该方程总有两个实数根；… …3分 (2)设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，依题意得 x-x2=3,X+x3=m-2.x2=1-m …4分 .(x-x2)}=32 x2-2xx2+x=9 x2+x=9+2xx2=9+2(1-m)=11-2m (x+2)}=(m-2) .x2+2xx2+x号=m2-4m+4 .11-2m+2(1-m）=m2-4m+4 整理得m2=9, 解得m=3或m=-3, …5分 m<0 ∴.m=-3 6分 23.解：(1)如图，即为补全的图形： …1分 D C B (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， :∠BAC=30°，BC=1, .AB=2BC=2. AC=3 …3分 由旋转可知：∠DAC=60°，AD=AC=V3」 .∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°. BD=VAB+AD=22+(3=万 …5分 24.解：设左右边宽度为x寸，则上下边宽度为2x寸… 1分 0+40+2)=10x9x1+写 …3分 1 15 = 解得2， X2= 2（舍)… …5分 人 答：摆台画框的左、右边宽度应是2寸. 25.答案： (1)由题意，抛物线顶点为(20,10），设y=a(r-20)+10(a<0) …1分 s、、1 又过点0(0,0)，代入得0=40】 所以这条抛物线的解析式为 40x-20)2+10 …2分 1 (或一般式答案： y-- x2+x 40 （2)①<… …3分 反比例… …4分 -vt ②由 2 ,得,代入 u-1 2 得 22x1g了2x} 2 因为8≈10m/s,所以 因此二次项系数 2(>0) 10 =- 即a=v2,①中的推测是正确的 …5分 1 10 V= =V400=20m/s 4= 因为 40,所以 a 6分 26.解：(1)c=0,b=-2a 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …2分 (2)令x=4,则a×42-2×4a=16a-8a=8a, :直线过原点， ∴设其解析式为y=c 由题意得1与抛物线的交点为(4,8a） …3分 ∴.4k=8a 解得k=2a, 1:y=2ax, 过点M(,0)作x轴的垂线，交抛物线于点N,且M(,0), ..N(t,at2-2at) :过点N作平行于x轴的直线，交直线于点H, H的纵坐标与N相同， 代入1得，2ax=at2-2at t2-2t 解得 2 m-f+ …4分 :点M从点O运动到点B(2,0)的过程中，线段NH的长随OM的长增大而增大， 当a<0时，2a≤t≤0，即OM=-t, 此时OM随t增大而减小， a=2-21=-2-2 .该函数开口向上，对称轴为t=2, 此时t在对称轴左侧，NH随t增大而减小， ·NH随OM增大而增大，满足条件； 当a>0时，0≤t≤2a,即OM=t, 此时OM随t增大而增大， H=- +2 0-2列+2 ∴该函数开口向下，对称轴为1=2， 要使H随t增大而增大，需2a≤2 解得a≤1， .0<a≤1： 综上所述，a≤1且a≠0 6分 27.解：(1)AB=AC,∠BAC=a ∠ABC=∠ACB=90°- a 2 1分 由旋转可得，∠ACD=90°-a,AC=CD 2DC8=∠4C8-∠ACD=90-a-(0-）=5a 2 ∠C1D=∠CD4=180°-∠1CD_180°-(90°-0）-45°+1a 2 11 ∴.∠AFC=∠CDA-∠DCB=45°+ 2450 3、 …3分 (2)补全图形， C H G B E」 D 猜想：BF=2GH ……4分 证明：作点D关于CF的对称点M,连接CM,DM,FM, C M D CF垂直平分DM, ∴.CD=CM,FD=FM ∴.∠DFM=2∠AFC=90°，∠DCM=2∠DCB=a, .∠BAC=∠DCM, :AC=DC」 ∴.AB=AC=CD=CM, .△ABC≌△CDM(SAS) ∴BC=DM, …5分 在Rt△DFM中，∠DFM=90°，DF=MF, 根据勾股定理，DM=VDF2+MF2=√2DF, :.BC=2DF. GH=1BF ,点G为CF的中点， 设GH=a,CG=FG=b,则BF=2a, ..CH=CG-GH=b-a,BH=FG-BF+GH=b-a, .CH=BH,… 6分 :∠BAC=C,∠ACE=90°-a. :∠BEC=∠BAC+∠ACE=90°， :.EH=1BC 2 BC=2DF, .DF =2EH ，… …7分 28.解：(1)点位置如图… …1分 4y 3 2 M D -2 3 Q(0,1) …2分 @点M飞，0)，Pt+2,) .P'(t-2,-1)(t-2,1) PQx轴， L…‘【-Z乙小1+乙乙小（升明80‘州Y售N8宗（⑦） h…h4斗明0d‘关Y41与到升明0 b=(亿-)-7+1=0d: 初三年级数学学科试卷 满分100分 考试时间120分钟 学校：________班级：________姓名：________准考证号：________ 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中，绕着某个定点旋转能够和自身重合的图形是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程化为一般式后，若则的值为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 二．填空题（共16分，每题2分） 9．一元二次方程的解为________． 10．已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式________． 11．在平面直角坐标系中，点，，在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系是________．（用“”把它们连接起来．） 12．已知关于一元二次方程的一个根为，则另一个根是________． 13．随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升．年该公司智能服务机器人年产量为万台；年、年连续两年扩产，预计到年年产量达到万台．设年至年智能服务机器人年产量的年平均增长率为，则根据题意可以列方程为________． 14．如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，且，则的度数为________． 15．如图，抛物线与轴正半轴交于点，点为轴上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为________． 16．已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点，之间（包含端点）．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立．其中正确的结论有________． 三．解答题（共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解方程：． 18．已知是方程的一个根，求代数式的值． 19．已知二次函数．并回答以下问题： （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围； 20．如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． （1）求的度数： （2）若，求证：． 21．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． （1）求和的值： （2）当时，对于的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 22．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 23．如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依题意补全图形： （2）若，求线段的长． 24．小北同学计划为北中小舞台活动设计一幅长寸、宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图），并制作一个摆台画框．根据有关要求，画框的上、下边框宽度相等，左、右边框宽度相等，上、下边框宽度是左、右边框宽度的倍，若边框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边框宽度应是多少？ 25．消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度． （1）求抛物线的函数解析式． （2）将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为． ①请判断________（填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足________（填写“正比例”或“反比例”）关系． ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值． 26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过．顶点坐标为． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．过点作平行于轴的直线，交一条过原点的直线于点．已知直线与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为．若点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求的取值范围． 27．如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． （1）求的大小； （2）点是线段中点（点在点左侧），点在线段上，连接，当线段和满足什么数量关系时，线段，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”． （1）如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长． （2）已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 学科网（北京）股份有限公司 $