精品解析：山西大同市某校2026-2027学年八年级上学期10月测验数学试题

2026-2027学年第一学期随堂检测（一） 年级：八 学科：数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将试卷、答题卡全部交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 2. 如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 任意一条线 3. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 4. 各个内角度数如图所示，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 12. 设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 13. 如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 14. 如图，，，，则________． 15. 如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 17. 如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； （2）在图中画出边上的高和中线． 18. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 19. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 20. 如图，在与中，点在一条直线上，，．求证： （1）； （2）． 21. 如图，完成下面推理过程． 如图所示，点E在外部，点D在边上，交于F，若，，求证：． 证明：和中，，．（ ） （已知）， 又（ ） ． 又， （ ） 即（ ）． 在和中， （ ） （ ） 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 23. 综合与探究 模型发现： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，．问：，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由 模型迁移： （2）如图②，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，则，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即在中，，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期随堂检测（一） 年级：八 学科：数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将试卷、答题卡全部交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 2. 如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 任意一条线 【答案】A 【解析】 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 3. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 4. 各个内角度数如图所示，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理列方程求出的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状； 【详解】解：三角形内角和等于， ， 解得：，  最大内角， 这个三角形是直角三角形． 5. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余和两直线平行同位角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图： 摩擦力 f 与斜面平行， ，, 重力 G 竖直向下， 斜面的坡角为 β，斜面与水平面夹角为 β, ． 8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 9. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 10. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 12. 设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 13. 如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 14. 如图，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 15. 如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】利用平行和折叠的性质求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：中，，， ， ， ， ， 由折叠可知，， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 17. 如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； （2）在图中画出边上的高和中线． 【答案】（1）；，， （2） 【解析】 【分析】（1）观察平面直角坐标系，可以直接读出三角形三个顶点的坐标，，，；根据平移规律：向上平移3个单位长度，纵坐标加3；向右平移2个单位长度，横坐标加2；所以，，，在图中描出，，三点并顺次连接，即可得到三角形． （2）过点A作的垂线，垂足为D，线段即为边上的高；找到边上的中点E（可结合坐标确定），连接A、E，线段即为边上的中线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 20. 如图，在与中，点在一条直线上，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据，得出，再利用，结论即得； （2）根据，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，完成下面推理过程． 如图所示，点E在外部，点D在边上，交于F，若，，求证：． 证明：和中，，．（ ） （已知）， 又（ ） ． 又， （ ） 即（ ）． 在和中， （ ） （ ） 【答案】三角形内角和为，对顶角相等，等式的性质，，，全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】按照题干给出的证明思路结合三角形内角和为，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定与性质作答即可． 【详解】证明：和中，，．（三角形内角和为） （已知）， 又（对顶角相等）， ． 又， （等式的性质）， 即（）． 在和中， （）， （全等三角形对应边相等）． 22. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图1，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：．下面是该性质的证明过程： 证明：如图2，连接并延长到点． ∵是的外角， ∴（根据1）． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 任务： （1）填空：材料中的根据1是指___________________________________________． （2）你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． （3）一个零件的形状如图3所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件________．（填“合格”或“不合格”） 【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 （2） 延长交于点E，如图， 则， ∴； （3）不合格 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质即可解答； （2）延长交于点E，如图，根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据材料中的性质即可判断． 【小问1详解】 材料中的根据1是指：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由“箭头图”图案的性质得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵按规定应等于才合格， ∴这个零件不合格； 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 23. 综合与探究 模型发现： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，．问：，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由 模型迁移： （2）如图②，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，则，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即在中，，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】 （1），理由如下： 如图 1，∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2），理由如下： 证明：如图 2，∵， ， ， 在和中， ， ， ， （3）与的面积之和为6 【解析】 【分析】此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明，得，则，于是得到问题的答案； （ 2 ）由，得，所以，而，即可根据“”证明，得，则，所以（1）中结论不成立； （3）作于，因为，所以，由，且，得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作于， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的面积之和是6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $