精品解析：云南曲靖市麒麟区第五中学2026-2027学年度九年级数学上10月学情自测试卷

2026-2027学年度九年级数学上10月月考考试卷 （本卷满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限． 2. 下列函数是二次函数的是（　　 ） A. y=2x+2 B. y=﹣2x C. y=x2+2 D. y=x﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】直接根据二次函数的定义判定即可． 解：A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误； B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误； C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确； D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误． 故选C． 3. 点P(3，2)关于原点对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：关于原点对称后，点的横纵坐标都变为相反数，则点P关于原点对称后的点的坐标为(-3，-2)，则点在第三象限，故选择C． 4. 若抛物线经过点，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值． 【详解】解：将代入中，得： ， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程中， ， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根； ，方程无实数根． 6. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 7. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转得到，边相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的外角，根据旋转，得到，再根据外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵将顺时针旋转得到，， ∴， ∴； 故选C． 8. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 9. 若α，β是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2011 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】先根据方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵α是方程的根， ∴，即， ∴， ∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，．也考查了一元二次方程根的定义． 10. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 11. 把抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移变化规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项． 12. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程． 【详解】解：把代入原方程得：． 故选：． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 13. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别表示出2月5日和2月6日的销量，进而相加得出等式即可． 【详解】解：根据题意可得： 2月5日的销量为：， 2月6日的销量为：， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出2月5日和2月6日的销量是解题关键． 14. 若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A. 3 B. -1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 15. 若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A. 0 B. 3 C. 1 D. 0或3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 二、填空题（共8分） 16. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 17. 若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可. 【详解】解：∵ 函数 是反比例函数， 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，可变形为， 因此可得， 解一元二次方程，移项得，开方得或， 验证，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 18. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算即可得到结果． 【详解】解：原抛物线的解析式为．向左平移个单位长度，对自变量加上平移单位，得． 再向下平移个单位长度，对常数项减去平移单位，得． 即得到的抛物线解析式为． 19. 已知点、、都在二次函数的图像上，则、、的大小关系是______．（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：对二次函数配方得． ∵二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， ∴． 三、解答题（共62分） 20. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 21. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小？ （3）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）该抛物线的开口向上，顶点坐标为 （2）当时，y随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的y随x的增大而减小时x的值； （3）再分别求出，时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：∵当时，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 22. 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由题意得，每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为w元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设月销售量与销售单价的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴月销售量与销售单价的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套，则 ， 解得：， ∵要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价， 答：每套吉祥物套装应定价60元； 【小问3详解】 解：设每月销售利润为w元，根据题意得： ， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 23. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，靠墙一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆把长方形花圃分成两个小长方形），为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的宽长为，请你用含的代数式表示的长为______m； （2）若围成的花圃总面积是，求此时花圃的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用未知数表示出线段的长度． （1）花圃的宽长为，由上用其他材料造了宽为1米的两个门，故长边为． （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 长边为． 故答案为：； 【小问2详解】 设花圃的宽为米， 有题意可得： 解得：，， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 答：花圃的长为9米，宽为5米． 24. 如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E． （1）证明E为的中点； （2）若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】（1） 证明：点F是矩形的边的中点， 都在反比例函数上， ，， 设， 代入， 解得， ， ， E为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）设点，根据题意得到，求出，即可得到结论． （2）设，得到，得到矩形的面积为，根据四边形的面积为2列出等式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 是的中点， ， ， ， ， 四边形的面积， ． 25. 已知二次函数为． （1）将它通过配方法化成顶点式． （2）说出它的顶点坐标和对称轴以及增减性． 【答案】（1） （2）该函数的图象的顶点坐标是，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． （1）通过配方法转换即可； （2）根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数的图像的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口方向向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 26. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点P、Q之间的距离为； （2）连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． 【小问2详解】 解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 27. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使的面积与的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2）存在，P的坐标为或或 （3）点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点和点代入解方程组即可； （2）先假设存点P，设出P点坐标，利用的面积与的面积相等建立方程求解即可； （3）如图1中，分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵点和点， ∴， 当时，， ∴，即， 设点P的纵坐标为， ∵的面积与的面积相等， ， ∴． 解得：． 当时，， 解得， 当时，， 解得：（此时与点C重合，舍去）， 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 解：如图， ∵抛物线的解析式为：， ∴它的对称轴为直线， ∴， 设点Q坐标为． ∵， ∴，，． ①当时，， 解得， ∴点Q的坐标为，此时，不是腰，不符合题意，舍去； ②当时，， 解得：， ∴点Q的坐标为或， ③当时，， 解得：（舍去）或， ∴Q点坐标为 综上所述，符合条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级数学上10月月考考试卷 （本卷满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 2. 下列函数是二次函数的是（　　 ） A. y=2x+2 B. y=﹣2x C. y=x2+2 D. y=x﹣2 3. 点P(3，2)关于原点对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若抛物线经过点，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 7. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转得到，边相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若α，β是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2011 D. 2023 10. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 把抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 12. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 13. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 14. 若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A. 3 B. -1 C. D. 4 15. 若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A. 0 B. 3 C. 1 D. 0或3 二、填空题（共8分） 16. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 17. 若函数是反比例函数，则m的值为_____． 18. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 19. 已知点、、都在二次函数的图像上，则、、的大小关系是______．（用“＜”连接）． 三、解答题（共62分） 20. 解方程：； 21. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小？ （3）当时，y的取值范围是 ． 22. 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，靠墙一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆把长方形花圃分成两个小长方形），为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的宽长为，请你用含的代数式表示的长为______m； （2）若围成的花圃总面积是，求此时花圃的宽． 24. 如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E． （1）证明E为的中点； （2）若四边形的面积为2，求k的值． 25. 已知二次函数为． （1）将它通过配方法化成顶点式． （2）说出它的顶点坐标和对称轴以及增减性． 26. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点P、Q之间的距离为； （2）连接、，当t为何值时，为直角三角形． 27. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使的面积与的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $