专题 14.4 全等三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形全章复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖全等三角形概念性质、判定定理、角平分线性质及四大辅助线模型，用对比表格区分通用与直角三角形判定，图示辅助线作法，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础概念辨析到倍长中线、截长补短压轴题，结合实例培养推理能力与几何直观。同步检测覆盖选择填空解答，适配不同学生，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题 14.4 全等三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】全等三角形的概念与性质 1 【知识点二】三角形全等的判定定理 2 【知识点三】角平分线的性质与判定 2 【知识点四】本章必考几何辅助线模型（复习拓展） 3 二.题型精析 4 【题型 1】基础概念题：全等对应元素辨析（入门） 4 【题型 2】判定定理辨析题（选择填空高频） 7 【题型 3】基础全等证明（SAS/ASA/AAS 中档基础） 10 【题型 4】角平分线性质应用题（中档必考） 13 【题型 5】直角三角形HL全等证明（中档重点） 17 【题型 6】倍长中线模型压轴题（期末高频） 20 【题型 7】截长补短线段和差证明（期末压轴） 27 三.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 48 一.知识梳理与解读 【知识点一】全等三角形的概念与性质 1. 全等形与全等三角形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 书写规范：表示三角形全等时，必须将对应顶点写在对应位置，例：，不可随意调换顶点顺序。 2. 全等三角形核心性质 ① 基本性质：全等三角形对应边相等、对应角相等； ② 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等、面积相等。 3. 高频易错警示 周长相等、面积相等的两个三角形，不一定全等；形状相同的三角形也不一定全等，必须同时满足形状、大小完全一致。 【知识点二】三角形全等的判定定理 1. 任意三角形通用判定（4种） SSS（边边边）：三条边对应相等的两个三角形全等； SAS（边角边）：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（核心：必须是夹角，非任意角）； ASA（角边角）：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 2. 直角三角形专属判定 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，仅适用于Rt△。 3. 绝对错误判定（高频陷阱） AAA（三角对应相等）：只能证明三角形相似，无法判定全等； SSA（两边及其中一边对角相等）：无法固定三角形形状，不能判定全等。 4. 解题隐含全等条件（必考） 公共边相等、公共角相等、对顶角相等；平行线推出内错角、同位角相等；垂直定义推出90°直角相等。 【知识点三】角平分线的性质与判定 1. 角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 图1 几何语言：如图1.若OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 2. 角平分线的判定定理 文字表述：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：如图1.若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则OP平分∠AOB。 3. 核心易错点 使用角平分线性质与判定，必须满足垂直条件，无垂线段则无法直接套用结论。 【知识点四】本章必考几何辅助线模型（复习拓展） 全等三角形压轴题核心突破口为辅助线构造，本章四大必考模型全覆盖期末考点，含图形特征、辅助线作法、核心用途，搭配标准图示说明： 模型1：倍长中线模型 适用场景：题干出现三角形中点、中线、线段平分条件。 辅助线作法：延长中线，使延长线段与原中线长度相等，连接端点构造全等三角形。 核心作用：构造SAS旋转全等，转移线段、转移角度，解决线段不等关系、线段求值问题。 模型2：角平分线垂线模型 适用场景：题干含角平分线，需证明线段相等、距离相等、面积转换。 辅助线作法：过角平分线上任意一点，向角的两条边分别作垂线段。 核心作用：利用角平分线性质得垂线段相等，快速构造HL/AAS全等，简化证明步骤。 模型3：截长补短模型 适用场景：题干求证线段和差关系（AB+BC=AC类题型）。 辅助线作法：①截长法：在长线段上截取一段等于短线段；②补短法：延长短线段补至与长线段齐平。 核心作用：将复杂的线段和差证明，转化为基础的线段相等全等证明。 模型4：一线三垂直（K型）模型 适用场景：图形含多个直角、垂直关系，直角三角形边角证明难题。 辅助线作法：在水平直线上构造三个垂直端点，形成K型直角结构。 核心作用：利用同角的余角相等，补齐全等角条件，证AAS/SAS全等。 图示说明：三点共线且三处垂直，形成标准K型结构，是直角三角形全等压轴高频模型。 二.题型精析 【题型 1】基础概念题：全等对应元素辨析（入门） 【例题1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 解：（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】（1）；（2）或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. （1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 解题要点：严格根据对应顶点确定对应角，杜绝随意匹配。 【题型 2】判定定理辨析题（选择填空高频） 【例题2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． （1）添加2个条件：__________（填序号），使得； （2）说明（1）中结论成立的理由． 【答案】（1）①③或③④；（2）解：添加2个条件：①③，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴； 添加2个条件：③④，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可； （2）添加①③利用证明；添加③④利用证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）①②③（答案不唯一）（3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． （1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）略 【题型 3】基础全等证明（SAS/ASA/AAS 中档基础） 【例题3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 【答案】的周长为32 【分析】根据平行线以及角平分线得出相等的角，根据等角对等边得出，证明得出，最后利用线段的和差进行求解． 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，   ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的周长为． 【题型 4】角平分线性质应用题（中档必考） 【例题4】（2024·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，则的长 ． 【答案】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ； （2）2 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据可证； （2）由题意可证：，可得，由，可得的长． 解：（1）略； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【答案】33 【分析】过点作于点，作于点，连接，先得出，，再得出，然后根据的面积等于求解即可． 解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，，， ∴，， ∵的周长是22， ∴， ∴的面积等于 ． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）略；（2）略 【分析】（1）利用即可证； （2）由（1）知平分，利用角平分线的性质定理可得． 解：（1）证明：点、在的平分线上， 平分， ． 在和中， ，，， ． （全等三角形对应角相等）． （2）证明：由（1）知，，即平分， 点在的平分线上， 又，， ． 【题型 5】直角三角形HL全等证明（中档重点） 【例题5】（24-25八年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【分析】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【答案】7 【分析】证明，得出，，即可得解． 解：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， （2）证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； （3）4 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ∴， ． 【题型 6】倍长中线模型压轴题（期末高频） 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 解：（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【答案】（1），10，；（2）（i）证明见分析，（ii） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）结合，代入数据，即可求解； （2）（i）根据等角的余角相等，即可得证； （ii）延长至点，使，连接，．证明，即可推出三点共线，根据三角形的面积公式，求得，设点到的距离为，根据等面积法，即可求解． 解：（1）是的中线， 在和中， 在中，， ∴ 的取值范围是． 故答案为： ，10，． （2）（i） ， 平分． （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为， 则， ，即点到的距离为． 【题型 7】截长补短线段和差证明（期末压轴） 【例题7】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． （2） 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 【变式2】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段上截取，连接，利用截长补短构建全等三角形是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】（1），见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 解：（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 2．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，，， ∴． 3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 解： RtRt，， ， ， ， ， 故选：A． 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 9．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 解：， ． 12．（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在和中，，，当添加条件_____时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【答案】或或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定．要证明两个三角形全等，需要根据全等三角形的判定条件（如、等）添加一个合适的条件．题目已给出一边和一个角，可以考虑用、、判定． 解：添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 故答案为：或或． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角形全等是解题的关键． 通过已知条件利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后通过线段的和差关系得到结论． 解：∵于点，于点， ∴， ∵，两所学校到报亭的距离相等， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造，然后得到，，再根据等角对等边得到是解题的关键． 解：延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角（）”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点拨】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先得出，又平分，，则有，然后通过线段的和与差得到即可． 解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东青岛·期末）解答： （1）如图，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接，，线段与有什么关系？并说明理由． （2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，需测量池塘两岸相对的，两点间的距离．其中已测得，，请在图中进行设计，画出图形，并描述你的方案，不需证明． 【答案】（1）解：，， 理由：正方形和正方形， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设与相交于O，与相交于M， ∵，， ∴， 综上，，； （2）解：以为边向外作等腰直角三角形（，），连接，由（1）同理可证，则测量的长度即可得出池塘两岸相对的，两点间的距离． 如图， 【分析】（1）证明即可得到，，设与相交于O，与相交于M，根据三角形外角的性质可得出，则可得出； （2）以为边向外作等腰直角三角形，然后利用（1）的结论求解即可． 解：（1）略 （2）略 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． （1）若，则点到的距离是________； （2）如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； （3）如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】（1）4；（2）理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； （3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． （1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． （1）_____． （2）求证：； （3）求证：是等腰直角三角形； （4）若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【答案】（1）；（2）证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴． （3）证明：由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （4） 【分析】（1）根据平角的定义即可得出答案； （2）利用角的和差关系得出，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，根据，利用角的和差关系得出，即可证明是等腰直角三角形； （4）根据全等三角形的性质得出，结合（3）中结论，利用三角形面积公式即可得出答案． （1）解：∵点在的延长线上， ∴． （2）证明：略 （3）证明：略 （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.4 全等三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】全等三角形的概念与性质 1 【知识点二】三角形全等的判定定理 2 【知识点三】角平分线的性质与判定 2 【知识点四】本章必考几何辅助线模型（复习拓展） 3 二.题型精析 4 【题型 1】基础概念题：全等对应元素辨析（入门） 4 【题型 2】判定定理辨析题（选择填空高频） 5 【题型 3】基础全等证明（SAS/ASA/AAS 中档基础） 6 【题型 4】角平分线性质应用题（中档必考） 7 【题型 5】直角三角形HL全等证明（中档重点） 8 【题型 6】倍长中线模型压轴题（期末高频） 9 【题型 7】截长补短线段和差证明（期末压轴） 12 三.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.知识梳理与解读 【知识点一】全等三角形的概念与性质 1. 全等形与全等三角形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 书写规范：表示三角形全等时，必须将对应顶点写在对应位置，例：，不可随意调换顶点顺序。 2. 全等三角形核心性质 ① 基本性质：全等三角形对应边相等、对应角相等； ② 拓展性质：全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等、面积相等。 3. 高频易错警示 周长相等、面积相等的两个三角形，不一定全等；形状相同的三角形也不一定全等，必须同时满足形状、大小完全一致。 【知识点二】三角形全等的判定定理 1. 任意三角形通用判定（4种） SSS（边边边）：三条边对应相等的两个三角形全等； SAS（边角边）：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（核心：必须是夹角，非任意角）； ASA（角边角）：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 2. 直角三角形专属判定 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，仅适用于Rt△。 3. 绝对错误判定（高频陷阱） AAA（三角对应相等）：只能证明三角形相似，无法判定全等； SSA（两边及其中一边对角相等）：无法固定三角形形状，不能判定全等。 4. 解题隐含全等条件（必考） 公共边相等、公共角相等、对顶角相等；平行线推出内错角、同位角相等；垂直定义推出90°直角相等。 【知识点三】角平分线的性质与判定 1. 角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 图1 几何语言：如图1.若OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 2. 角平分线的判定定理 文字表述：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：如图1.若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则OP平分∠AOB。 3. 核心易错点 使用角平分线性质与判定，必须满足垂直条件，无垂线段则无法直接套用结论。 【知识点四】本章必考几何辅助线模型（复习拓展） 全等三角形压轴题核心突破口为辅助线构造，本章四大必考模型全覆盖期末考点，含图形特征、辅助线作法、核心用途，搭配标准图示说明： 模型1：倍长中线模型 适用场景：题干出现三角形中点、中线、线段平分条件。 辅助线作法：延长中线，使延长线段与原中线长度相等，连接端点构造全等三角形。 核心作用：构造SAS旋转全等，转移线段、转移角度，解决线段不等关系、线段求值问题。 模型2：角平分线垂线模型 适用场景：题干含角平分线，需证明线段相等、距离相等、面积转换。 辅助线作法：过角平分线上任意一点，向角的两条边分别作垂线段。 核心作用：利用角平分线性质得垂线段相等，快速构造HL/AAS全等，简化证明步骤。 模型3：截长补短模型 适用场景：题干求证线段和差关系（AB+BC=AC类题型）。 辅助线作法：①截长法：在长线段上截取一段等于短线段；②补短法：延长短线段补至与长线段齐平。 核心作用：将复杂的线段和差证明，转化为基础的线段相等全等证明。 模型4：一线三垂直（K型）模型 适用场景：图形含多个直角、垂直关系，直角三角形边角证明难题。 辅助线作法：在水平直线上构造三个垂直端点，形成K型直角结构。 核心作用：利用同角的余角相等，补齐全等角条件，证AAS/SAS全等。 图示说明：三点共线且三处垂直，形成标准K型结构，是直角三角形全等压轴高频模型。 二.题型精析 【题型 1】基础概念题：全等对应元素辨析（入门） 【例题1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． （1）试说明：．（2）若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示的长度：______； （2）若与全等（其中与为对应角），求a的值． 解题要点：严格根据对应顶点确定对应角，杜绝随意匹配。 【题型 2】判定定理辨析题（选择填空高频） 【例题2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． （1）添加2个条件：__________（填序号），使得； （2）说明（1）中结论成立的理由． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【题型 3】基础全等证明（SAS/ASA/AAS 中档基础） 【例题3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【变式3】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 【题型 4】角平分线性质应用题（中档必考） 【例题4】（2024·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，则的长 ． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： （1）； （2）． 【题型 5】直角三角形HL全等证明（中档重点） 【例题5】（24-25八年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【题型 6】倍长中线模型压轴题（期末高频） 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【题型 7】截长补短线段和差证明（期末压轴） 【例题7】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 12．（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在和中，，，当添加条件_____时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    15．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东青岛·期末）解答： （1）如图，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接，，线段与有什么关系？并说明理由． （2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，需测量池塘两岸相对的，两点间的距离．其中已测得，，请在图中进行设计，画出图形，并描述你的方案，不需证明． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． （1）若，则点到的距离是________； （2）如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； （3）如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． （1）_____． （2）求证：； （3）求证：是等腰直角三角形； （4）若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $