专题 16.4 整式的乘法全章复习讲义【知识梳理+题型精析+拓广探究】- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题 16.4 整式的乘法全章复习讲义【知识梳理+题型精析+拓广探究】 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】幂的运算性质 2 【知识点二】整式的乘法运算 2 【知识点三】整式的除法运算 2 【知识点四】核心乘法公式 2 【知识点五】整式混合运算与拓展 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】幂的基础运算 3 【题型2】整式基础乘法运算 3 【题型3】整式基础除法运算 4 【题型4】乘法公式直接套用计算 4 四、题型精析（综合提升） 5 【题型5】幂的运算逆用与混合运算 5 【题型6】整式混合运算与化简求值 6 【题型7】乘法公式变形求值 6 【题型8】整式运算含参数问题（不含某项、错解还原） 7 五.拓广探究 7 【题型9】乘法公式的几何应用 8 【题型10】规律探究与材料阅读拓展 9 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 熟练掌握幂的四大基础运算性质，能够正向、逆向运用幂的运算公式完成基础计算与简单变形。 2. 精准掌握单项式、多项式的乘除运算法则，规范完成整式基础运算与混合运算。 3. 清晰识别平方差公式、完全平方公式的结构特征，熟练运用公式进行计算、简便运算与代数式变形求值。 4. 理解乘法公式的几何意义，能够解决含参数求值、化简代入、规律探究、几何代数结合等综合拓展问题。 【重难点】 重点：幂的四则运算性质、整式乘除基本运算、平方差公式与完全平方公式的基础应用。 难点：幂的运算逆向运用、乘法公式的灵活变形、整式运算中参数求解、乘法公式几何背景应用、整式综合探究问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】幂的运算性质 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加。公式可逆向运用，底数可拓展为数字、单项式、多项式，需注意底数互为相反数时的符号转换规则。 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘。严格区分与同底数幂乘法的指数运算差异，支持公式逆用变形计算。 3. 积的乘方：积中每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，运算中严禁遗漏任意一个因式。 4. 同底数幂相除：底数不变，指数相减。包含零指数幂、负整数指数幂运算，牢记底数不为0的取值限制。 易错提醒：区分指数“相加”和“相乘”运算；时刻注意运算符号；灵活运用整体思想，将多项式整体视为底数计算。 【知识点二】整式的乘法运算 1. 单项式乘单项式：系数与系数相乘，同底数幂分别对应运算，保留仅出现在单个单项式中的字母及对应指数。 2. 单项式乘多项式：依据乘法分配律，用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得结果相加，杜绝漏乘、符号错误问题。 3. 多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，展开后合并同类项，重点核对项数与运算符号。 【知识点三】整式的除法运算 1. 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，保留剩余的字母因式及对应指数。 2. 多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有运算结果相加。 【知识点四】核心乘法公式 1. 平方差公式：。结构特征：两项中一项完全相同、一项互为相反数；公式中a、b可代表数字、单项式、多项式。 2. 完全平方公式：。核心注意点：切勿遗漏2倍交叉项；掌握公式常用变形，可实现平方和、和的平方、差的平方之间的相互转化。 【知识点五】整式混合运算与拓展 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内的运算，最终结果必须合并所有同类项。 常见拓展考点：代数式整体代入求值、整式乘积不含指定项求参数、乘法公式的几何面积解读与应用。 三.题型精析（夯实基础） 本模块侧重基础法则、公式的直接应用，聚焦基础计算，纠正符号、指数、漏项等高频易错点，夯实运算功底。 【题型1】幂的基础运算 核心考点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方单一运算；幂的运算式子正误判断；基础直接计算题。 【例题1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）计算： （1）； （2）； 【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·北京·开学考试）计算 ______； ______． 【变式3】（2026八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为正整数）． 【题型2】整式基础乘法运算 核心考点：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的基础展开与计算。 【例题2】（25-26七年级下·北京房山·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算： （1）； （2）． 【题型3】整式基础除法运算 核心考点：同底数幂除法计算；零指数幂、负整数指数幂简单运算；单项式、多项式除以单项式的基础运算。 【例题3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4】乘法公式直接套用计算 核心考点：识别平方差、完全平方公式结构；直接套用公式计算；利用公式进行基础简便运算。 【例题4】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）用乘法公式进行简便运算： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）下列各式能用乘法公式进行计算的是________（填序号）． ① ② ③ ④ 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：， 其中． 解：原式＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 当时，原式＝…第五步 任务： （1）以上解题过程中，第一步需要依据 和 乘法公式进行运算（用字母表示）； （2）以上步骤第 　 　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　 ； （3）请写出正确的解答过程． 四、题型精析（综合提升） 本模块聚焦知识点交叉综合应用，侧重公式变形、化简求值、参数求解，提升综合解题能力。 【题型5】幂的运算逆用与混合运算 核心考点：幂的运算公式逆向求值；多种幂的运算法则混合计算；底数互为相反数的幂的符号转换；整体代换法求幂的值。 【例题5】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果， 求的值； （2）已知， ，用含， 的式子表示． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，则的值为________． 【变式3】（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）． 【题型6】整式混合运算与化简求值 核心考点：整式乘方、乘除、加减混合运算；整式先化简后代入求值；整体代入求值（无需单独求解字母数值）。 【例题6】（25-26七年级下·江西抚州·期末）化简求值：，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）若，则____________． 【变式3】（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）先化简，再求值：，其中x与y满足． 【题型7】乘法公式变形求值 核心考点：完全平方公式多类变形应用；已知两数和、差、积，求解平方和、差平方等代数式的值；平方差公式复杂变形计算。 【例题7】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·自主招生）已知，且，则的值为___________． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期中）利用完全平方公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【题型8】整式运算含参数问题（不含某项、错解还原） 核心考点：整式乘积展开合并后，根据“不含指定项”令对应系数为0，求解参数；针对抄错符号、抄错式子的错题，利用已知结果还原正确式子与答案。 【例题8】（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， （1）求与的值； （2）化简，并求值． 【变式1】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【变式3】（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 五.拓广探究 本模块为压轴拓展题型，结合几何图形、规律探究、新定义阅读，侧重逻辑思维与综合应用能力考查。 【题型9】乘法公式的几何应用 核心考点：利用图形割补、面积推导平方差、完全平方公式；根据几何面积等式求解代数式的值；代数恒等式与几何图形面积的相互转化。 【例题9】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． （2）若，，求的值； （3）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）将边长分别为，的两个正方形，如图放置，再构造出如图①和图②所示的长方形与正方形，设图①和图②中阴影部分的面积分别为，．若，则，之间的等量关系是________． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． （1）根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 （2）若实数x，y满足，且，求的值； （3）若， ，求的值； （4）若，，求的值． 【题型10】规律探究与材料阅读拓展 核心考点：基于整式乘法的式子、数字规律归纳总结；新定义运算、阅读理解类题型；多次套用平方差公式的复杂运算；整式恒等式综合推理与拓展应用。 【例题10】（25-26六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： （1）若满足，则的值为 ； （2）若，求的值； 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 （n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 （n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25七年级下·山东·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了． （1）图②是将一个长、宽的长方形，沿图中虚线平分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用含m、n的代数式表示） （2）请你观察图形③，根据图中面积关系，写出一个关于m，n的等式_______． （3）解决问题：若已知，，求的值． （4）拓展探究：小明用8个一样大的长方形（长，宽）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是的正方形小洞．则的值为_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 16.4 整式的乘法全章复习讲义【知识梳理+题型精析+拓广探究】 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】幂的运算性质 2 【知识点二】整式的乘法运算 2 【知识点三】整式的除法运算 2 【知识点四】核心乘法公式 2 【知识点五】整式混合运算与拓展 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】幂的基础运算 3 【题型2】整式基础乘法运算 5 【题型3】整式基础除法运算 7 【题型4】乘法公式直接套用计算 8 四、题型精析（综合提升） 12 【题型5】幂的运算逆用与混合运算 12 【题型6】整式混合运算与化简求值 14 【题型7】乘法公式变形求值 16 【题型8】整式运算含参数问题（不含某项、错解还原） 18 五.拓广探究 20 【题型9】乘法公式的几何应用 20 【题型10】规律探究与材料阅读拓展 24 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 熟练掌握幂的四大基础运算性质，能够正向、逆向运用幂的运算公式完成基础计算与简单变形。 2. 精准掌握单项式、多项式的乘除运算法则，规范完成整式基础运算与混合运算。 3. 清晰识别平方差公式、完全平方公式的结构特征，熟练运用公式进行计算、简便运算与代数式变形求值。 4. 理解乘法公式的几何意义，能够解决含参数求值、化简代入、规律探究、几何代数结合等综合拓展问题。 【重难点】 重点：幂的四则运算性质、整式乘除基本运算、平方差公式与完全平方公式的基础应用。 难点：幂的运算逆向运用、乘法公式的灵活变形、整式运算中参数求解、乘法公式几何背景应用、整式综合探究问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】幂的运算性质 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加。公式可逆向运用，底数可拓展为数字、单项式、多项式，需注意底数互为相反数时的符号转换规则。 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘。严格区分与同底数幂乘法的指数运算差异，支持公式逆用变形计算。 3. 积的乘方：积中每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，运算中严禁遗漏任意一个因式。 4. 同底数幂相除：底数不变，指数相减。包含零指数幂、负整数指数幂运算，牢记底数不为0的取值限制。 易错提醒：区分指数“相加”和“相乘”运算；时刻注意运算符号；灵活运用整体思想，将多项式整体视为底数计算。 【知识点二】整式的乘法运算 1. 单项式乘单项式：系数与系数相乘，同底数幂分别对应运算，保留仅出现在单个单项式中的字母及对应指数。 2. 单项式乘多项式：依据乘法分配律，用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得结果相加，杜绝漏乘、符号错误问题。 3. 多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，展开后合并同类项，重点核对项数与运算符号。 【知识点三】整式的除法运算 1. 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，保留剩余的字母因式及对应指数。 2. 多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有运算结果相加。 【知识点四】核心乘法公式 1. 平方差公式：。结构特征：两项中一项完全相同、一项互为相反数；公式中a、b可代表数字、单项式、多项式。 2. 完全平方公式：。核心注意点：切勿遗漏2倍交叉项；掌握公式常用变形，可实现平方和、和的平方、差的平方之间的相互转化。 【知识点五】整式混合运算与拓展 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内的运算，最终结果必须合并所有同类项。 常见拓展考点：代数式整体代入求值、整式乘积不含指定项求参数、乘法公式的几何面积解读与应用。 三.题型精析（夯实基础） 本模块侧重基础法则、公式的直接应用，聚焦基础计算，纠正符号、指数、漏项等高频易错点，夯实运算功底。 【题型1】幂的基础运算 核心考点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方单一运算；幂的运算式子正误判断；基础直接计算题。 【例题1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，本选项运算错误，不符合题意； D.，本选项运算正确，符合题意． 【变式2】（26-27八年级上·北京·开学考试）计算 ______； ______． 【答案】 解：； ． 【变式3】（2026八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为正整数）． 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 解：（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． 【题型2】整式基础乘法运算 核心考点：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的基础展开与计算。 【例题2】（25-26七年级下·北京房山·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘、除法，幂的乘方，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据整式的乘除法、幂的乘方的运算法则计算即可． 解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________． 【答案】 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方，进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【题型3】整式基础除法运算 核心考点：同底数幂除法计算；零指数幂、负整数指数幂简单运算；单项式、多项式除以单项式的基础运算。 【例题3】（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则与单项式除法运算法则逐一计算判断即可. 解：对于选项A，根据积的乘方法则，得，∴A错误； 对于选项B，根据单项式除法法则，得，∴B错误； 对于选项C，根据同底数幂乘法法则，得，运算正确，∴C正确； 对于选项D，根据幂的乘方法则，得，∴D错误. 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 解：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： （2） （3） （4） 【题型4】乘法公式直接套用计算 核心考点：识别平方差、完全平方公式结构；直接套用公式计算；利用公式进行基础简便运算。 【例题4】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）用乘法公式进行简便运算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）9996；（2）1006009；（3）4047；（4）1 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算： （1）利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式计算； （3）利用平方差公式计算； （4）利用完全平方公式计算． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是两个相同因式相乘，平方差公式要求两个因式一项相同，另一项互为相反数，据此逐一判断选项即可． 解：A选项：，符合完全平方公式的形式，可以用乘法公式计算，故此选项不符合题意； B选项：，符合平方差公式形式，可以用乘法公式计算，故此选项不符合题意； C选项：，符合完全平方公式的形式，可以用乘法公式计算，故此选项不符合题意； D选项：，两个因式中既没有完全相同的整体，也不存在一项相同另一项互为相反数的结构，不能用乘法公式计算，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）下列各式能用乘法公式进行计算的是________（填序号）． ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的特征对各式进行判断，即可作答． 解： ① ； 故①能用平方差公式进行计算，符合题意； ② ； 故②不能用乘法公式进行计算，不符合题意； ③ ， 故③能用完全平方公式进行计算，符合题意； ④ ． 故④能用平方差公式进行计算； ∴能用乘法公式进行计算的是①③④， 故答案为：①③④ 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：， 其中． 解：原式＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 当时，原式＝…第五步 任务： （1）以上解题过程中，第一步需要依据 和 乘法公式进行运算（用字母表示）； （2）以上步骤第 　 　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　 ； （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1），；（2）一，完全平方公式中间项没有2倍（表达正确就可得分）；（3）原式＝ ＝ ＝ ＝ 当时，原式＝． 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）根据乘法公式的含义可得答案； （2）由完全平方公式的结构特点可得计算错误的原因； （3）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算整式的除法运算即可． （1）解：第一步需要依据和乘法公式进行运算； （2）以上步骤第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是：完全平方公式中间项没有2倍 （3）略 四、题型精析（综合提升） 本模块聚焦知识点交叉综合应用，侧重公式变形、化简求值、参数求解，提升综合解题能力。 【题型5】幂的运算逆用与混合运算 核心考点：幂的运算公式逆向求值；多种幂的运算法则混合计算；底数互为相反数的幂的符号转换；整体代换法求幂的值。 【例题5】（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果， 求的值； （2）已知， ，用含， 的式子表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将等式左侧的幂统一为以3为底的同底数幂，合并后根据题给结论列方程求解x； （2）将拆分为5和6的乘方之积，利用幂的乘方逆运算变形后代入m、n的表达式. （1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； （2）解： ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴. 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的数值关系，结合幂的运算规则推导指数间的等式． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 解：． ∵， ∴， ∴原式． 【变式3】（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题考查积的乘方、幂的乘方运算，根据幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，利用负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算后合并同类项即可． （2）本题考查幂运算的简便运算（逆用积的乘方公式），利用互为倒数的两个数乘积为，的任意整数次幂都等于，简化计算从而得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 【题型6】整式混合运算与化简求值 核心考点：整式乘方、乘除、加减混合运算；整式先化简后代入求值；整体代入求值（无需单独求解字母数值）。 【例题6】（25-26七年级下·江西抚州·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 解：原式 ； 当，时 原式． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意列式为，计算后根据题意得到关于的方程，解方程即可． 解： ， 项的系数是6， ， 解得：， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）若，则____________． 【答案】 【分析】将等式左边展开后，利用多项式相等则同类项系数相等，先求出和的值，再计算． 解：， ，，， ，， 则． 【变式3】（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】， 【分析】先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性可得，的值，代入计算即可． 解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 【题型7】乘法公式变形求值 核心考点：完全平方公式多类变形应用；已知两数和、差、积，求解平方和、差平方等代数式的值；平方差公式复杂变形计算。 【例题7】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 【答案】（1）22；（2） 【分析】（1）根据进行计算即可； （2）根据进行计算即可． （1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·自主招生）已知，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式，求代数式的值等．由得，代入，利用平方的非负性求出，，再计算即可求解． 解：∵ ， ∴， 将代入，得， 整理得， 即； ∴，， 解得， 将代入，得； ∴． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期中）利用完全平方公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，利用完全平方公式变形求解． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）设，，利用完全平方公式变形求解即可． （1）解：∵，， ∴． （2）解：设，， 则，， ∴． 【题型8】整式运算含参数问题（不含某项、错解还原） 核心考点：整式乘积展开合并后，根据“不含指定项”令对应系数为0，求解参数；针对抄错符号、抄错式子的错题，利用已知结果还原正确式子与答案。 【例题8】（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， （1）求与的值； （2）化简，并求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． （1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【变式1】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 【变式3】（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 五.拓广探究 本模块为压轴拓展题型，结合几何图形、规律探究、新定义阅读，侧重逻辑思维与综合应用能力考查。 【题型9】乘法公式的几何应用 核心考点：利用图形割补、面积推导平方差、完全平方公式；根据几何面积等式求解代数式的值；代数恒等式与几何图形面积的相互转化。 【例题9】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． （2）若，，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）B；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． （1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． （2）解：∵ ∴当，时， 解得：． （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 根据题意，面积之差为117，即，结合，即，DG的长度恰为，根据平方差公式即可求出的值． 解：∵两正方形面积之差为117， ∴， ∵， ∴， ∵，将上述数值代入计算， 解出， 则的长度为， 故选C． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）将边长分别为，的两个正方形，如图放置，再构造出如图①和图②所示的长方形与正方形，设图①和图②中阴影部分的面积分别为，．若，则，之间的等量关系是________． 【答案】 【分析】图①中阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图②中阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式3】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． （1）根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 （2）若实数x，y满足，且，求的值； （3）若， ，求的值； （4）若，，求的值． 【答案】（1）①;②；（2）49；（3）61；（4）19 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． （1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ 【题型10】规律探究与材料阅读拓展 核心考点：基于整式乘法的式子、数字规律归纳总结；新定义运算、阅读理解类题型；多次套用平方差公式的复杂运算；整式恒等式综合推理与拓展应用。 【例题10】（25-26六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： （1）若满足，则的值为 ； （2）若，求的值； 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）仿照文中给出的解题方法，解答即可； （2）设，则， 变形得，变形计算即可； （3）根据题意，得正方形边长为，且，，故，，令，，则，仿照前面的方法变形计算即可． （1）解：设，， 则，． ． （2）解：设，则， 变形得， 故； （3）解：正方形边长为，且，， ，， 令，， 则， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 （n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 （n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，归纳出一般规律：因为等式左边是与一个多项式相乘，右边是，所以可总结出的规律．分析待求式子的结构，待求式是正负交替的幂次和，可将其转化为符合上述规律的形式；将替换为，利用类似的规律进行转化．利用归纳出的规律，将待求式与规律式子对应，通过变形构造出可以直接套用规律的形式，进而求解． 解：根据题干给出的式子，归纳得到通用规律： ， 设， 观察符号规律，可将改写为：， 将，代入规律公式： ， 化简计算： ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了． （1）图②是将一个长、宽的长方形，沿图中虚线平分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用含m、n的代数式表示） （2）请你观察图形③，根据图中面积关系，写出一个关于m，n的等式_______． （3）解决问题：若已知，，求的值． （4）拓展探究：小明用8个一样大的长方形（长，宽）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是的正方形小洞．则的值为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用及代数式变形与求值． （1）先观察图形②到图形③的拼接过程，图形②是长、宽的长方形，沿虚线分成4个小长方形，拼成图形③的大正方形后，大正方形的边长是，阴影部分是中间的小正方形，其边长等于大正方形边长减去两个小长方形的宽，随即表示出阴影部分的正方形的边长； （2）可先通过整体减部分和直接求小正方形面积两种思路求出小正方形面积，由于两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，所以面积相等，两个表达式也相等； （3）根据已知条件先求出，再展开代入得到，进而求出的值，最后将其开方即可得出答案； （4）先对式子进行变形，再结合图形的边长关系进行分析得出中间小正方形的边长为，而小正方形的边长恰好为，因此可得出其面积． （1）解：由图形③可知，阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 而小正方形的边长为，其面积为， 此时， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴的值为． （4）解：∵， ∴的值为， 故答案为：． 2 / 30 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