第29讲 数列的求和讲义（7个核心题型归纳）-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第29讲 数列的求和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 倒序相加法 核心知识 适用特征：数列首尾配对相加为定值，即（常数） 典型来源：等差数列求和公式推导、对称型函数生成数列、三角对称求和 原理：与两式相加 方法技巧 先验证是否为定值，再决定是否用倒序相加 写出正序、倒序两个求和式，对齐同项相加得到 算出后再除以2得到 项数为奇数时单独处理中间项，防止重复计算 【经典例题1】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【经典例题2】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【巩固练习1】（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则______.（用含n和x的式子表达） 【巩固练习2】（24-25高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【巩固练习3】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____. 【题型2】 错位相减法 核心知识 适用特征：通项为等差数列与等比数列之积， 核心思路：利用公比错位，对齐同次幂项相减，消去中间等比部分 易错点：相减后等比数列的项数、首项、末项与符号 方法技巧 先写，等式两边同乘公比得 两式错开位置相减，右侧构成等比数列求和 等比求和先数清项数，避免多算或少算一项 整理化简后代入检验，确认成立 【经典例题1】（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【经典例题2】（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足． (1)证明：是等比数列； (2)设数列，的前项和，证明：． 【巩固练习1】（2026·四川南充·模拟预测）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） (1)证明：数列是等比数列； (2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和． 【巩固练习2】（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【巩固练习3】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 【题型3】 分式型裂项相消法 核心知识 适用特征：通项为分母是两个一次因式乘积的分式 基础模型： 求和本质：拆开后相邻项正负抵消，仅剩有限首尾项 方法技巧 先拆分通项并配平系数，勿漏拆分系数 逐项展开写出前几项、后几项，锁定剩余项 抵消规律：前面剩几项后面就剩几项，首尾对称留存 根式型分式优先分母有理化后再裂项 【经典例题1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 【经典例题2】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【巩固练习1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【巩固练习2】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【题型4】 指数型裂项相消法 核心知识 适用特征：通项含指数式，可拆成两项差 常见模型：、 和式结果： 方法技巧 用待定系数法拆分指数分式，凑成两项差形式 展开书写，看清抵消位置，指数底数勿混淆 能裂项优先裂项，计算量小于错位相减 化简结果注意合并同类项 【经典例题1】（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，. (1)证明:数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【经典例题2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【巩固练习2】（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【巩固练习3】（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【题型5】 分组求和法 核心知识 适用特征：通项可拆成两个熟悉数列相加（减），即 常见组合：等差+等比、等差+平方数列、三角函数+常数列 原理： 方法技巧 拆分通项，识别两个子数列类型 分别用对应公式求两个子数列之和 最后合并整理表达式 带的交替型优先考虑奇偶分组 【经典例题1】（2026·四川巴中·模拟预测）已知数列满足，（）． (1)设，求证数列为等比数列，并求； (2)求数列的前项和． 【经典例题2】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【巩固练习1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【巩固练习2】（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【巩固练习3】（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【题型6】 奇偶项数列求和 核心知识 适用特征：通项含，或奇偶项表达式不同 关键：分奇数、偶数两种情况讨论 为奇数时，奇数项比偶数项多一项 方法技巧 设（偶数）与（奇数）分别求和 先算偶数项和，奇数项和在偶数和基础上加末项 两项一组配对合并，化简 结果写成分段形式，必要时统一成一个表达式 【经典例题1】（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【经典例题2】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【巩固练习1】（2026·安徽六安·模拟预测）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【巩固练习3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【题型7】 数列求和与不等式证明 核心知识 常见考法：放缩后求和证明不等式、求和后证明范围 放缩核心：放成可裂项相消或等比求和的形式 放缩尺度：方向一致，不能放得过大或过小 方法技巧 先求和：能直接求出解析式则研究单调性求最值 需放缩时：分式放缩、指数放缩，优先裂项放缩 注意放缩起点，常保留前1项或前2项，从第3项开始放缩 证明常数：求出上界并与右边常数对比 证明单调性：用作差判断增减 【经典例题1】（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【经典例题2】（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【巩固练习1】（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【巩固练习2】（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【巩固练习3】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 课后过关检测 一、解答题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 2．（2026·湖南永州·一模）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 5．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 9．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 10．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 12．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 13．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 14．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 16．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第29讲 数列的求和 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 倒序相加法 核心知识 适用特征：数列首尾配对相加为定值，即（常数） 典型来源：等差数列求和公式推导、对称型函数生成数列、三角对称求和 原理：与两式相加 方法技巧 先验证是否为定值，再决定是否用倒序相加 写出正序、倒序两个求和式，对齐同项相加得到 算出后再除以2得到 项数为奇数时单独处理中间项，防止重复计算 【经典例题1】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 【经典例题2】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【分析】由表达式及得到 ，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则 . 因为 令，得 ； ； ； ………… 又 . 故 故选：B 【巩固练习1】（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则______.（用含n和x的式子表达） 【答案】 【分析】由排列组合数的性质可得，进而有，再根据二项式定理求得，且，讨论、并结合二项式展开式的应用求. 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： 【巩固练习2】（24-25高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【答案】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 【巩固练习3】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 【题型2】 错位相减法 核心知识 适用特征：通项为等差数列与等比数列之积， 核心思路：利用公比错位，对齐同次幂项相减，消去中间等比部分 易错点：相减后等比数列的项数、首项、末项与符号 方法技巧 先写，等式两边同乘公比得 两式错开位置相减，右侧构成等比数列求和 等比求和先数清项数，避免多算或少算一项 整理化简后代入检验，确认成立 【经典例题1】（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知分式变形求出公比q，再求出首项，代入等比数列通项公式得到； （2）由列出前n项和，使用错位相减法，两式相减后借助等比求和公式化简求解． 【详解】（1）设的公比为， 则，所以， ，所以， 所以． （2）由（1）得， 所以，， 以上两式相减得 ， 所以． 【经典例题2】（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足． (1)证明：是等比数列； (2)设数列，的前项和，证明：． 【答案】(1)证明：当时，，即，所以. 当时，. 作差得，即， 整理得，即. 所以是以为首项，为公比的等比数列. (2)证明：由（1）得，，则. 满足上式，故. 所以. ，， 所以. 所以. 因为，所以，故. 【巩固练习1】（2026·四川南充·模拟预测）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） (1)证明：数列是等比数列； (2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和． 【答案】(1)由已知，， 当时，（非零常数）， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列； (2) 【分析】（1）利用等差数列定义，求出为常数，证明是等比数列； （2）求指数函数导数写出切线方程，利用横截距求出，得到等差数列通项，再对使用错位相减法求前项和． 【详解】（1）略 （2）由，得， 所以在处的切线为， 令，得， 解得，所以， 因为是等差数列，，所以， 所以，， 所以， 所以①， ②， ①②，得， 即， 整理，化简得． 【巩固练习2】（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 【巩固练习3】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)，，， 相减得，即，又， 所以数列是以4为公比的等比数列， 所以． (2) 【分析】（1）利用和的关系结合等比数列的定义即可证明； （2）先求出的导数，再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）略 （2），， ， ， ， 相减得 ， 整理得． 【题型3】 分式型裂项相消法 核心知识 适用特征：通项为分母是两个一次因式乘积的分式 基础模型： 求和本质：拆开后相邻项正负抵消，仅剩有限首尾项 方法技巧 先拆分通项并配平系数，勿漏拆分系数 逐项展开写出前几项、后几项，锁定剩余项 抵消规律：前面剩几项后面就剩几项，首尾对称留存 根式型分式优先分母有理化后再裂项 【经典例题1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 【答案】 【分析】根据题意数列为首项为，公差为的等差数列，则，再利用裂项相消法求数列求和. 【详解】根据题意，，即， 即数列为公差为的等差数列， 由，则， 所以， 则， 所以数列的前10项和为 . 【经典例题2】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）得，. 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 又和均随的增大而增大， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，最小值为. 所以． 【详解】（1）因为， 所以，所以. 当时，， 所以，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 【巩固练习1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设公差为，由，得，，解得， ∴； （2）由得， ∴； （3）， . 【巩固练习2】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【题型4】 指数型裂项相消法 核心知识 适用特征：通项含指数式，可拆成两项差 常见模型：、 和式结果： 方法技巧 用待定系数法拆分指数分式，凑成两项差形式 展开书写，看清抵消位置，指数底数勿混淆 能裂项优先裂项，计算量小于错位相减 化简结果注意合并同类项 【经典例题1】（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，. (1)证明:数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)， 当时，，解得： 当时，， ， 所以，即：，，， 所以是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）利用递推公式即可证明； （2）利用裂项相消的方法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则， 所以， 则. 【经典例题2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2). 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得，再求出，从而可得，然后用裂项相消法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，， 则， 所以. 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 【巩固练习2】（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 【巩固练习3】（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【详解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 【题型5】 分组求和法 核心知识 适用特征：通项可拆成两个熟悉数列相加（减），即 常见组合：等差+等比、等差+平方数列、三角函数+常数列 原理： 方法技巧 拆分通项，识别两个子数列类型 分别用对应公式求两个子数列之和 最后合并整理表达式 带的交替型优先考虑奇偶分组 【经典例题1】（2026·四川巴中·模拟预测）已知数列满足，（）． (1)设，求证数列为等比数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由，得，代入， 所以， 由 ，得，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列； 所以 (2) 【分析】（1）通过构造新数列，代入递推式验证，从而说明其为等比数列，再结合首项求通项； （2）由（1）得到，分别求等比数列部分和等差数列部分，相加即得前 项和． 【详解】（1）略． （2）由，得， 所以 其中：， 所以： 化简得 【经典例题2】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 【巩固练习1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 【巩固练习2】（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 【巩固练习3】（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）根据等差数列的性质，及结合（1）即可求出的通项公式； （3）结合（2），根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求解． 【详解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 【题型6】 奇偶项数列求和 核心知识 适用特征：通项含，或奇偶项表达式不同 关键：分奇数、偶数两种情况讨论 为奇数时，奇数项比偶数项多一项 方法技巧 设（偶数）与（奇数）分别求和 先算偶数项和，奇数项和在偶数和基础上加末项 两项一组配对合并，化简 结果写成分段形式，必要时统一成一个表达式 【经典例题1】（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 【经典例题2】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 【巩固练习1】（2026·安徽六安·模拟预测）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 【巩固练习2】（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 【巩固练习3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 【题型7】 数列求和与不等式证明 核心知识 常见考法：放缩后求和证明不等式、求和后证明范围 放缩核心：放成可裂项相消或等比求和的形式 放缩尺度：方向一致，不能放得过大或过小 方法技巧 先求和：能直接求出解析式则研究单调性求最值 需放缩时：分式放缩、指数放缩，优先裂项放缩 注意放缩起点，常保留前1项或前2项，从第3项开始放缩 证明常数：求出上界并与右边常数对比 证明单调性：用作差判断增减 【经典例题1】（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ． 综上，． 【经典例题2】（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 【巩固练习1】（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，两式相减即可求解； （2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 【巩固练习2】（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3) 因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式； （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）略 【巩固练习3】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 课后过关检测 一、解答题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【详解】（1）证明：由题意,在数列中, ， ∴,，   又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）在中，   ， ， 两式相减得， ， ∴ 2．（2026·湖南永州·一模）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. （2）略 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)100 (3) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 5．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 6．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列 是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以 9．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 10．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【答案】(1)， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. (2) 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时， ， 所以. 12．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. （2）（i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 13．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 14．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2) 由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 【分析】（1）构造等比数列求通项公式； （2）利用裂项相消求出，并判断的正负性. 【详解】（1）由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （2）略 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     16．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式，联立方程组即可求解； （2）（ｉ）先分析数列的分组结构，算出前21项包含的和的项数，分别求和后相加即可； （ⅱ）先求出前组的和的表达式，再结合的特殊情况验证，最后用放缩法证明时和不在等比数列中，从而得出所有符合条件的. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 若要使得为数列中的项，则，即， 当时，上式不成立；当时，，上式也不成立； 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $