精品解析：甘肃兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 设椭圆的两个焦点为，，且P点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列则这个数列的第25项为（       ） A. B. C. 7 D. 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 4. 圆和的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 数列的前n项和，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 直线过定点 11. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 三、填空题 12. 在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝________. 13. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______． 14. 已知动点在圆上，则的取值范围是_______；的取值范围是___________. 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过点，离心率为，焦点在x轴上； （3）经过两点，. 16. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若各项均为正数的等比数列满足，，求的前项和． 17. 已知直线 （1）证明直线l过定点并求此点的坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）设线段AB的端点B在圆C上运动， （i）求线段AB的中点M的轨迹方程； （ii）已知点，直线l与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当的面积取得最大值时，求直线l的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州西北中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 设椭圆的两个焦点为，，且P点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出点在椭圆上，然后利用椭圆的定义即可求解. 【详解】把P点的坐标代入椭圆方程，满足椭圆方程，即P点在椭圆上， 由，则， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题. 2. 已知数列则这个数列的第25项为（       ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 4. 圆和的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径， 圆的标准方程为，其圆心为，半径， 故，故， 故两圆相交. 5. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，数形结合即可求直线的斜率的范围． 【详解】如图所示： ， ， 由图可知，或，即或， 故直线的斜率的取值范围为． 故选：B． 6. 过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等 得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. 7. 数列的前n项和，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 8. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 二、多选题 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：根据平行设直线方程为，然后将点代入求出即可； B选项：根据直线与直线垂直得到或-1，然后判断充分性和必要性即可； C选项：根据平行列方程得到，然后求平行线间的距离即可； D选项：将直线整理为，然后列方程，解方程即可. 【详解】A选项：设和直线平行的直线为，将点代入得，解得，所以直线为，故A正确； B选项：当直线与直线垂直时，，解得或-1，所以当时，直线与直线垂直，当直线与直线垂直时，不一定等于-1，故B错； C选项：当两直线平行时，，则：，即，所以与的距离为，故C正确； D选项：直线的方程可整理为：，令，解得，所以直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 11. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD 【解析】 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】对于A：可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝________. 【答案】2022 【解析】 【分析】利用裂项求和法求得 的前n项和的表达式，由题意列出方程，求得答案. 【详解】由题意得， ＝＝， ∴n＝2022, 故答案为：2022 13. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解 【详解】由于是圆， 即：圆 其中圆心为，半径为4 那么椭圆的长轴长为8，即，，， 那么短轴长为 故答案为： 14. 已知动点在圆上，则的取值范围是_______；的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由于是圆上的动点， 设，然后由直线与圆有公共点可得的范围， 设，整理为直线方程，由圆与直线有公共点可得的范围． 【详解】是圆上的点，设，即，直线与圆有公共点， 则，所以， 设，即，由题意此直线与圆有公共点， 所以，解得． 故答案为：；． 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过点，离心率为，焦点在x轴上； （3）经过两点，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可； (3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为的形式，再把两点坐标代入求解即可. 【小问1详解】 根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. 【小问3详解】 根据题意可设椭圆的标准方程为：， 所以由题设有：，解得， 故椭圆的标准方程为：. 16. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若各项均为正数的等比数列满足，，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式以及计算即可； （2）先根据条件得出等比数列的公比，再分别计算等比数列和等差数列的前项和，最后按照分组求和即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则由题意可得， 则， 则数列的通项公式为； 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由，，则， 因等比数列各项均为正数，则， 则数列的前项和为， 又因数列的前项和为， 则数列的前项和为. 17. 已知直线 （1）证明直线l过定点并求此点的坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）由已知得， ∴无论k取何值，直线过定点； （2）的面积的最小值为4，此时直线l的方程为． 【解析】 【分析】（1）变形可得，进而可得定点； （2）求出直线l与 x轴，y轴的交点坐标，表示出的面积，利用基本不等式求最值即可． 【详解】（1）略 （2）令得A点坐标为， 令得B点坐标为， 由得， ∴ 当且仅当，即时取等号． 即的面积的最小值为4，此时直线l的方程为． 即． 【点睛】求最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）由题可知， 因为，所以，即， . 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和． 【小问1详解】 证明略. 因为数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以 ， 故． 19. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）设线段AB的端点B在圆C上运动， （i）求线段AB的中点M的轨迹方程； （ii）已知点，直线l与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当的面积取得最大值时，求直线l的斜率. 【答案】（1）或. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式列方程求出斜率，然后可得切线的方程； （2）（i）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. （ii）由题意N到直线l的距离，利用，结合基本不等式可求得最大值，根据取等条件构造方程求得. 【小问1详解】 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 （i）设点，则由点M是线段AB的中点得， 所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. （ii）由（i）知为圆M的圆心，所以N到直线l的距离， 的面积， 当且仅当时等号成立， 此时，两边同时平方得， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $