精品解析：江苏省华杰教育集团 2026-2027学年第一学期学业质量检测八年级数学

2026－2027学年第一学期学业质量检测 八年级数学 （满分150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知一个三角形的两边长分别是4和6，若第三边是最长边，则第三边的长可以是（ ） A. 11 B. 7 C. 4 D. 3 3. 在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A. 的角平分线与的垂直平分线的交点 B. 的角平分线与的垂直平分线的交点 C. 的角平分线与的垂直平分线的交点 D. 的角平分线与的垂直平分线的交点 7. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的平方根是____． 10. 的小数部分是______． 11. 已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 _____． 12. 如图，，相交于点，若，，则___________． 13. 如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_________． 14. 等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________． 15. 如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则_______． 16. 如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ____________________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 已知：如图，四点在同一直线上，且. 求证：. 19. 如图，中，分别是边上的点，，求证：． 20. 如图所示，和的平分线相交于，过作，交于，交于，求证：． 21. 如图（1），中，，平分交于点，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 22. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA， （1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP 23. 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数， ，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 24. 如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E；求证：∠ABE=∠CDE 25. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 26. 如图，在中，，，，， 点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发．分别过， 两点作于，于． 设点的运动时间为： （1）当， 两点相遇时， 求的值： （2）当与全等时，求出所有满足条件的的长． （3）当P，Q两点的连线将的周长分成2：3两个部分时，直接写出t的值． 27. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接交于M，如图2，求的值； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期学业质量检测 八年级数学 （满分150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根，算术平方根的定义，正数的算术平方根是非负数，负数的平方根在实数范围内无意义，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、无意义，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知一个三角形的两边长分别是4和6，若第三边是最长边，则第三边的长可以是（ ） A. 11 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用第三边为最长边的限定及三角形三边关系确定取值范围，匹配选项． 【详解】解：设第三边长为， ∵第三边是最长边， ∴， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴第三边的取值范围是， 结合选项，只有符合条件． 3. 在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积得到的长，进而得到的长，再用点表示的数加上的长即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点所表示的数为 ． 6. 如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A. 的角平分线与的垂直平分线的交点 B. 的角平分线与的垂直平分线的交点 C. 的角平分线与的垂直平分线的交点 D. 的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点到边、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴点在边的垂直平分线上， ∴点是的角平分线与的垂直平分线的交点． 7. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；①过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；②由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；③由垂线段最短得当时，的值最小，即可判断；④由平行线的性质即可判断；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 【详解】解：①过作交于，交于， ， 点D是的平分线上的一个定点， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是等边三角形； 故此项正确； ②由①得， ， ， 点D是的平分线上的一个定点， 是定值， 四边形的面积是一个定值； 故此项正确； ③如图， 当时， 的值最小， 是等边三角形， 的周长为， 的周长最小； 故此项正确； ④如图， ， ， 故此项正确； 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 10. 的小数部分是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断在哪两个整数之间，再用减去整数部分即可． 【详解】，的小数部分为， 故答案为． 【点睛】本题考查了估计无理数的大小，是基础知识要熟练掌握． 11. 已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系以、绝对值的性质和偶次方的性质等知识点，正确求得a的值是解题关键． 利用绝对值的性质以及偶次方的性质可得的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∵a为方程的解， ∴或， 又∵，不能构成三角形， ∴， ∴的周长为． 故答案为：9． 12. 如图，，相交于点，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形的性质进行角度推导． 根据全等三角形的性质得出，再利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出的度数，最后通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_________． 【答案】60 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，即可得出答案． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， 在和中， ，， ，， ∴可以通过闸机的物体的最大宽度是． 14. 等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是___________． 【答案】8或14 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当8为腰长时，底边为14；当8为底边长时，腰为11．利用三角形三边关系检验，两种情况均成立，故底边长为8或14． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，则周长为． 若一边长8为腰长，则，此时三边为8、8、14，满足，符合三角形三边关系． 若一边长8为底边长，则，此时三边为11、11、8，满足，符合三角形三边关系． 因此等腰三角形的底边长为8或14． 故答案为：8或14． 15. 如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．连接、，根据四边形内角和等于求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 在△中，是的中点， 则， ， ， 同理可得：，， ，， 是的中点， ， 故答案为：6． 16. 如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况①点在上，②点在的延长线上，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①点在上， 作，交的延长线于， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 根据题意知，， 设，则， ， ， ∴； ②如图，点在的延长线上，作于， 用①中同样的解法可以得到，， 设，，， ， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别算出，，，再依次做减法和加法得到结果 10． （2）分别算出，，，再依次运算得到结果． （3）先把方程两边同时除以得到，再利用平方根概念求解即可． （4）先移项、两边除以得到，再利用平方根概念求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原方程两边同时除以，得 ， 开平方，得 ， ． 【小问4详解】 解：移项，得 ． 两边同时除以，得 ． 开平方，得 ． 当时，， 当时，， ． 18. 已知：如图，四点在同一直线上，且. 求证：. 【答案】 证明：∵， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， ∵， ∴∠A=∠DBF， 在∆CAE和∆DBF中， ∵， ∴∆CAE≅∆DBF(SAS)， ∴. 【解析】 【分析】由，得：AC=BD，∠A=∠DBF，进而证明：∆CAE≅∆DBF(SAS)，即可得到结论. 【详解】略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，掌握SAS证明三角形全等，是解题的关键. 19. 如图，中，分别是边上的点，，求证：． 【答案】证明：由三角形的外角的性质可得：， ∵，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】结合三角形外角的性质可得，可证明，即可． 【详解】略 20. 如图所示，和的平分线相交于，过作，交于，交于，求证：． 【答案】证明：平分， ， 平分， ， ， ，， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，，再由平行线的性质得到 ，，利用等角对等边可得线段相等，再利用等量代换可证． 【详解】略 21. 如图（1），中，，平分交于点，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：， 理由：根据（1）可得， ∴， 又点为线段的中点， ∴． 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，得出，，，根据三角形内角和列方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解． （2）根据（1）得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设， ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA， （1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP 【答案】（1） 如图，EF为所作；        （2） 证明：∵PA＝PD， ∴∠A＝∠PDA，    ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED，              ∴∠B＝∠EDB，    ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣∠PDA﹣∠EDB=90° ． ∴PD⊥DE． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线EF； （2）先由PA=PD得到∠A=∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，则∠B=∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB=90°，从而可判断PD⊥DE． 【小问1详解】 分别以B、D为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交BC于E，交BD于F， 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 23. 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：对于1，4，9这三个数， ，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】（1） 4，16，25是“漂亮数”； ∵，，，且8，10，20均为整数， ∴这三个数符合“漂亮数”的定义，是“漂亮数” （2） 【解析】 【分析】（1）根据“漂亮数”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根，判断是否均为整数即可； （2）先由“漂亮数”的定义得到三个算术平方根的表达式，结合确定最小与最大算术平方根，再根据倍数关系列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正整数9，25，m是“漂亮数”， ∴，，均为整数， 计算得，，， ∵m是正整数，且，均为整数， ∴是整数， ∵， ∴， ∴，， ∴最小算术平方根为15，最大算术平方根为， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的3倍， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E；求证：∠ABE=∠CDE 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，，又已知，则可利用证明，从而得出结论． 【详解】解：证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，． 又， ． ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，已知线段的线段垂直平分线常作辅助线是连接中垂线上的点与线段的两个端点． 25. 如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 26. 如图，在中，，，，， 点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发．分别过， 两点作于，于． 设点的运动时间为： （1）当， 两点相遇时， 求的值： （2）当与全等时，求出所有满足条件的的长． （3）当P，Q两点的连线将的周长分成2：3两个部分时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）的长为或或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）当时，，分三种情况：当点在上，点在上时，当点在上，点在上时，当点到达点后，点在上时，分别求解即可； （3）分当点在上，点在上时，当点到达点后，点在上时，分别计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，解得； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 当时，， 当点在上，点在上时， ，，，， ，， ， 解得， 此时； 当点在上，点在上时， ，， ， 解得， 此时； 当点到达点后，点在上时，此时； 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 【小问3详解】 解：当点在上，点在上时， ，，，，， ，， 根据题意得，解得， 或，解得，不合题意，舍去， 点到达点所用时间为，点到达点所用时间为， 此时点的移动距离为，点在上， 当点到达点后，点在上时，，， 则， 根据题意得，解得， 或，解得（不合题意）； 综上所述，所有满足条件的的值为或． 27. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接交于M，如图2，求的值； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）2 （3） 解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； 【小问3详解】 略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $