17.1　用提公因式法分解因式 (第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章　因式分解 17.1　用提公因式法分解因式 【教学目标】 1．能说清楚什么叫做因式分解，能拆开“多项式→几个整式的积”和“几个整式的积→多项式”这一来一回的两种变形；给出一组式子，能判断其中哪一个属于因式分解、哪一个不属于，并说出判断的理由。 2．能从系数、字母、指数三个方面把公因式一步步定下来。碰到各项系数不互质、同一个字母的指数参差不齐的式子，也能按顺序判定，不靠第一眼的感觉去猜。 3．能把一个多项式的公因式提出来、化成几个整式相乘的形式；做完能自觉回头检查两件事——提干净了没有、项数漏了没有；遇到首项系数为负的多项式，知道先把负号提出来，并让括号里每一项都跟着变号。 【重点难点】 重点：会确定公因式，能熟练地用提公因式法完成因式分解。 难点：公因式的确定，尤其是各项系数有公约数、同一字母的指数又不一致的时候；还有就是提完公因式以后括号里“剩下的那一项”怎么写——当某一项恰好等于公因式时，剩下的是1，这一步学生最容易整项漏掉。 【教学过程】 一、创设情境，导入新课 [师]上课先来做两个小热身。15能拆成哪两个数相乘？42呢？ [生]15＝3×5；42＝2×3×7。 [师]就是这件不起眼的小事。上学期学分数的约分和通分，我们没少把一个数拆成几个因数相乘，拆开了才好约、才好通。把一个数拆成几个因数相乘，大家从小学起就一直在干。 [师]现在把方向调过来看。整式的乘法刚学完，我们知道(x＋1)(x－1)这样几个整式相乘，乘出来是一个多项式x²－1，走的是“积变多项式”这条路。反过来呢——黑板上摆着多项式x²－1，谁能把它还原成几个整式相乘的样子？ [生]我想到了x²－1＝(x＋1)(x－1)，我是把刚才那条乘式倒着一项一项凑回来的。 [师]这个“倒着凑”的感觉抓得很准。把一个多项式化成几个整式的积，正是我们这一章要专门琢磨的事。今天先学其中用得最多的一招——提公因式法。（板书课题：17.1　用提公因式法分解因式） 二、探究归纳 活动一：先正着算，再倒着写 1．问题：先算，再换个方向写。 (1)计算：x(x＋1)＝＿＿＿＿；(x＋1)(x－1)＝＿＿＿＿。 (2)把下列各式写成几个整式相乘的形式：①x²＋x＝＿＿＿＿；②x²－1＝＿＿＿＿；③am＋bm＋cm＝＿＿＿＿。 学生独立动笔，教师行间巡视。正着算的两小题多数人做得很快，卡住的是(2)。提醒一句：“回头看看(1)里你刚算出来的结果，能不能反过来用一用。”很快有学生反应过来。 订正：(1)x(x＋1)＝x²＋x，(x＋1)(x－1)＝x²－1。(2)①x²＋x＝x(x＋1)；②x²－1＝(x＋1)(x－1)；③am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)。 2．[师]把上面这几行记住：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 3．小组讨论：因式分解与整式乘法到底是什么关系？ 点拨：一个方向是“几个整式的积→一个多项式”，另一个方向是“一个多项式→几个整式的积”，两条路恰好倒着走，是同一种变形的一来一回。同桌两人互相说一遍这句话，落到笔头就是括号里的一句话。 活动二：把“公共的那一部分”揪出来 1．问题：填空：(1)6与9的最大公约数是＿＿＿＿；(2)多项式ma＋mb＋mc的公因式是＿＿＿＿。 学生答得很快：3和m。追问一句“凭什么说m是公因式”，让学生指出来：ma、mb、mc三项里头都含着m。 2．公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 3．小组讨论：怎样才能又快又不出错地把公因式找出来？同桌各说一遍，再全班归拢，落到三条上： (1)系数：取所有系数的最大公约数； (2)字母：取各项都含有的相同字母； (3)指数：相同字母取最低次数。 [师追问]第三条为什么取“最低”？举反例说：4a²与6a，如果公因式里带上a²，那么6a÷a²就除不尽，提出来反倒添乱。所以矮的将就高的，取最低次。 活动三：学会提公因式法 1．把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式相乘的形式：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)。这里的m就是各项的公因式，括号里的a＋b＋c是把原多项式除以m得到的商。 2．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提取公因式法。 3．分解因式：(1)8a³b²＋12ab³c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)。 学生独立完成，请两名学生上台板演。 (1)8a³b²＋12ab³c＝4ab²·2a²＋4ab²·3bc＝4ab²(2a²＋3bc)。 (2)2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)。 [师追问]第(2)小题的公因式是谁？——是(b＋c)这个整体。以后再看见括号，不妨先把整个括号当成一个字母看，顺眼很多。 小组讨论：用这种方法分解，最容易卡在哪一步？括号里那个因式又是怎么冒出来的？ 点拨：关键是把公因式找准；括号里放的就是原式除以公因式得到的商，要一项一项地除，一项都不能落下。 活动四：例题示范 例1　把下列各式分解因式： (1)7x²－21x；(2)8a³b²－12ab³c＋ab；(3)－24x³＋12x²－28x；(4)6(x－2)＋x(2－x)。 分析：四个小题走的是同一条路——先把公因式定下来，再一项一项往外提。第(4)小题下手之前得先做个小动作：2－x与x－2长得像却不相等，把x(2－x)改写成－x(x－2)，两项就都有x－2了。 解析：(1)原式＝7x·x－7x·3＝7x(x－3)。 (2)原式＝ab·8a²b－ab·12b²c＋ab·1＝ab(8a²b－12b²c＋1)。 (3)原式＝－4x·6x²＋(－4x)·(－3x)－4x·7＝－4x(6x²－3x＋7)。 (4)原式＝6(x－2)－x(x－2)＝(x－2)(6－x)。 [师追问]第(2)小题末尾那个“1”能不能省掉？——不能。ab这一项本身就是公因式，提出来以后剩下的是1，省掉就等于少写了一项。不信现场乘回去验一验：ab(8a²b－12b²c＋1)乘开，看看是不是又回到原式。 [师追问]第(3)小题为什么先提－4x，不先提4x？——首项系数是负的，先把负号提出来，括号里第一项就变成正的，看着清爽，也不容易在变号上翻车。提负号有一条铁律：括号里每一项都要变号，落一项都不行。 小结提炼： 1．确定公因式的三条：系数取所有系数的最大公约数；字母取每一项都含有的相同字母；相同字母取最低次数。 2．提公因式法分解因式，按三步走：(1)先把公因式定下来；(2)把多项式里的每一项都拆成公因式乘另一个因式的样子；(3)把公因式拎到括号外面，每项除以公因式剩下的因式写进括号里。 3．两条硬要求：提“净”——提完以后括号里不能再有公因式；提“全”——一项都不能漏。检查的办法很土但很管用：把提完的结果乘回去，看跟原式一样不一样。 例2　把下列各式分解因式： (1)a(a－3)＋2(3－a)；(2)9a²b³－6a³b²－3a²b²；(3)－6x³－10x²－2x；(4)a(y－z)－4b(z－y)。 分析：手还是那几手——先把公因式定住。其中两题得先给括号“变个脸”：(1)里的3－a添个负号就是－(a－3)，(4)里的z－y添个负号就是－(y－z)。再看(3)，首项系数是负的，先提负号、再提剩下的。 解：(1)原式＝a(a－3)－2(a－3)＝(a－3)(a－2)。 (2)原式＝3a²b²(3b－2a－1)。 (3)原式＝－2x(3x²＋5x＋1)。 (4)原式＝a(y－z)＋4b(y－z)＝(y－z)(a＋4b)。 [师追问]第(1)小题括号里为什么是a－2，不是a＋2？——把2(3－a)写成－2(a－3)，提走(a－3)，剩下的是a和－2，两下一拼就是a－2。 [师追问]第(2)小题第一项9a²b³除以3a²b²，为什么是3b而不是3b³？——同底数幂相除，指数相减，b³÷b²＝b。 小结三句话记牢：(1)定公因式盯三处——系数、各项都有的字母、对应的最低次数，漏一处都可能取错或漏取；(2)某一项恰好就是公因式时，商是1，1当系数可以省，但它单独成项时千万不能丢；(3)首项系数是负的，先提负号，括号里每一项都跟着变号，然后再去提公因式。 三、交流反思 快下课时，请每个人给三件事对个账。 第一件，什么是因式分解。心里过的两条标准：等号左边得是多项式，等号右边得是几个整式相乘的积，两头都得站得住，缺一头都不算。判断时先看左边、再看右边，顺序别乱。 第二件，公因式怎么找。就盯三个地方——系数看最大公约数，字母看是不是各项都有，指数看是不是取到了最低。三项一口气过完再下笔，比凭第一眼感觉要快，也更稳当。 第三件，提完千万别急着收笔。把提完的式子乘开，看能不能回到原来的多项式；再瞄一眼括号里，还有没有公因式。两样都对上，才算写完。 同桌互相把这三条说一遍，谁说不全的，翻开笔记补上。 四、检测反馈 限时15分钟，独立完成。做完先自己回头验一遍：提干净了没有？漏项了没有？ 1．下列变形从左到右属于因式分解的是(　　) A．(x－3)(x＋3)＝x²－9 B．6a³b²c＝2a²b·3abc C．x²－2x＋1＝x(x－2)＋1 D．x²＋4x＋4＝(x＋2)² 2．把x³y²－3x²yz分解因式，正确的结果是(　　) A．x²(xy²－3y²) B．y(x³－3x²z) C．x³y²z(2xy) D．x²y(xy－3z) 3．下列因式分解中正确的是(　　) A．3xᵐ－12xᵐ⁺¹＝xᵐ(3－12x) B．(a－b)²－(b－a)³＝(a－b)²(1－b＋a) C．2(x－2y)－(2y－x)²＝(x－2y)(2－2y＋x) D．8x²y－4x＝4xy(2x－1) 4．填空：(1)多项式12x²y－16xy²z的公因式是＿＿＿＿。(2)多项式x(a²＋b²)－y(a²＋b²)的公因式是＿＿＿＿。 5．填空：(1)将多项式－5a²＋3ab提出公因式－a后，另一个因式为＿＿＿＿。(2)将多项式4(a＋b)－2a(a＋b)分解因式，应提出公因式＿＿＿＿。 6．利用提公因式进行计算： (1)99²＋99。(2)13×9.98＋56×9.98＋31×9.98。 7．把下列各式分解因式： (1)8x－72。(2)－48mn－24m²n³。 (3)a²(x－5)＋4a(5－x)。 8．先因式分解再求值：5x(m－2)＋4x(2－m)，其中x＝0.4，m＝5.5。 9．已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a²b＋ab²的值。 【参考答案与解析】 第1题：答案 D。解析：判断是不是因式分解，看两头——左边必须是多项式，右边必须是几个整式相乘的积。A是把积算成多项式，方向反了，那属于整式乘法；B的左边6a³b²c是单项式不是多项式，因式分解的对象只能是多项式；C的右边是x(x－2)再“＋1”，是积与1的和，不是积的形式；D左边x²＋4x＋4是多项式，右边(x＋2)²是(x＋2)与(x＋2)的积，两头都对。故选D。 第2题：答案 D。解析：第一步先定公因式。系数的最大公约数是1；字母x两项都有，取最低次x²；字母y两项都有，取最低次y；字母z只在第二项里露面，不取。所以公因式是x²y。再把各项除以公因式：x³y²÷x²y＝xy，3x²yz÷x²y＝3z，于是x³y²－3x²yz＝x²y(xy－3z)。逐项验一遍：A乘开得x³y²－3x²y²，第二项与原式的3x²yz对不上；B乘开得x³y－3x²yz，第一项对不上；C括号里还留着2，两项的符号也都不对；D乘开恰好等于原式。故选D。 第3题：答案 B。解析：逐一验证。B中(b－a)³＝(b－a)(b－a)²＝(b－a)(a－b)²，所以原式＝(a－b)²－(b－a)(a－b)²＝(a－b)²[1－(b－a)]＝(a－b)²(1－b＋a)，与选项完全一致，正确。A的等号两端确实相等（xᵐ×3＝3xᵐ，xᵐ×(－12x)＝－12xᵐ⁺¹），但括号里3与12x还带着公因数3，公因式没有提干净，按本课“提净”的要求算不上合格的分解结果，应写成3xᵐ(1－4x)。C中(2y－x)²＝(x－2y)²，所以原式＝2(x－2y)－(x－2y)²＝(x－2y)[2－(x－2y)]＝(x－2y)(2－x＋2y)，选项把括号里写成2－2y＋x，x与2y的符号弄反了。D中8x²y－4x＝4x·2xy－4x·1＝4x(2xy－1)，选项写成4xy(2x－1)，乘开是8x²y－4xy，与原式的－4x差了一个y。故选B。 第4题：答案 (1)4xy；(2)a²＋b²。解析：(1)先看系数，12与16的最大公约数是4；再看字母，x、y两项都含，各取最低次，就是x与y；字母z只在第二项出现，不取。所以公因式是4xy。(2)两项x(a²＋b²)与y(a²＋b²)里都含着(a²＋b²)这个整体，把它当作一个字母看，公因式就是(a²＋b²)。 第5题：答案 (1)5a－3b；(2)2(a＋b)。解析：(1)另一个因式就是原多项式除以公因式－a：(－5a²)÷(－a)＝5a，(3ab)÷(－a)＝－3b，所以另一个因式是5a－3b。验算一下：(－a)(5a－3b)＝－5a²＋3ab，与原式相同，说明没算错。(2)两项都含着(a＋b)，而且系数4与2还有公约数2，所以应提出的公因式是2(a＋b)，分解结果是4(a＋b)－2a(a＋b)＝2(a＋b)(2－a)。 第6题：解析：(1)把前面那个99²写成99×99，原式＝99×99＋99×1＝99×(99＋1)＝99×100＝9900。(2)三个乘积里都带着9.98，把它提到括号外：原式＝9.98×(13＋56＋31)＝9.98×100＝998。答案：(1)9900；(2)998。 第7题：解析：(1)8x－72＝8·x－8·9＝8(x－9)。(2)首项系数是负的，先把负号提出来：－48mn－24m²n³＝－24mn·2－24mn·mn²＝－24mn(2＋mn²)。(3)先把括号里的符号统一：5－x＝－(x－5)，原式＝a²(x－5)－4a(x－5)＝a(x－5)(a－4)。答案：(1)8(x－9)；(2)－24mn(2＋mn²)；(3)a(x－5)(a－4)。 第8题：解析：先因式分解。因为2－m＝－(m－2)，所以原式＝5x(m－2)－4x(m－2)＝x(m－2)(5－4)＝x(m－2)。当x＝0.4，m＝5.5时，原式＝0.4×(5.5－2)＝0.4×3.5＝1.4。答案：1.4。 第9题：解析：a²b＋ab²两项都含着ab，把它提出来：a²b＋ab²＝ab(a＋b)。把已知的ab＝1、a＋b＝2整体代进去，得1×2＝2。答案：2。 五、布置作业 必做：教科书P125第1、2、3题，P126练习第1、2题，P126—127习题17.1第1—8题。 提高（选做）：今天讲的“提净、提全”怎么查，讲给同桌听一遍；再自己编两道题考考他——一道要让某一项恰好等于公因式（提完括号里会出现1），一道要让首项系数为负（得先提负号），把答案和过程一并写出来。 六、板书设计 知识要点区 例题区 练习板演区 因式分解：多项式→几个整式的积；公因式：系数取最大公约数、字母取都有的、指数取最低次；提公因式法：提“净”、提“全”，剩下是1不能丢；首项为负先提负号，括号里每项都变号 例1：7x²－21x；8a³b²－12ab³c＋ab；－24x³＋12x²－28x；6(x－2)＋x(2－x)。例2：a(a－3)＋2(3－a)；9a²b³－6a³b²－3a²b²；－6x³－10x²－2x；a(y－z)－4b(z－y) 活动三：(1)8a³b²＋12ab³c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)。检测题学生板演位 七、教学反思 这节课最可能绊住学生的是三处地方，写下来提醒自己下次盯紧点。 第一处是方向上的别扭。学生刚把整式乘法练熟，“看见括号就想乘开”已经成了手底下的条件反射，现在要他们停下来走反方向，一上来准有一批人把x²－1又乘回去。光靠嘴上念叨“两者互逆”不管用，得让他们在同一组式子上正着走一遍、反着走一遍，自己撞一下才服气。下次可以把活动一的(1)(2)并成一张两列的表，左边算乘法、右边写分解，两列并排摆着看，方向感会清楚得多。 第二处是“剩下的那个1”。例1第(2)小题和检测第7题都是这个坎，总有孩子把ab(8a²b－12b²c＋1)写成ab(8a²b－12b²c)，括号里整项就没了。下回讲这一点，别只喊“不能漏”，直接让学生把写错的结果乘回去，自己发现少了一项——比反复叮嘱十遍都管用。 第三处是首项为负时的变号。－24x³＋12x²－28x提出－4x，总有学生在括号里只给第一项变号，后面两项照抄。讲评时用两种颜色的粉笔把“提走的”和“留下的”分开写，让“提一项、变一项”变成一个看得见的动作。 还有一个信号要留意：检测第3小题选A的学生会不少，因为A的等号两端确实相等，他们没意识到括号里3与12x还带着公因数3。这说明“提净”这一条学生只是记住了话，还没变成习惯。下次小结时补一个快速自检：提完盯一眼括号里的系数和字母，要是还有公约数、还有公共字母，那就是没提净，得回炉。 还有个小遗憾，板演时第(2)小题的板面被前面几行挤得偏下，后排学生看不全括号里的减号。板书得给例题区多留一块地方，或者干脆把例1分成两轮写，一轮一清。 学科网（北京）股份有限公司 $