第29章 数学活动（九） 探究四点共圆的条件-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

[答案　P42]

【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点“共圆”，简称“四点共圆”．学习了性质“圆内接四边形的对角互补”后，某学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，并尝试用反证法进行验证．

【验证猜想】已知：在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.

求证：A，B，C，D四点共圆．

证明：过点A，B，D作⊙O，假设点C不在⊙O上，则点C在⊙O外或⊙O内，如图①，若点C在⊙O外，设BC交⊙O于点C′，连接DC′，则∠DC′B>∠C.

∵四边形ABC′D是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠DC′B＝180°.

∵∠A＋∠C＝180°，∴∠DC′B＝∠C，与∠DC′B>∠C矛盾，故点C不可能在圆外．

若点C在圆内……

(1)在图②中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；

【深入探究】得出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究．

(2)如图③，在线段AB同侧有C，D两点，连接AC，BC，AD，BD.如果∠C＝∠D，那么A，B，C，D四点共圆，请完成证明(如需辅助圆，画出示意图即可)；

【结论应用】应用以上结论，解决下列问题：

(3)如图④，在四边形ABCD中，∠1＝∠4，∠2＝30°，则∠3＝30°；

(4)如图⑤，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝50°，点E在AB上，连接CE，作点B关于CE的对称点B′，连接B′C，B′E，BB′，∠B′CE＝18°，求∠B′EA的度数；

【拓展延伸】

(5)如图⑥，AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，D为平面内的一个动点，连接DA，DB，若始终有∠ADB＝60°，则当四边形ABCD的周长最大时，求DC与BD的数量关系(直接写出答案).

 

图①　　   图②　　　 　图③　　 　 　图④　　　　　　图⑤　　　　　图⑥

解：(1)如答图①，作经过点A，B，D的⊙O，若点C在⊙O内，延长BC.设BC交⊙O于点C′，连接DC′，则∠DCB>∠C′.

∵四边形ABC′D是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C′＝180°.

∵∠A＋∠DCB＝180°，∴∠C′＝∠DCB，与∠DCB>∠C′矛盾，故点C不可能在圆内．

答图①

答图②

 (2)如答图②，作经过点A，B，D的⊙O，在劣弧上取一点E(不与点A，B重合)，连接AE，BE，则∠E＋∠D＝180°.

∵∠C＝∠D，∴∠E＋∠C＝180°，∴点A，B，C，E在同一个圆上，∴点C在点A，B，D所确定的⊙O上，∴A，B，C，D四点共圆．

(4)由对称可知∠CB′E＝∠CBE，∠BCB′＝2∠B′CE＝36°.

∵∠CAB＝∠CBA＝50°，

∴∠CAB＝∠CB′E＝50°，

∴A，B′，E，C四点共圆，

∴∠B′CA＝∠B′EA.

在△ABC中，∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝80°，

∴∠ACB′＝∠ACB－∠BCB′＝80°－36°＝44°，

∴∠B′EA＝44°.

(5)如答图③，连接AC.

答图③

∵AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝∠BAC＝60°.

∵∠ADB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB，

∴A，B，C，D四点共圆，