第14讲 导数研究函数的单调性（7个核心题型归纳）讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数研究函数单调性这一高考核心考点，按导函数与原函数关系、不含参数/含参数单调性分析、由单调性求参数范围等七大题型系统架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生突破分类讨论、构造函数等难点。 资料以分层题型设计和方法技巧总结为特色，如含参数单调性分析中按定义域、导函数类型、零点位置分层讨论，培养学生数学思维和逻辑推理能力。设置经典例题与巩固练习匹配高考难度，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第14讲 导数研究函数的单调性 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f '(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上__单调递增______ f '(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上__单调递减______ f '(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是__常数函数_____ 注：“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 导函数与原函数的关系 核心知识 1.单调性判定定理 在区间上若在上单调递增 在区间上若在上单调递减 2.充要条件 在区间单调递增在恒成立且不在任意子区间恒为0 在区间单调递减在恒成立且不在任意子区间恒为0 3.图像对应关系 图像在x轴上方原函数递增 图像在x轴下方原函数递减 零点对应原函数单调性分界点（极值点候选） 方法技巧 1.区分充分条件与充要条件 是递增充分不必要条件 是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） 2.图像题技巧 先看导函数正负区间再判断原函数增减 不要混淆增减速度与导函数大小 3.易错提醒 导函数零点不一定是极值点（如不是极值点） 【经典例题1】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 【巩固练习1】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·山东·一模）（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（    ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．解集是 【题型2】 求不含参数的函数的单调性 核心知识 求解单调区间标准依据 解不等式、解集对应单调区间 方法技巧 1.通用解题步骤 ①写出函数定义域（优先第一步极易漏） ②求导 ③因式分解整理 ④解方程划分定义域内区间 ⑤判断每个区间内正负写出单调区间 2.书写规范 单调区间不能用“”连接多个区间用逗号隔开 3.优先化简导函数通分、因式分解便于判断符号 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【经典例题2】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【巩固练习1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是_____. 【巩固练习2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【题型3】 含参数函数的单调性分析 核心知识 本质 对符号进行分类讨论 参数影响导函数零点、零点大小、零点是否在定义域内 方法技巧 1.讨论顺序通用思路 ①先求定义域求导整理 ②讨论最高次系数（区分一次、二次导函数） ③有二次式：判别式分三类 ④时比较两根大小判断根是否落在定义域内 2.分类讨论分界点来源 最高次系数、判别式、根的大小、根与定义域边界 3.结论格式 分情况写出参数范围+对应单调递增、递减区间 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论函数在区间上的单调性； 【巩固练习1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； 【巩固练习3】（2026·福建泉州·模拟预测）设a，b为实数，且，函数． (1)求函数的单调区间； 【题型4】 由函数的单调性求参数范围 核心知识 1.在区间上单调递增在上恒成立且不存在子区间使 2.在区间上单调递减在上恒成立且不存在子区间使 注意不能写成、等号必须带上 方法技巧 1.恒成立转化思路 分离参数法（优先） 把参数单独放一侧转化为或 2.无法分离参数 构造新函数研究最值满足不等式 3.检验临界参数 取等时验证导函数是否会在某区间恒等于0出现则舍去临界值 4.区分题意 “在区间单调”vs“单调区间是某区间”两类题意列式完全不同 【经典例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【巩固练习2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5】 由函数的单调性解不等式 核心知识 若在区间单调递增 若在区间单调递减 方法技巧 1.解题步骤 ①判断单调性 ②确定自变量取值必须在同一单调区间 ③脱去符号转化普通不等式 ④结合定义域取交集得到解集 2.常见题型 抽象函数不等式、同构型函数不等式 3.关键要点 自变量必须落在同一个单调区间内不可直接脱 【经典例题1】（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【经典例题2】（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）设，则使得的的取值范围是______. 【巩固练习1】（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 【巩固练习2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【巩固练习3】．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知函数，则不等式的解集为_____________． 【题型6】 由函数的单调性比较大小 核心知识 利用单调性实现函数值与自变量大小互相转化 自变量越大单调增函数函数值越大 自变量越大单调减函数函数值越小 方法技巧 1.解题流程 ①判断函数单调性 ②比较自变量的大小关系 ③根据单调性推出函数值大小 2.辅助技巧 自变量不在同一区间时利用奇偶性、对称性转化自变量 3.注意事项 优先确认自变量全部属于函数单调区间 【经典例题1】（25-26高二下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型7】 由导函数的正负构造原函数比较大小 核心知识 根据题干给出含有与的关系式构造新函数 通过判断正负确定单调性再比较函数值大小 方法技巧 1.常用构造模型 2.构造思路 观察与的系数形式匹配乘积、商的求导法则 3.解题步骤 ①构造辅助函数 ②求导判断正负得到单调性 ③将待比较式子改写为形式 ④利用单调性直接比较大小 【经典例题1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·期末）已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏·期中）定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津·期末）已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·新疆喀什·期末）函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．（山东德州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________． 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）若为单调函数，则的最大值为________. 13．（24-25高三·全国·二轮复习）已知，，，则、、的大小关系是_________． 14．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接） 15．（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）、当时，都有，则实数的最大值为__________． 16．（24-25高二下·重庆万州·期中）若 则它们的大小关系是（用小于符合，从左到右，从小到大的顺序排列）__________. 17．已知，则_________ 三、解答题 18．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 20．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第14讲 导数研究函数的单调性 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f '(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上__单调递增______ f '(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上__单调递减______ f '(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是__常数函数_____ 注：“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 导函数与原函数的关系 核心知识 1.单调性判定定理 在区间上若在上单调递增 在区间上若在上单调递减 2.充要条件 在区间单调递增在恒成立且不在任意子区间恒为0 在区间单调递减在恒成立且不在任意子区间恒为0 3.图像对应关系 图像在x轴上方原函数递增 图像在x轴下方原函数递减 零点对应原函数单调性分界点（极值点候选） 方法技巧 1.区分充分条件与充要条件 是递增充分不必要条件 是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） 2.图像题技巧 先看导函数正负区间再判断原函数增减 不要混淆增减速度与导函数大小 3.易错提醒 导函数零点不一定是极值点（如不是极值点） 【经典例题1】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 【经典例题2】（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 【答案】（答案不唯一）如等 【详解】任意，都有，所以函数在上单调递增或常函数等， 因为，所以可以是幂函数或或等函数， 又是偶函数，故，即， 所以，所以，为常数， 综上，函数的解析式不唯一， 可以是，等. 【巩固练习1】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 【巩固练习2】（2025·山东·一模）（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（    ）    A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．解集是 【答案】BCD 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上下升降可得以及的解集，由此可判断A、D项；由图象分析可知，结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为，结合A可得，故B项正确； 对于C项，又为二次函数，根据三次函数的图象可知， 因为函数在以及处取得极值，故， 故，因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由，可得或； 由图象知，当时，， 又的解集为，所以由可得； 由图象知，当时，， 又的解集为，所以由可得； 所以的解集是，故D项正确. 故选：BCD. 【题型2】 求不含参数的函数的单调性 核心知识 求解单调区间标准依据 解不等式、解集对应单调区间 方法技巧 1.通用解题步骤 ①写出函数定义域（优先第一步极易漏） ②求导 ③因式分解整理 ④解方程划分定义域内区间 ⑤判断每个区间内正负写出单调区间 2.书写规范 单调区间不能用“”连接多个区间用逗号隔开 3.优先化简导函数通分、因式分解便于判断符号 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 【经典例题2】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 【巩固练习1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是_____. 【答案】（写成，，，同样给分） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【巩固练习2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【巩固练习3】（24-25高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导函数，然后解不等式，结合对数函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 令得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B 【题型3】 含参数函数的单调性分析 核心知识 本质 对符号进行分类讨论 参数影响导函数零点、零点大小、零点是否在定义域内 方法技巧 1.讨论顺序通用思路 ①先求定义域求导整理 ②讨论最高次系数（区分一次、二次导函数） ③有二次式：判别式分三类 ④时比较两根大小判断根是否落在定义域内 2.分类讨论分界点来源 最高次系数、判别式、根的大小、根与定义域边界 3.结论格式 分情况写出参数范围+对应单调递增、递减区间 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论函数在区间上的单调性； 【详解】（1）由得． 若，则对任意，， 所以．因此在上单调递减． 若，令，解得． 当时，；当时，． 因此在上单调递增，在上单调递减． 【巩固练习1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； 【详解】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． 【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【巩固练习3】（2026·福建泉州·模拟预测）设a，b为实数，且，函数． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【题型4】 由函数的单调性求参数范围 核心知识 1.在区间上单调递增在上恒成立且不存在子区间使 2.在区间上单调递减在上恒成立且不存在子区间使 注意不能写成、等号必须带上 方法技巧 1.恒成立转化思路 分离参数法（优先） 把参数单独放一侧转化为或 2.无法分离参数 构造新函数研究最值满足不等式 3.检验临界参数 取等时验证导函数是否会在某区间恒等于0出现则舍去临界值 4.区分题意 “在区间单调”vs“单调区间是某区间”两类题意列式完全不同 【经典例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 【经典例题2】（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，根据导函数判断原函数的单调性，画出草图，利用数形结合转化求解a的范围即可. 【详解】由题意，得，令，解得或， 当时，，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，再令，解得或者0，所以大致图像如图所示， 结合图像，要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，所以a可取2. 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 【巩固练习2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 【巩固练习3】（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 【题型5】 由函数的单调性解不等式 核心知识 若在区间单调递增 若在区间单调递减 方法技巧 1.解题步骤 ①判断单调性 ②确定自变量取值必须在同一单调区间 ③脱去符号转化普通不等式 ④结合定义域取交集得到解集 2.常见题型 抽象函数不等式、同构型函数不等式 3.关键要点 自变量必须落在同一个单调区间内不可直接脱 【经典例题1】（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 【经典例题2】（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）设，则使得的的取值范围是______. 【答案】 【分析】构造新函数，判断其奇偶性，然后利用导数判断单调性，结合奇偶性和单调性去掉函数符号即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数即为， 则，易知， 所以是定义在上的偶函数， ， 当时，，所以， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，即，即，解得. 故答案为： 【巩固练习1】（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】根据函数的对称性和单调性可得的解集中有且仅有2个整数，设，利用导数讨论其单调性后可得实数的最大值. 【详解】设， 因为均为上的增函数，故为上的奇函数， 又， 由不等式可化为， 即，故， 故的解集中有且仅有2个整数， 故的解集中有且仅有2个整数，设， 则， 则当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 故的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的单调性以及奇偶性将问题转化为不等式的解集中的整数个数问题. 【巩固练习2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】首先将不等式同构变形，转化为，利用函数的不等式解抽象不等式，再利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】 ， ， 设，，函数单调递增， 即，则， 即， 设，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对不等式进行同构变形，，从而转化为利用导数分析函数性质问题. 【巩固练习3】．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知函数，则不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【题型6】 由函数的单调性比较大小 核心知识 利用单调性实现函数值与自变量大小互相转化 自变量越大单调增函数函数值越大 自变量越大单调减函数函数值越小 方法技巧 1.解题流程 ①判断函数单调性 ②比较自变量的大小关系 ③根据单调性推出函数值大小 2.辅助技巧 自变量不在同一区间时利用奇偶性、对称性转化自变量 3.注意事项 优先确认自变量全部属于函数单调区间 【经典例题1】（25-26高二下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，构造函数利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，即可得解. 【详解】令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 即，所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，即，所以， 所以，即， 综上所述，. 【经典例题2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 【巩固练习1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，得，利用基本不等式即可比较大小，构造函数令，利用导数研究单调性进而比较大小，进而求解. 【分析】因为，所以，故，则，即； 又，，令， 则，当时，，所以在上单调递增， 则，即，所以，即. 综上，． 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可． 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以，则； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以，则. 所以； 设函数（），对其求导， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以， 所以，即. 综上可得：． 故选：D 【巩固练习3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 【题型7】 由导函数的正负构造原函数比较大小 核心知识 根据题干给出含有与的关系式构造新函数 通过判断正负确定单调性再比较函数值大小 方法技巧 1.常用构造模型 2.构造思路 观察与的系数形式匹配乘积、商的求导法则 3.解题步骤 ①构造辅助函数 ②求导判断正负得到单调性 ③将待比较式子改写为形式 ④利用单调性直接比较大小 【经典例题1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导函数的正负与原函数单调性的关系，得到构造函数的单调性，进而求解不等式即可． 【详解】设，，则 ， 因为，则，故， 则单调递增；因为，则； 则等价于，解得； 故的取值范围为． 【经典例题2】（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·期末）已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，通过求导判断函数的单调性，再结合条件，利用单调性求解不等式即可.. 【详解】令，，则， 可知当时，是增函数. 又，所以， 在上，不等式的解集就是的解集， 也即的解集. 【巩固练习2】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏·期中）定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知函数最小正周期为3，由构造一个函数的导数，利用该函数单调性求解问题. 【详解】由可知,设，则 所以，函数最小正周期为3， 由可得， 设(C为常数)，则，那么 ，在上单调递增， ， ， 由可得，， 即，又在上单调递增 所以，，故选A. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在和上单调递减，在上单调递增， 则当时，，当时，， 因此表示与同号， 当时，只有时，，当时，只有时，， 则的解集为. 2．（25-26高二下·天津·期末）已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式. 【详解】构造，则， 因为，所以，所以在上单调递增， ， 因为函数的定义域是，所以， 所以，， 又， 所以，所以，所以， 综上，，即不等式的解集是. 3．（25-26高二下·新疆喀什·期末）函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，令，解不等式，即可得到函数的单调递增区间. 【详解】由题意，求导得， 令，因为，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 4．（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导得到函数的单调递减区间，再令给定区间为单调递减区间的子集从而求得参数范围. 【详解】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 5．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 6．（山东德州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围. 【详解】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. 7．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 8．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对求导得：，由题意在恒成立， 即在恒成立， 时，，故. 9．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数，结合恒成立问题求出最大值即可. 【详解】显然定义域,因为, 因为函数在区间上单调递减，即内恒有, 即变形可得,， 设,求导 , 所以在上单调递增，因此,要使在内恒成立， 只需,即. 10．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，题意即递增.由恒成立，得对任意恒成立，又，故，且可行，可得答案. 【详解】函数定义域为， 由等价于：，即：， 令，则题意等价于在上严格递增. 求导：，若严格递增，则必须有， 即，，对任意恒成立. 而，所以：， 再验证时：，等号仅在处成立， 因此在上严格递增，满足题意. 所以实数的取值范围为：. 二、填空题 11．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数，， 故函数是偶函数， 函数求导得， 当时，，故，则在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减； 已知，等价于，即， 恒成立，则只需， ，解得或， 故实数的取值范围是． 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）若为单调函数，则的最大值为________. 【答案】 【分析】将单调性问题转化为导数恒小于等于零，求解参数范围即可. 【详解】函数，则， 设，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，， 且时，，当时，， 即， 因为函数为上的单调函数，只能是在上恒成立， 所以，即， 即的最大值为. 13．（24-25高三·全国·二轮复习）已知，，，则、、的大小关系是_________． 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 14．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函，利用导数研究单调性比较，进而得到答案. 【详解】令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以，综上，结论为. 故答案为：. 15．（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）、当时，都有，则实数的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，则对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的最大值. 【详解】、当时，都有，即， 即， 令，则，故函数在上为增函数， 故对任意的恒成立，故， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 16．（24-25高二下·重庆万州·期中）若 则它们的大小关系是（用小于符合，从左到右，从小到大的顺序排列）__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，而，则， 又， 所以. 故答案为：. 17．已知，则_________ 【答案】 【分析】利用泰勒展开式将变形，将变为，计算即可比较大小. 【详解】设，则，，，计算得. 故答案为： 三、解答题 18．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明：由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）略 19．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性． 【详解】（1）当时，， 所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 20．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)5. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出函数单调区间. （2）由（1）求出的最小值，进而建立不等式，利用导数确定函数单调性求解不等式. 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得 ， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，当时，， 由，得，整理得， 令，由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而，则由，得，因此，解得，又， 所以的最小值为5. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $