专题 29.3 弧长和扇形同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.3 弧长和扇形同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 学习重点 1 学习难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】弧长公式 2 【知识点二】扇形面积公式 2 【知识点三】弓形面积 2 【知识点四】圆锥的侧面积与全面积 3 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】直接用弧长公式求弧长 3 【题型2】由弧长或扇形面积反求圆心角或半径 6 【题型3】弓形面积的计算 9 【题型4】圆锥侧面积的基本计算 12 四、题型精析（综合提升） 14 【题型1】弧长与扇形面积综合（滚轮滚动、钟表、动点路径） 14 【题型2】多个扇形组合求阴影面积 17 【题型3】圆锥展开图求展开圆心角 17 【题型4】实际应用（弯形管道、烟囱帽、1海里、蒙古包） 20 五、中考链接 25 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解弧长公式 的由来，能准确代入圆心角度数n与圆半径R计算弧长，并能由弧长反求圆心角或半径。 2. 掌握扇形面积公式 ，理解两式互推关系，能根据已知条件选用合适公式求扇形面积，并能反求圆心角或半径。 3. 掌握弓形面积等于扇形面积与三角形面积的和或差，认识圆锥侧面展开图是扇形，会求圆锥侧面积与全面积，能解决弯形管道、烟囱帽、蒙古包等实际问题。 学习重点 弧长公式 ；扇形面积公式 及其互推；圆锥侧面积 与全面积 的计算。 学习难点 弓形面积中扇形与三角形何时相加、何时相减；圆锥展开扇形圆心角与底面半径r、母线l之间的转化；区分角度n、圆半径R与圆锥底面半径r、弧长l与母线l。 二.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 半径为R的圆中，360°圆心角所对的弧就是整圆，周长为2πR，因此n°圆心角所对的弧长为 。 【要点提示】公式中n是圆心角的度数，R是所在圆（扇形）的半径；已知l、n、R中的任意两个量，可代入公式求出第三个量；计算前注意各量单位统一。 ⚠️ 易错警示：n必须用角度代入，不要用弧度；弧长公式分母是180，不要与扇形面积公式的360混淆；R是圆的半径，不要与圆锥底面半径r混淆。 【知识点二】扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆心角为n°、半径为R的扇形面积为 。 把弧长 代入，可得扇形面积的另一形式 （为扇形弧长，为半径），两式可以互相推导。 【要点提示】已知圆心角n和半径R时用 ；已知弧长和半径时用 ；由 与 两式相除即得 。 ⚠️ 易错警示：中的是扇形弧长，不是圆锥母线；用角度代入；面积公式分母为、弧长公式分母为，二者不要写反。 【知识点三】弓形面积 由弦及其所对的弧围成的图形叫做弓形。弓形面积等于扇形面积与对应三角形面积的和或差：劣弧弓形（弧小于半圆）=扇形面积−三角形面积；优弧弓形（弧大于半圆）=扇形面积+三角形面积。 【要点提示】先判断所给弧是劣弧还是优弧，再决定用扇形减三角形还是扇形加三角形；其中三角形由两条半径与弦围成。 ⚠️ 易错警示：劣弧弓形用减法、优弧弓形用加法，加减方向不要颠倒；不要漏掉三角形面积，也不要把优弧弓形误作减法。 【知识点四】圆锥的侧面积与全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线l，扇形的弧长等于圆锥底面的周长2πr。 圆锥侧面积 ；全面积 ，其中为底面半径，为母线。 【要点提示】展开扇形的弧长等于底面周长2πr，是建立r与展开圆心角关系的关键；r是底面半径，l是母线，二者不要混淆。 ⚠️ 易错警示：底面半径与母线（即展开扇形半径）严格区分；，不要写成；求全面积时不要漏掉底面圆面积。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】直接用弧长公式求弧长 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 解：将，代入 ． 【变式2】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【答案】米 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度． 解：∵弧长为（米）， ∴整条龙的长是（米）． 解题归纳：直接套用弧长公式 ，代入前先确认为角度、为半径，结果保留即可。 易错纠正：把n当作弧度代入；误把分母写成360；R的单位未统一就直接计算。 【题型2】由弧长或扇形面积反求圆心角或半径 【例题2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 【变式1】（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径． 解：设扇形的半径为， 由题意得， 化简得， 解得， ， ． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【答案】 6 /度 【分析】已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可． 解：设扇形的半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积，扇形面积公式为， ∴代入得， 解得：， ∵扇形弧长公式为， ∴将，代入公式得， 两边约去后整理得：， 因此扇形半径为，圆心角度数为． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】（1）扇形圆心角的度数为；（2）花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． （1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 解题归纳：反求时先对公式变形：、、，再代入已知量计算。 易错纠正：公式变形时代数运算颠倒；把由弧长反求与由扇形面积反求的公式混用。 【题型3】弓形面积的计算 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可. （1）解：， ． （2）解：∵的半径为3，， ∴的长为. （3）解：∵的半径为3，， ． 又， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 【变式2】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的截面图是圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的截面在水下部分的面积．（即阴影部分面积） 【答案】 【分析】根据垂径定理，得到，利用勾股定理，扇形面积公式，三角形面积公式，计算即可， 本题考查了勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，熟练掌握两个定理是解题的关键． 解：∵连接，点D为弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理，得 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 解题归纳：先判断劣弧或优弧：劣弧弓形=扇形−三角形，优弧弓形=扇形+三角形，也可用整圆面积减去劣弧弓形面积。 易错纠正：加减方向颠倒；三角形面积计算错误；把优弧弓形误作扇形减三角形。 【题型4】圆锥侧面积的基本计算 【例题4】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： （1）该圆形盖子的半径为多少厘米？ （2）制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【答案】（1）该圆形盖子的半径为20厘米；（2）制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解； （2）用侧面积加上底面积即可． （1）解：圆锥的底面周长是（厘米）． 设圆锥底面圆的半径是r厘米，则， 解得． 答：该圆形盖子的半径为20厘米． （2）解：（平方厘米） 答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【变式1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：圆锥侧面积为. 【变式2】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥侧面积公式计算结果． 解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴由勾股定理可得，圆锥底面圆的半径 ， ∵圆锥侧面积公式为 ，其中是母线长， ∴代入得 ． 【变式3】（25-26六年级上·全国·单元复习）一个圆锥形帐篷的底面直径是，母线长是． （1）制作这个帐篷的侧面需要多少平方米的帆布？（π取3.14） （2）若帐篷的底面也用帆布制作，制作整个帐篷需要多少平方米的帆布？（π取3.14，结果保留一位小数） 【答案】（1）制作侧面需要37.68平方米的帆布；（2）制作整个帐篷需要65.9平方米的帆布 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式是解题的关键． （1）利用圆锥的侧面积公式计算即可； （2）利用圆锥的全面积侧面积底面积解答即可． （1）解：圆锥侧面积，底面半径，侧面积， 因此制作侧面需要平方米的帆布； （2）解：整个帐篷的帆布面积侧面积底面积， 底面积； 总面积， 答：制作整个帐篷需要65.9平方米的帆布． 解题归纳：，；已知底面周长时用 周长更方便。 易错纠正：与混淆；求全面积漏掉底面圆面积；把侧面积误写成。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】弧长与扇形面积综合 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． 【答案】这个扇形的面积为． 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求出结果． 解：设扇形的半径为, 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 扇形的面积为． 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段检测）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【答案】 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥母线长，利用圆周长公式和弧长公式即可求解． 解：设圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得． ∵扇形弧长公式为，其中圆心角，弧长为， ∴， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·吉林通化·期末）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；（2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；（3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；； 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 【题型2】多个扇形组合求阴影面积 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出，的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 解：∵等腰直角三角形中，， ∴，，， ∴， ， ． ∵， ∴两个扇形面积之和为， ∴阴影部分的面积为． 【变式1】（2026·贵州·模拟预测）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米，米，则阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积即可． 解： ． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，正方形的边，和都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积，表示出两部分空白面积是解题的关键．由图形得到，即可得到答案． 解：如图，正方形的面积， ， ②①得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，两个半径均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，半径交于点，半径交于点，求图中阴影部分的面积．    【答案】 【分析】过点作,作,垂足分别为 ,连接,则可得到四边形是正方形，再证的，即可得到图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积的和，解题即可． 解：两扇形的面积和为 如图，过点作,作,垂足分别为 ,连接,    则四边形是矩形. ∵点是的中点, ∴平分, ∴, ∴矩形是正方形. ∵, ∴ . 在与中. ∴， ∴中间空白区域面积相当于对角线是 的正方形面积， ∴空白区域的面积为， ∴ 图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积的和. 【点睛】本题考查扇形的面积求法，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，得出四边形的面积是解题的关键. 【题型3】圆锥展开图求展开圆心角 【例题3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）；（2）216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． （1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【答案】圆锥侧面展开图的圆心角为 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角． 解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面半径为6， ∴底面圆的周长为； ∵圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线长，且弧长等于底面圆周长， ∴， 解得， ∴圆锥侧面展开图的圆心角为． 【题型4】实际应用 【例题4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． （1）求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； （2）求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． （1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 【变式1】（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 【答案】 解：由图可知，蛋筒圆锥部分包装纸是一个扇形，这个扇形的半径为，扇形的弧长为， 则蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米．       （1）该“蒙古包”的示意图可以由上面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） （2）为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（取，结果精确到） （3）求这顶蒙古包的容积（取，结果精确到）． 【答案】（1）②；（2）；（3） 【分析】（1）根据蒙古包的横切面判断即可； （2）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （3）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． （1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积：， 圆锥的侧面积：， ∴． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：蒙古包的容积：， 答：这顶蒙古包的容积是. 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 2．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 5．（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 6．（2026·西藏·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 二、填空题 7．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 11．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 三、解答题 13．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】（1）；（2）；（3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 解：（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 14．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 解：（1）略 （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.3 弧长和扇形同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 学习重点 1 学习难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】弧长公式 2 【知识点二】扇形面积公式 2 【知识点三】弓形面积 2 【知识点四】圆锥的侧面积与全面积 3 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】直接用弧长公式求弧长 3 【题型2】由弧长或扇形面积反求圆心角或半径 4 【题型3】弓形面积的计算 5 【题型4】圆锥侧面积的基本计算 6 四、题型精析（综合提升） 7 【题型1】弧长与扇形面积综合（滚轮滚动、钟表、动点路径） 7 【题型2】多个扇形组合求阴影面积 7 【题型3】圆锥展开图求展开圆心角 8 【题型4】实际应用（弯形管道、烟囱帽、1海里、蒙古包） 9 五、中考链接 11 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解弧长公式 的由来，能准确代入圆心角度数n与圆半径R计算弧长，并能由弧长反求圆心角或半径。 2. 掌握扇形面积公式 ，理解两式互推关系，能根据已知条件选用合适公式求扇形面积，并能反求圆心角或半径。 3. 掌握弓形面积等于扇形面积与三角形面积的和或差，认识圆锥侧面展开图是扇形，会求圆锥侧面积与全面积，能解决弯形管道、烟囱帽、蒙古包等实际问题。 学习重点 弧长公式 ；扇形面积公式 及其互推；圆锥侧面积 与全面积 的计算。 学习难点 弓形面积中扇形与三角形何时相加、何时相减；圆锥展开扇形圆心角与底面半径r、母线l之间的转化；区分角度n、圆半径R与圆锥底面半径r、弧长l与母线l。 二.知识梳理与解读 【知识点一】弧长公式 半径为R的圆中，360°圆心角所对的弧就是整圆，周长为2πR，因此n°圆心角所对的弧长为 。 【要点提示】公式中n是圆心角的度数，R是所在圆（扇形）的半径；已知l、n、R中的任意两个量，可代入公式求出第三个量；计算前注意各量单位统一。 ⚠️ 易错警示：n必须用角度代入，不要用弧度；弧长公式分母是180，不要与扇形面积公式的360混淆；R是圆的半径，不要与圆锥底面半径r混淆。 【知识点二】扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆心角为n°、半径为R的扇形面积为 。 把弧长 代入，可得扇形面积的另一形式 （为扇形弧长，为半径），两式可以互相推导。 【要点提示】已知圆心角n和半径R时用 ；已知弧长和半径时用 ；由 与 两式相除即得 。 ⚠️ 易错警示：中的是扇形弧长，不是圆锥母线；用角度代入；面积公式分母为、弧长公式分母为，二者不要写反。 【知识点三】弓形面积 由弦及其所对的弧围成的图形叫做弓形。弓形面积等于扇形面积与对应三角形面积的和或差：劣弧弓形（弧小于半圆）=扇形面积−三角形面积；优弧弓形（弧大于半圆）=扇形面积+三角形面积。 【要点提示】先判断所给弧是劣弧还是优弧，再决定用扇形减三角形还是扇形加三角形；其中三角形由两条半径与弦围成。 ⚠️ 易错警示：劣弧弓形用减法、优弧弓形用加法，加减方向不要颠倒；不要漏掉三角形面积，也不要把优弧弓形误作减法。 【知识点四】圆锥的侧面积与全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线l，扇形的弧长等于圆锥底面的周长2πr。 圆锥侧面积 ；全面积 ，其中为底面半径，为母线。 【要点提示】展开扇形的弧长等于底面周长2πr，是建立r与展开圆心角关系的关键；r是底面半径，l是母线，二者不要混淆。 ⚠️ 易错警示：底面半径与母线（即展开扇形半径）严格区分；，不要写成；求全面积时不要漏掉底面圆面积。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】直接用弧长公式求弧长 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【变式3】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 解题归纳：直接套用弧长公式 ，代入前先确认为角度、为半径，结果保留即可。 易错纠正：把n当作弧度代入；误把分母写成360；R的单位未统一就直接计算。 【题型2】由弧长或扇形面积反求圆心角或半径 【例题2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【变式1】（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 解题归纳：反求时先对公式变形：、、，再代入已知量计算。 易错纠正：公式变形时代数运算颠倒；把由弧长反求与由扇形面积反求的公式混用。 【题型3】弓形面积的计算 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的截面图是圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的截面在水下部分的面积．（即阴影部分面积） 解题归纳：先判断劣弧或优弧：劣弧弓形=扇形−三角形，优弧弓形=扇形+三角形，也可用整圆面积减去劣弧弓形面积。 易错纠正：加减方向颠倒；三角形面积计算错误；把优弧弓形误作扇形减三角形。 【题型4】圆锥侧面积的基本计算 【例题4】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： （1）该圆形盖子的半径为多少厘米？ （2）制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【变式1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【变式3】（25-26六年级上·全国·单元复习）一个圆锥形帐篷的底面直径是，母线长是． （1）制作这个帐篷的侧面需要多少平方米的帆布？（π取3.14） （2）若帐篷的底面也用帆布制作，制作整个帐篷需要多少平方米的帆布？（π取3.14，结果保留一位小数） 解题归纳：，；已知底面周长时用 周长更方便。 易错纠正：与混淆；求全面积漏掉底面圆面积；把侧面积误写成。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】弧长与扇形面积综合 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段检测）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·吉林通化·期末）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【题型2】多个扇形组合求阴影面积 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·贵州·模拟预测）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米，米，则阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，正方形的边，和都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差为_________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，两个半径均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，半径交于点，半径交于点，求图中阴影部分的面积．    【题型3】圆锥展开图求展开圆心角 【例题3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【题型4】实际应用 【例题4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． （1）求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； （2）求裁剪后剩下废料的面积． 【变式1】（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米．       （1）该“蒙古包”的示意图可以由上面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） （2）为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（取，结果精确到） （3）求这顶蒙古包的容积（取，结果精确到）． 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·西藏·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 11．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 三、解答题 13．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 14．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $