精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学 2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年度第一学期九年级期中考数学试卷 （满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵方程中，， ， ， ∴， ∴ 方程没有实数根． 故选：D． 3. 一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握配方法的计算方法是关键． 使用配方法求解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方，将方程变形为完全平方式． 【详解】解： ， 常数项移到等式右边得， ， 添加一次项系数一半的平方得， ， ∴ ， 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根． 【详解】∵关于x的一元二次方程 的一个根为1，设方程的另一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 5. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标是 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 该图象与轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，无需转化，直接利用其性质判断正确选项． 【详解】解：∵是二次函数的顶点式， ∴对称轴为直线，顶点坐标是，故选项A错误，选项B正确； ∵二次函数解析式， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 故选项C错误； ∵顶点坐标是，且抛物线开口向上， ∴该图象与轴无交点， 故选项D错误． 6. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：方程中，，， ，是方程的两个实数根， ． 7. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 8. 已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 9. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为300万元，2025年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年投入研发资金363万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为， ∵2023年投入研发资金为300万元，年平均增长率为， ∴2024年投入资金为万元，2025年投入资金为万元， ∵2025年投入研发资金363万元， ∴可列方程． 10. 二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标；根据时图象的位置判断函数值的符号； 【详解】解：由抛物线开口向下，得， 由对称轴为直线，得，即， 由抛物线与轴交点在轴上方，得， ，故①错误； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，故③正确； 由图象可知，当时，， 当时，，故②错误； 综上所述，正确的结论有1个． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 一元二次方程中，二次项系数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，其一般式为，其中为二次项系数．直接识别给定方程中的二次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程可化为，其中二次项系数为 4． 故答案为：4． 12. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键． 不等式的解集即为抛物线在直线上方时所对应的交点横坐标的范围，据此即可根据图象求解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，． ∴的解集是， 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2023． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线表达式为，及对称轴为直线，连接，当点三点共线时，最小，求出直线表达式为，进而求出结论． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， 解得：， ， ∴此抛物线对称轴为直线， 连接， ∵点在抛物线的对称轴上， ， ， ∴当三点共线时，最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ， 设直线表达式为，把，代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）通过函数解析式求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴点的坐标为和． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 即， ， 或， ，． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图是抛物线，其顶点为，与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为． （1）直接写出抛物线的解析式__________________； （2）抛物线与轴的交点的坐标________，点的坐标________，点的坐标________； （3）当时，的取值范围________． 【答案】（1）（或） （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点式表达式与顶点坐标的关系解答即可； （2）令，求抛物线与x轴的交点，令，求抛物线与y轴的交点，解答即可； （3）根据函数的性质，增减性，解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线，其顶点为， 故抛物线的解析式为或； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 令，得， 解得； 令，， 故抛物线与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为，函数的最小值为，且函数图象的点与对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 此范围内，函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． 20. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由顶点坐标设二次函数表达式为，由图（2）可得抛物线过点，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． （1）填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． （2）当为何值时，的面积为？ 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，线段的和差表示解答即可． （2）根据题意列一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，运动的时间为后，，， ，， ，， ， 运动都停止运动， ． 【小问2详解】 解：根据矩形，得， ， ， 整理，得， 解得， ， 不满足范围，舍去， ， 当时，的面积为． 五、解答题（22题12分，23题12分，共24分） 22. 因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … （1）求关于的函数表达式； （2）设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵鲜花礼品每天的销售数量不低于100束， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值为， 即销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点，，优先选用交点式设解析式，代入点坐标求出系数，即可得到抛物线解析式． （2）先求出直线的解析式，过点作轴平行线交于点，用横坐标表示、纵坐标，得到长度，把拆成两个三角形，面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）设，，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分为对角线、为对角线、为对角线三类，利用中点坐标公式列出等式，结合抛物线解析式联立求解，得到的值，进而求出坐标． 【小问1详解】 解：由抛物线经过， ，设抛物线解析式：， 把代入得， ， 解得， ∴，即； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线交于点， 设直线解析式：， ，， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∴时，的面积最大， 此时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ①当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 不符合题意，舍去， ∴； ②当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 不符合题意，舍去， ∴； 综上，有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、二次函数最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，熟练掌握二次函数的图象性质和平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级期中考数学试卷 （满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 3. 一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标是 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 该图象与轴有两个交点 6. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为300万元，2025年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 一元二次方程中，二次项系数为______． 12. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是_____． 14. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图是抛物线，其顶点为，与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为． （1）直接写出抛物线的解析式__________________； （2）抛物线与轴的交点的坐标________，点的坐标________，点的坐标________； （3）当时，的取值范围________． 20. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 21. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． （1）填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． （2）当为何值时，的面积为？ 五、解答题（22题12分，23题12分，共24分） 22. 因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … （1）求关于的函数表达式； （2）设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $