第26讲 数列的概念及通项公式（8个核心题型归纳）-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦数列的概念及通项公式，覆盖周期性、单调性、累加法、累乘法等八大核心题型，按“核心知识-方法技巧-真题训练”逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、分层真题演练，帮助学生构建知识网络，突破数列通项求解难点。 资料突出数学思维与数学眼光的培养，如周期性题型引导学生列举前项观察规律发展数学眼光，构造法教学通过待定系数推理构建新数列强化逻辑思维。设置经典例题与巩固练习分层训练，配合课后检测即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第26讲 数列的概念及通项公式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 数列的周期性 核心知识 对于数列若存在非零正整数满足对任意恒成立 则为数列的一个周期 最小的正数称作数列的最小正周期 周期数列的项按照固定周期循环重复 方法技巧 根据递推式依次算出前若干项观察重复规律找到周期 求时利用除以周期取余数余数对应项即为所求 注意区分周期和半周期必须完整重复才算一个周期 遇到分式递推分段递推优先列举找周期 周期数列求和可先求一个周期内总和再看有多少个完整周期与剩余项 【经典例题1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【巩固练习2】（2026·福建福州·三模）已知数列满足，，则数列的前7项和为__________. 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）已知数列满足，且，则（） A．， B．， C． D． 【题型2】 数列的单调性 核心知识 递增数列：满足 递减数列：满足 常数列：满足 数列是定义域为正整数集或其子集的特殊函数 方法技巧 作差法：计算判断结果正负 作商法：条件下计算与1比较大小 把通项看作关于的函数利用函数单调性分析 数列最值注意只能取正整数不取连续实数 含参数数列单调性根据不等关系求解参数范围 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·江苏苏州·三模）（多选）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【巩固练习1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【巩固练习3】（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 累加法求数列通项公式（重点） 核心知识 递推形式 当为可求和的表达式时使用累加法 方法技巧 依次写出条件下的个差式 左右两侧分别累加中间项相互抵消 记得验证时是否满足推导出来的通项 可以是常数一次式指数式等可求和形式 抵消完成之后再合并计算右侧求和 【经典例题1】（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【经典例题2】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【巩固练习1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【巩固练习2】（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足， ，则数列的前5项的和为________． 【巩固练习3】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 【题型4】 累乘法求数列通项公式（重点） 核心知识 递推形式 方法技巧 依次写出条件下个分式 等式左右两边分别相乘中间分式约分消去 必须检验是否符合求出的通项公式 递推式中不能出现否则不能使用累乘法 约分之后再化简右侧乘积表达式 【经典例题1】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【经典例题2】（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【巩固练习3】（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【题型5】 由an与sn的关系求数列通项公式（重点） 核心知识 代表数列前项和 只能用计算 方法技巧 第一步单独计算得到 第二步利用作差推导 检验是否满足得到的表达式 满足就合并写成一个通项不满足写成分段形式 题目条件若给出与混合等式做与两式相减消去 【经典例题1】（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 【经典例题2】（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【巩固练习1】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【巩固练习2】（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【巩固练习3】（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【题型6】 构造法求数列通项公式（重点） 核心知识 典型递推（为常数） 构造等比数列 解出 构成公比为的等比数列 方法技巧 识别一阶线性递推模型 待定系数求出常数构造出新等比数列 先求构造数列的通项再反解 部分题型需要两边同除指数式构造等差 求出结果后代入前两项验算正确性 【经典例题1】（2026·河北邢台·三模）已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【经典例题2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【巩固练习1】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【巩固练习2】（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【题型7】 由递推关系求数列的项 核心知识 已知初始项与递推关系式 代入序号依次迭代可以求出数列任意指定项 方法技巧 已知直接代入递推式算出再算逐步向后迭代 不需要求完整通项只求某一项直接迭代计算 注意递推公式中的取值范围 分式递推注意分母不为零 迭代计算仔细避免计算失误 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【巩固练习1】（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【巩固练习2】（河北衡水中学2024届下学期高三年级五调考试（数学））在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 【巩固练习3】（2026·河北张家口·三模）已知数列的首项，且，则_____． 【题型8】 由递推数列研究数列的有关性质（难点） 核心知识 通过递推关系式可以研究数列周期性单调性取值范围最值等性质 不需要完全解出通项也可以分析数列内在特征 方法技巧 研究周期性多列举若干项观察循环规律 研究单调性计算判断正负 研究取值范围利用递推做不等式放缩 可以使用数学归纳法辅助证明数列相关性质 遇到复杂递推优先分析前几项寻找规律再做严谨推导 【经典例题1】（2026·北京大兴·三模）已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，都有，且单调递增 B． C．若，则 D．若，则 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知正项数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·北京·三模）数列满足，则以下说法正确的是________． ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则，，有． 【巩固练习3】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）（多选）已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列单调递减，且 C．对任意，都有 D．记为的前项和，则对任意，都有 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 二、多选题 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，且，则（     ） A．数列为等差数列 B． C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为 7．（2026·湖北黄冈·二模）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 8．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知正项数列满足，则（    ） A． B．存在等差数列满足条件 C． D． 10．（2026·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，，则下列说法正确的是（　　） A．， B．，有解 C．， D．， 三、填空题 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，且，则_________． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 四、解答题 13．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 15．（2026·湖南长沙·三模）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 16．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第26讲 数列的概念及通项公式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 数列的周期性 核心知识 对于数列若存在非零正整数满足对任意恒成立 则为数列的一个周期 最小的正数称作数列的最小正周期 周期数列的项按照固定周期循环重复 方法技巧 根据递推式依次算出前若干项观察重复规律找到周期 求时利用除以周期取余数余数对应项即为所求 注意区分周期和半周期必须完整重复才算一个周期 遇到分式递推分段递推优先列举找周期 周期数列求和可先求一个周期内总和再看有多少个完整周期与剩余项 【经典例题1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，， 是偶数，故， 是奇数，，故． 【经典例题2】（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】先通过递推公式算出数列的周期为4，且一个周期内的项乘积为1，再用2026除以周期得到余数，最后用周期乘积和余下两项即可计算结果. 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 【巩固练习1】（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】，，，， 可见，数列的周期为， ， ． 【巩固练习2】（2026·福建福州·三模）已知数列满足，，则数列的前7项和为__________. 【答案】5 【详解】因为，，所以，，，所以数列的周期为3， 则数列的前7项和. 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）已知数列满足，且，则（） A．， B．， C． D． 【答案】ABC 【分析】通过递推公式求出前几项发现其周期为4且满足，据此判断各个选项. 【详解】因为，所以：，， ， 由此可发现数列是以4为周期的周期数列，即，且有恒成立. 对于A， ， ， 故，故选项A正确. 对于B，由前面计算可知，则； ，则，此时， 所以，故选项B正确. 对于C，因为数列是以4为周期的周期数列， 且一个周期内的和为，又因为， 所以 ，故选项C正确. 对于D，因为数列是以4为周期的周期数列， 且一个周期内的积为 ，又因为， 所以，故选项D错误. 故选：ABC. 【题型2】 数列的单调性 核心知识 递增数列：满足 递减数列：满足 常数列：满足 数列是定义域为正整数集或其子集的特殊函数 方法技巧 作差法：计算判断结果正负 作商法：条件下计算与1比较大小 把通项看作关于的函数利用函数单调性分析 数列最值注意只能取正整数不取连续实数 含参数数列单调性根据不等关系求解参数范围 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 【经典例题2】（2026·江苏苏州·三模）（多选）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【答案】ABC 【分析】利用、求出可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用求出判断出单调性可判断CD. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 所以 ，故A正确； 对于B，由已知，所以， 当时，，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C， 当时，， 所以， 所以当时开始单调递增且为负数， 且当时，为最大项， 为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误. 【巩固练习1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若数列为递增数列，则成立，即充分性成立； 若，又， 当时，符合条件，但“数列不为递增数列”，故必要性不成立， 综上，“数列为递增数列”是“”的充分不必要条件． 【巩固练习2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 【巩固练习3】（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 【题型3】 累加法求数列通项公式（重点） 核心知识 递推形式 当为可求和的表达式时使用累加法 方法技巧 依次写出条件下的个差式 左右两侧分别累加中间项相互抵消 记得验证时是否满足推导出来的通项 可以是常数一次式指数式等可求和形式 抵消完成之后再合并计算右侧求和 【经典例题1】（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 【经典例题2】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 【巩固练习1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 【巩固练习2】（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足， ，则数列的前5项的和为________． 【答案】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足， ， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 【巩固练习3】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 【答案】D 【分析】变形给定的递推公式并构造新数列，利用累加法求出通项公式即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 【题型4】 累乘法求数列通项公式（重点） 核心知识 递推形式 方法技巧 依次写出条件下个分式 等式左右两边分别相乘中间分式约分消去 必须检验是否符合求出的通项公式 递推式中不能出现否则不能使用累乘法 约分之后再化简右侧乘积表达式 【经典例题1】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 【经典例题2】（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以 ，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 【巩固练习2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 【巩固练习3】（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) 由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. 【题型5】 由an与sn的关系求数列通项公式（重点） 核心知识 代表数列前项和 只能用计算 方法技巧 第一步单独计算得到 第二步利用作差推导 检验是否满足得到的表达式 满足就合并写成一个通项不满足写成分段形式 题目条件若给出与混合等式做与两式相减消去 【经典例题1】（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 【答案】11 【分析】利用与的关系计算求解即可. 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 【经典例题2】（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 【巩固练习1】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． 【巩固练习2】（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【巩固练习3】（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 【题型6】 构造法求数列通项公式（重点） 核心知识 典型递推（为常数） 构造等比数列 解出 构成公比为的等比数列 方法技巧 识别一阶线性递推模型 待定系数求出常数构造出新等比数列 先求构造数列的通项再反解 部分题型需要两边同除指数式构造等差 求出结果后代入前两项验算正确性 【经典例题1】（2026·河北邢台·三模）已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 【经典例题2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 【巩固练习1】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 【巩固练习2】（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 【巩固练习3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 【题型7】 由递推关系求数列的项 核心知识 已知初始项与递推关系式 代入序号依次迭代可以求出数列任意指定项 方法技巧 已知直接代入递推式算出再算逐步向后迭代 不需要求完整通项只求某一项直接迭代计算 注意递推公式中的取值范围 分式递推注意分母不为零 迭代计算仔细避免计算失误 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】应用递推公式逐个计算求解. 【详解】由， 依次计算： 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，所以． 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【答案】 【分析】根据已知递推公式，从首项开始逐步计算得到. 【详解】 ， ， ，. 【巩固练习1】（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 【巩固练习2】（河北衡水中学2024届下学期高三年级五调考试（数学））在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 【答案】A 【详解】由题得， ， ， ， 【巩固练习3】（2026·河北张家口·三模）已知数列的首项，且，则_____． 【答案】 【分析】根据递推关系，分别令和，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 【题型8】 由递推数列研究数列的有关性质（难点） 核心知识 通过递推关系式可以研究数列周期性单调性取值范围最值等性质 不需要完全解出通项也可以分析数列内在特征 方法技巧 研究周期性多列举若干项观察循环规律 研究单调性计算判断正负 研究取值范围利用递推做不等式放缩 可以使用数学归纳法辅助证明数列相关性质 遇到复杂递推优先分析前几项寻找规律再做严谨推导 【经典例题1】（2026·北京大兴·三模）已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 【答案】①③ 【分析】对于①，根据已知条件求出，，进而求出，再比较与的大小；对于②，通过作差法判断与的大小关系，从而确定数列的单调性；对于③，利用放缩法结合已知条件得到的范围，进而求出的范围；对于④，举反例可说明. 【详解】当时，由可得， 因为数列是正项数列，所以， 则，所以， 那么，， 因为，所以，故①正确； 已知，（）， 两式相减得：， 即， 因为数列是正项数列，所以，那么与同号. 当时，，所以，则， 所以，即，数列单调递减，故②错误； 若，则，，故， 则时，故， 得到，故③正确； 当时，当，， ，，则，故④错误. 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，都有，且单调递增 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A选项，首先利用数学归纳法，结合递推公式，证明对所有都有，再通过作差法比较与的大小，判断数列单调性；对于B选项，将代入，通分后对分子因式分解，验证等式是否成立；对于C选项，先根据递推公式写出的表达式，再代入，化简后与对比；对于D选项，直接根据已知依次递推计算验证结果. 【详解】对于A,时， 成立， 假设 时 成立，由均值不等式得（，等号不成立）， 因此归纳成立， 因为 ， 由 得，故， 单调递增，A正确； 对应B， B正确； 对于C，因为，则 ， C正确； 对于C,，可得 ，，，D错误. 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知正项数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先把递推式改写为．A选项直接代入；B、C选项分别证明递推函数小于、大于；D选项在上建立更强的上界，使数列按固定比例衰减． 【详解】由递推式可得 对于A，因为，所以由上述等式得故A正确． 对于B，先证明当时，． 令则，且 所以，即． 令，由及上述等式得 指数函数在实数集上单调递增，所以．故B错误． 对于C，先证明当时，， 令，，则， 且， 所以，即，， 两边同乘，得， 令，由上述等式得，所以．于是即．故C正确． 对于D，由B选项的结论可知． 下面证明当时，， 令，则，且， 再令，则． 当时，，所以， 因此，从而，故，即上述不等式成立． 令，由及上述不等式得，所以 反复使用上式，得 又由二项式定理， 所以， 结合上述估计，得，故D错误． 【巩固练习2】（2026·北京·三模）数列满足，则以下说法正确的是________． ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则，，有． 【答案】①②③ 【分析】根据递推关系依次判断即可. 【详解】对于①，若，则， 则，，，，， 代入，依次求解得，， ，，，故①正确； 对于②，若，则， 则，得， ，得， ，得， ，得， 则，故②正确. 对于③，若，， 当为偶数时，，得， ，得， ，得， ，得， 所以，所以，即， 由于，，，得， 所以，故③正确； 对于④，若，， 当为奇数时，，，两式相减得， 即，取，则，，即奇数项为或， 当为偶数时，，，两式相加得， 即， 取，则， ，，即偶数项单调递增且， 因此，当时，数列各项与3的距离的最小值为1，故可取，此时对任意，均有， 所以不存在m满足，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③. 【巩固练习3】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）（多选）已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列单调递减，且 C．对任意，都有 D．记为的前项和，则对任意，都有 【答案】ABD 【分析】由题意可得是等比数列可判断A；由题意可得，进而可判断B；利用赋值法计算判断C；利用题意得，进而计算判断D. 【详解】对于A：，又因为， 结合，可知且， 所以两边同时取以为底的对数，得 ， 于是是以1为首项，2为公比的等比数列，故A正确. 对于B：由选项A可知：，得． 又因为，得， 则数列单调递减，显然 ，于是 ，得，故B正确. 对于C：当时，，故C错误. 对于D：令，得， 于是， 因此，故D正确. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】应用已知结合赋值法计算求解. 【详解】由题意，. 令，得， 所以， 即. 令，得， 所以. 令，得， 所以. 令，得. 所以. 令，得. 所以. 令，得， 所以. 2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 3．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项. 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由正余弦两角和公式可得，然后由最小正周期可得答案. 【详解】 注意到， 又函数的最小正周期为6，则， 从而. 二、多选题 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为： ，故D正确. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，且，则（     ） A．数列为等差数列 B． C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为 【答案】BCD 【分析】利用与的关系，求出数列的通项公式及前三项的相邻两项之差，即可判断A；根据通项公式求出，即可判断B；利用二次函数的对称性，求出取最小值时的值，即可判断C；利用基本不等式求出数列的最小值，即可判断D. 【详解】因为 ，当 时， ， 当时， ， 且当时， ，所以， 对于A，， ， 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当 时， ，故B正确； 对于C，因为的对称轴为， 又，所以当 或 时，同为最小值，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以的最小值为 ，故D正确． 7．（2026·湖北黄冈·二模）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 8．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知递推式得且，进而有判断A、B；应用的关系得判断C；根据等差数列的定义及前n项和公式判断D. 【详解】因为，即， 所以，则， 所以，而，则， 所以数列是各项都为0的常数列，不是等比数列，故A错误. 因为，所以数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为2的等比数列，故B正确. 由，得， 两式相减并整理，可得，所以， 两式相减并整理，可得，所以， 所以数列是等差数列，故C正确. 当时，由，可得，所以， 又，所以等差数列的公差为1，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知正项数列满足，则（    ） A． B．存在等差数列满足条件 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过分析数列的单调性来判断选项；根据等差数列的定义判断是否存在满足条件的等差数列，即可判断选项；将已知递推数列进行化简变形即可判断选项；利用平方差公式分别表示出和，再结合不等式基本性质即可判断选项. 【详解】解：由，则， 两边同时平方得，化简整理得，选项正确； 由，则，又数列为正项数列，则， 所以，因此数列为递增数列，所以，选项正确； 假设数列为等差数列，公差为，则，即， 代入得，整理得， 两边同时平方得，化简得， 此式对所有均成立，则，即，而此时，矛盾， 所以不存在这样的等差数列，选项错误； 因为， ， 所以， 因为，则，不等式两边同时加上， 则， 所以，选项正确. 10．（2026·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，，则下列说法正确的是（　　） A．， B．，有解 C．， D．， 【答案】BCD 【分析】先判断数列的单调性，A选项代入几个值进行计算验证答案，B选项通过数列的单调性验证答案，C选项用数学归纳法求证，D选项先取的倒数进行计算比较，再倒回来即可. 【详解】由题意可得，因此数列单调递减，故， 又因且，故数列，. 对于A选项，，， ，故A选项错误； 对于B选项，由选项可知，且数列单调递减，， 因此，故B选项正确； 对于C选项，令，令， 即验证即可，， 设成立，，且 因为，，则，故，所以， 所以C选项正确； 对于D选项，因为，取倒数为， 因为，所以，故， 化简得，故，解得，故D选项正确. 三、填空题 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，且，则_________． 【答案】 【详解】由题意可知，，，，， 以此类推，可知. 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 四、解答题 13．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ． 综上，． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 15．（2026·湖南长沙·三模）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由，得， 所以，即， 当时，，故， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． （2），， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 故时，， 故，，所以数列的最大值为. 16．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据等差数列的定义写出的表达式，再利用得到递推关系，最后累乘求出通项公式. (2)先化简的表达式，再用错位相减法求出数列的前项和. 【详解】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. （2）由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：， 整理后得：. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $