精品解析：江苏省连云港市海州区海宁中学2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷

2025-2026学年江苏省连云港市海州区海宁中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，能作出唯一三角形的是（ ） A. 已知两边 B. 已知两角 C. 已知两边一角 D. 已知两角一边 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 5. 如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3.5 7. 如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（每题3分，共计30分） 9. 的立方根是__________． 10. 如图，，，，则的度数是______． 11. 在等腰三角形中，若，，则___________ 12. 若，且，则=_________； 13. 如图，，若要使，请添加一个条件______．（只需填写一个正确条件） 14. 如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 15. 如图，中，，，为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则______°． 16. 如图，在中，垂直平分．若，垂足分别为点E，F，连接，则______． 17. 如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在上，若，，则的长为______． 18. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共9题，共计96分） 19. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求的算术平方根． 20. 某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路两处劳动（如图），使P到的距离相等，且使．请找出点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹） 21. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 22. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，求与的周长之差． 23. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）写出与之间的数量关系，并给出证明． 24. 如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 25. 如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM； （2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； （3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 26. （1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省连云港市海州区海宁中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： A、，故不能组成三角形，故此选项不合题意； B、，故不能组成三角形，故此选项不合题意； C、，故不能组成三角形，故此选项不合题意； D、，故能组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列条件中，能作出唯一三角形的是（ ） A. 已知两边 B. 已知两角 C. 已知两边一角 D. 已知两角一边 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．B、C都不能判定两个三角形全等，只有D已知两角一边才能判定两个三角形全等， 故选D． 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据平方与开平方互为逆运算，可得答案. 详解：＝， 故选A. 点睛：本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个. 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案． 【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 5. 如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到的距离为3，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，，， ∴点P到边的距离等于3， ∴点P到的距离为3， ∵点D是边上的任意一点， ∴的最小值为3，即． 故选：D． 6. 如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作分别垂直于，垂足分别为E、F、G，连接，     ∵，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 7. 如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】垂直于的平分线于，可证，则，且，过点作与（点位置见详解），等底等高可知，由此可知，由此即可求解． 【详解】解：∵垂直于的平分线于， ∴，， 在，中， ∵， ∴， ∴，， 如图所示，过点作与， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质的计算，掌握角平分线的性质，三角形全等的证明是解题的关键． 8. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的性质可得，，，然后求出，可得，可得，判断①正确；②设、相交于点N，与相交于点O，根据可得，然后求出，判断②正确；④过点E作的延长线于P，过点G作于Q，求出，证明，可得，判断④正确；③证明出，得到，，判断③正确． 【详解】解：①在正方形和中， ，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②设与相交于点N，与相交于点O， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ④过点E作的延长线于P，过点G作于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ③∵， ∴， 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 二、填空题：（每题3分，共计30分） 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 如图，，，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 12. 若，且，则=_________； 【答案】5或者－5 【解析】 【详解】∵a2=4，b2=9， ∴a=±2，b=±3， ∵ab＜0， ∴a=2时，b=-3，a-b=2-（-3）=2+3=5， a=-2时，b=3，a-b=-2-3=-5， 所以，a-b的值为5或-5． 故答案是：5或-5． 13. 如图，，若要使，请添加一个条件______．（只需填写一个正确条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法，可添加条件：，再有条件，可利用证明． 【详解】解：可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 15. 如图，中，，，为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，由“三线合一”的知识可得所在的直线是的垂直平分线，可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由“三线合一”的知识可得所在的直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，垂直平分．若，垂足分别为点E，F，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质. 先根据线段垂直平分线的性质及得出是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出的度数，由，，可知，根据等边对等角及三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在上，若，，则的长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，过点D作于点H，证明，得，则，，在中，根据，则，，然后根据得，由此可得的长． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 18. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段最小值的问题，由轴对称的性质得出MN=AP，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点P关于直线的对称点分别是M，N， ∴垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共计96分） 19. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根是解决本题的关键． （1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）根据算术平方根的定义解决此题． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴的算术平方根为4． 20. 某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路两处劳动（如图），使P到的距离相等，且使．请找出点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【答案】 如图 【解析】 【分析】本题考查角平分线及线段垂直平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，又，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点P应是的平分线与的垂直平分线的交点．据此解答即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线；作的角平分线交的垂直平分线于点P； 21. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO， ∴△BOC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论． 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键． 22. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，求与的周长之差． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和中线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）在中根据三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，在中根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形中线的定义得出，再计算与的周长之差即可． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差为， ∵， ∴与的周长之差为9． 23. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）写出与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） 证明：∵是角平分线，于E，于F， ∴， 在和中， ∴； （2） ， 证明：∵于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证和是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，即可得到结论； （2）由于E，于F，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 【答案】（1） 证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）9 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 25. 如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM； （2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； （3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】 （1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）； （2）； （3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM， ∴， ∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动， ∴AE=2tcm，CG=tcm， ∴=2， 即， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD； （2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可． （3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【详解】解：（1）略 （2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=4-t ∴10-2t=4-t， ∴t=6（不合题意，舍去）； ②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=t-4， ∴10-2t=t-4， ∴t=， 综上：当t=时，△DFE与△DMG全等； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 26. （1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $