精品解析：吉林松原市宁江区第一中学2026-2027学年八年级上学期期中学情自测数学试卷

八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 3. 如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，若，则的面积为（ ） A. 30 B. 21 C. 18 D. 15 5. 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( ) A. B. 或 C. 或 D. 6. 如图：已知与关于直线成轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该轴对称图形有________条对称轴． 8. 如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为_______． 9. 图，在中，，，，则的长为_______． 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点B落在边上的处．若是等腰三角形，则_______． 11. 如图，，且，E，F是上的两点，，，若，，，则的长为 _____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 13. 如图，在四边形中，，点在线段上，．若要使成为等边三角形，可增加的一个条件是______，请说明理由． 14. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）在轴上求作一点，使的周长最小，请在图上画出点（保留作图痕迹，不写作法）． 15. 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端A、B的距离，小明设计出如图所示的方案． ①过点作射线；②过点作于点；③在射线上截取，使得；④测量的长为． 根据以上信息，求池塘两端A、B的距离． 16. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中，以线段为边画一个等腰钝角三角形，使点在格点上； （2）在图中，以线段为边画一个，使其面积为； （3）在图中，画一个四边形，使四边形是轴对称图形． 17. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，求的度数． （2）在（1）的条件下，若面积为40，，求的长． 18. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系． （1）如图1，为等边三角形，小明把三角板的顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论． （2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由． 19. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． 20. 如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点． （1）求的度数； （2）若，则的周长为___________． 21. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 22. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）． （1）在点从点运动到点的过程中，线段的长为___________（用含的代数式表示）； （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求的值； （4）分别过点作于点，于点，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 2. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 3. 如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，由可得，故此选项不符合题意； B、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，平分，若，则的面积为（ ） A. 30 B. 21 C. 18 D. 15 【答案】D 【解析】 【详解】解：过作于， ∵在中，平分，， ∴， ∵， ∴的面积为． 5. 等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( ) A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 本题可分两种情况： ①当角为底角时， 顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题时要注意分情况进行讨论， 这是十分重要的， 也是解答问题的关键 ． 6. 如图：已知与关于直线成轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【答案】4##四 【解析】 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 8. 如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为_______． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】首先由等边三角形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，然后根据三角形内角和求出的度数，最后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理． 9. 图，在中，，，，则的长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】首先由，，得，则在直角三角形中求出，再过点A作交于F，根据等腰三角形三线合一可得，在直角三角形中求出，从而求出． 【详解】解：过点A作交于F， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出各个线段的长是解题的关键． 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点B落在边上的处．若是等腰三角形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，然后根据等腰三角形的性质，分、、三种情况，利用等边对等角和三角形内角和定理，分别求解即可． 【详解】解：∵，将沿折叠，使点B落在边上的处， ∴， ∵是等腰三角形，若， 则设， ∴， ∵，即， 解得，即； 若，设， 则， ∴， ∵，即， 解得为负值，不符合题意； 若，设， 则， ∵，即， 方程无解，不符合题意； 综上，． 11. 如图，，且，E，F是上的两点，，，若，，，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】只要证明，可得，，推出． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】略 13. 如图，在四边形中，，点在线段上，．若要使成为等边三角形，可增加的一个条件是______，请说明理由． 【答案】（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】由平行线性质得；结合已知条件，等量代换得，已是等腰三角形；补充条件，则，三角相等，故为等边三角形． 【详解】解：，理由如下： ． ， 是等边三角形． 14. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）在轴上求作一点，使的周长最小，请在图上画出点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）如图，为所求，，点的坐标为 （2）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接各点即可； （2）周长最短，则最短，按照将军饮马模型进行解题． 【小问1详解】 解：点A、B、C关于y轴对称的点为，，， 连接、、， 则为所求； 【小问2详解】 解：过x轴作点A的对称点D，连接，与x轴交点就是点P． 【点睛】在平面直角坐标系中，两点关于y轴对称，则两点的横坐标相反，纵坐标相等；两点关于x轴对称，则两点的纵坐标相反，横坐标相等． 15. 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端A、B的距离，小明设计出如图所示的方案． ①过点作射线；②过点作于点；③在射线上截取，使得；④测量的长为． 根据以上信息，求池塘两端A、B的距离． 【答案】 【解析】 【分析】用证明，全等三角形对应的边相等． 【详解】解：， ， 在和中，， ， 答：池塘两端A、B的距离为． 16. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图中，以线段为边画一个等腰钝角三角形，使点在格点上； （2）在图中，以线段为边画一个，使其面积为； （3）在图中，画一个四边形，使四边形是轴对称图形． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】取格点，使得，且，连接，即可； 取格点，使得，连接即可； 取格点，使得，，连接，即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 17. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，求的度数． （2）在（1）的条件下，若面积为40，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【小问1详解】 解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系． （1）如图1，为等边三角形，小明把三角板的顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论． （2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论不改变，理由如下： ， 是等边三角形 是等边三角形 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、线段的和差等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得，由等边三角形的性质可得、，易得为等边三角形可得，再根据线段的和差即可解答； （2）运用（1）的思路解答即可． 【小问1详解】 解：∵含的三角板， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：平分， ， 又， ，， ， ∴， 为等腰三角形； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理证明，得出，最后根据三角形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 为等腰三角形， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 20. 如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点． （1）求的度数； （2）若，则的周长为___________． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件得出答案即可； （2）根据三角形内角和定理得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 21. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：； 方法应用：证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展： 【解析】 【分析】知识背景：根据全等三角形的判定方法即可求解； 方法应用：延长交于点，可证，得到，即得，再证明，得到，即可求证； 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点，可得，即得，进而可证，得到，再证明，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：知识背景：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴理由是角边角， 故选：； 方法应用：略 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（）． （1）在点从点运动到点的过程中，线段的长为___________（用含的代数式表示）； （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求的值； （4）分别过点作于点，于点，当时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或． 【解析】 【分析】根据题意得，然后通过线段的和与差即可求解； 当点与点重合时，求出点的运动路程为，从而判断点在从点运动到点的途中，然后通过线段的和与差即可求解； 由为轴对称图形，则有是等腰直角三角形，所以，然后分当时，当时，当时，三种情况求解即可； 由，则，然后分当时，当时，当时，三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得点从点运动到点的过程中，， ∴，即线段的长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，（秒）， ∴点的运动路程为， ∵， ∴当点与点重合时，点在从点运动到点的途中， ∴，即线段的长为； 【小问3详解】 解：由题意得，点从点运动到点的时间为秒，则点从点出发再回到点的时间为秒，点在从点运动到点的时间为秒， ∵，为轴对称图形， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∴，解得； 综上可知，当为轴对称图形时，的值为或； 【小问4详解】 解：如图， ∵， ∴， 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∴，解得； 综上可知，当时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $