河北省邯郸市第一中学（博雅班）2026-2027学年高一上学期9月份月考数学试卷

邯郸市第一中学 2026 级高一年级九月考试试卷（博雅数学） 满分：150 分 考查范围：必修一第一章、第二章、第三章 3.1~3.2.1　　命题人：魏志卓　　审核人：王雪 一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ，，则命题 的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，， 都是正数，则 ，， 这三个数（　　） A．都大于 B．都小于 C．至多有一个大于 D．至少有一个不小于 5．“”是“关于 的方程 有一正一负根”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．函数 在 上有定义，若对任意 ，有 ，则称 在 上具有性质 ．设 在 上具有性质 ，现给出如下命题： ① 在 上是增函数； ② 在 上具有性质 ； ③若 在 处取得最大值 ，则 ，； ④对任意 ，，，，有 ． 其中真命题的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 8．设函数 为 与 中较大的数，若存在 使得 成立，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．设集合 ，，则（　　） A． B． C．若集合 ，则 D．若集合 ，则 10．已知 ，，，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数 满足 ，，且 ，则（　　） A． B． C．函数 的最小值为 D．函数 的最大值为 三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分．） 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ________． 13．已知二次函数 ，若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是 ________． 14．已知函数 若对于任意的 ，，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是 ________． 四、解答题（共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13 分）已知命题 ，，集合 为命题 为真命题时实数 的取值集合．集合 ． （1）求集合 ； （2）若 ，求实数 的值； 16．（15 分）已知函数 （）． （1）若关于 的不等式 的解集是实数集 ，求 的取值范围； （2）当 时，解关于 的不等式 ． 17．（15 分）已知函数 满足 ． （1）求 的解析式； （2）用定义法证明 在 上单调递减，并求 在 上的值域． 18．（17 分）在经济学中，我们将函数 的边际函数定义为 ．现已知某高科技企业每月生产某种设备最少 台最多 台，每生产 台（，），月收入函数为：（单位：千万元），月成本函数为：（单位：千万元）． （1）求月收入函数 的最小值，并求出此时的 的值； （2）求成本函数 的边际函数 的最小值； （3）求每月企业利润 的最大值． 19．（17 分）已知函数 和 ，定义集合 ． （1）设 ，，求 ； （2）设 ，，当 时，求 的取值范围； （3）设 ，，，若 ，求 的取值范围． 邯郸一中 2026 级高一九月考试（博雅数学） 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $邯郸市第一中学2026级高一年级九月考试试卷 (博雅数学) 满分：150分 考查范围：必修一第一章、第二章、第三章3.13.2.1 命题人：魏志卓 审核人：王雪 参考答案与解析 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 1.若集合P=x-3<x-2<3,={l,0,12,4,则Pn0=（) A-1,012,4B.{-l,012yc.{0,124 D.1,2,4} 【答案】C 【分析】先解不等式化简集合P,再与Q求交集。 【解答】由-3<x-2<3得-1Kx<5,即P={x-1x<5} 又卫={l0,12,4所以Pn0=0,12,4号.故选c 2.已知命题p:x∈，+0)，X2-x+2≥0，则命思P的香定为() A.r∈l+∞），x2-x+2≥0 B.x∈[l,+o）,x2-x+2<0 C.x∈(-0,1)，x2-x+2≥0 D.x∈(-0,1).x2-x+2<0 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：量词改为“廿”，结论要否定，量词后的范围不变. 【解答】命题P是存在量词命愿，其否定为：x∈L,+切，X2-x+2<0.故选B 2+ 3.已知正实数x,y满足+y=1,则Xy的最小值为() A.2 B.2V2 c.2+V2 D.2+2V2 【答案】D 1=y=1-1 2,1 【分析】把y写成yy,凑成x少后用“乘1法”（柯西不等式）· x=1-y=1-1 【解答】因为x+y=1,所以yyy, 2+x-2+L-1 x y x y 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第1页（共11页） (2+(x+)=3+2+23+22 x V ,当且仅当x=V2y时取等号， 2+X≥3+22-1=2+22 所以xy 故选D. 1 y.y+2+ 1 1 x+ 4已知x,y,2都是正数，则 z,x这三个数() A.都大于2 B.都小于2 C.至多有一个大于2 D.至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】三个数之和可以估计，用基本不等式求下界，再由平均数判断. 【解答】三数之和为 +r*》2*22-6 所以三个数的平均数不小于2，即至少有一个不小于2.故选D 5.“m<0”是“关于x的方程x2+2x+m=0有一正一负根”的() A.充要条件 B,充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】方程有一正一负根等价于两根之积小于0，再与m<0比较. 【解答】设两根为X,X,则=m 方程有一正一负根台x书=m<0(此时△=4-4m>0自动成立)， 所以“m<0”与“有一正一负根”互为充要条件.故选A. 6.若关于x的不等式am2+2(a-1)x+a-2<0 的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为( p. 【答案】A 【分析】左边可分解为(x+儿(x+)-2],令1=x+1后按口的符号讨论解集，再数整数点。 【解答】ar+2(a-l)x+a-2=(r+1(ar+a-2)=(x+)儿a(x+1)-2] 令1=x+1,不等式化为(M-2)0」 -1x2-1 若a>0,则 a,即 a,其中的整数为01,2，…： 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第2页（共11页） 3×2-1≤4 恰有4个整数解(0,12,3)需a 解得5 2 若a≤0，解集为无限集（或空集以外的无限区间），不可能恰有4个整数. 「21 所以 52 故选A. 两点利在上有定X,食西e,有告学rG+/】 则称f(:在[a,]上具有性质P.设f(四在[，3)上具有性质P,现给出如下命愿： o(冈在L,3)上是增函数： ②f()在[L]上其有性质P: ③若(：在x=2处取得最大值1，则f()=L,x∈L,] e.,5.阅，有+54小))6】 其中真命题的序号是() A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D 【分析】性质P就是“中点凸”，逐条判断：①举反例：②看(x） 是否仍满足中点不等式：③用 中点不等式夹逼；④两次使用性质P, 【解答】⊙取f()=(x-2,它在L3]上满足性质P,但在L,2]上单调递减，不是增函数， ①错： ②取f(四=k-2(它满足性质P),令8（四f()-2,取x=1,。=V2,中点 m=1+V2 2, 1+2) g(m)= na0 5-22 4 则 5-2W2、1 因为 4 （整价于32点，m8La(g】.所以8-(e)行 [h,5 上不具有性质P,②错： 殿e州在盒L4同里2- 2, 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第3页（共11页） 由性质P得 1=f)s[)+f(4-]s(+刊.所以fe)21,又f1.数 f(x)=1,®正确： w=+龙 v=5+龙 +龙++x4=+y ④令 2 2,则 4 2 两次使用性质P得 "2+]s)+f)+r)+】 ④正确 故选D. 8.设函数f(~为冈-1与x2-2x+a+3中较大的数，若存在x使得f()s0成立，则实 数a的取值范围为( a[-u4 D.【1 【答案】B 【分析】f四≤0等价于两个函数同时不大于0：先由冈-1≤0得x,再要求 2-2x+a+3在l,上的最小值不大于0， 【解答)f()=max-lr-2r+a+3}≤0等价于-1≤0且-2ax+a+3≤0， 由冈≤1得xe-,.记g(x)=x2-2ax+a+3=(x-a}+a+3-a2 当a>1时，g(x)在-1川上递减，8()m=8(0=4-a≤0，得a≥4： 当-1≤a≤1时，8()m=8(a=a+3-a≤0，即a2-a-3≥0，解得 as1-vi3 2 或 a≥1+v3 2,与-1≤a≤1无公共部分： 当-1时在【超Rsi。=g-)-4知s0,利0s as、4 综上“3或a之4.故选B. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.设集合A={xx=3k+L,k∈Z),B={xx=3k+2,k∈Z},则() 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第4页（共11页） A.A∩B=☑ B.AUB=Z C.若集合M=xx=6k+2,k∈Z,则M∈BD.若集合N={xx=6k+4,k∈Z, 则NsA 【答案】ACD 【分析】按整数除以3的余数分类：A是余1的数，B是余2的数：再检验6k+2、6k+4 的余数. 【解答】A:3k+1=3m+2要求3(k-m)=1,无整数解，故AnB=⑦，A正确； B:3EZ但3EAUB(3除以3余0)，B错误： C:6k+2=3(2k)+2∈B,C正确： D:6k+4=32k+)+1∈A,D正确.故选ACD. 10.已知a>0,b>0,a2+b2-ab=4,则下列不等式恒成立的是() 1+≤1 A.a b B.ab≤4 c.a+b≤4 D.a2+b2≤8 【答案】BCD 【分析】由a2+b2≥2ab得到ab的上界，再依次推出a+b、a+b2的上界：A用反例否定. 【解答】由a2+b2≥2ab得4=a2+b2-ab之ab,即ab≤4(a=b=2时取等)，B正确； 又(a+b'=a2+b+2ab=4+3ab≤4+12=16，故a+b≤4，c正确 a2+b2=4+ab≤4+4=8，D正确： A:取a=1, b=1+3 1+11 2,则ab,A错误.故选BCD. 1Ⅱ.已知函数()满足xy∈R,f()f()=fx+)+y,且)≠0，则() A.f(0)=0 B.f(1)=2 f(x) f(x) 1+√2 y= 1-5 y= C.函数x2+2 的最小值为 4 D.函数x2+2的最大值为4 【答案】BC x+1 【分析】赋值求(0)、(0，归纳得()=x+1:再求2+2的最值. 【解答】令x=y=0得f(o=f(O),故f(O)=0或f(0)=1 再令x=0,y=1得f(0)f(0四=f0,因为（四≠0，所以f(0)=1,A错误： 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第5页（共11页） 令x=1,y=-1得f0/(-)=f(0-1=0,故f(-)=0: 令x=2,y=-1得f(2)f(-)=f0)-2,所以f0=2,B正确： 由f(O)=L,()=2,f(2)=3可归纳得f()=x+1(验证(x+0y+)=+y+1+y成 立)· 爱， y-+2-x+0-2x2-2x+2 (x2+2)月 (x2+2 1-V5 令'=0得x=-1±V5:当x=-1-5时取最小值 4, 1+51+V2 当x=-1+V5时取最大值44，C正确，D错误.故选BC 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，满分15分.） 12.已知函数∫(6+)的定义域为（-2,0)，则函数f(2x-)的定义域为 【答案】(0,1) 【分析】定义域指自变量x的范围：先由x∈(-2,0)求出∫的定义域，再解2x-1的范围. 【解答】由x∈(-2,0)得x+1∈(1)，即f的定义域为（-，1)， 所以-1K2x-1<1,解得0<<1，即定义域为(0，) 13.已知二次函数f()=ar-2x+a,若对于任意x∈[a,2d,都有()≥0成立，则实数a 的取值范围是 【答案】L,+o) 【分析】区间[a,2a有意义需a>0:再按对称轴 a与区间的位置关系求最小值. 【解答】由区间[a,2可有意义得a>0,此时f(开口向上，对称轴为 a 1 ≤a 若a ≤0c即a≥1)，f()在【a,2a]上递增，需f(a）=a-a≥0，即a≥1，符合： as1<2a =a-1≥0 若 a (即2 ),需 a a,即a≥1，矛盾； 122a,n 若a (即 2),f(在[a,2a上递减，需f(2a)=4a-3a≥0，即a 0<a≤ 2, 矛盾. 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第6页（共11页） 综上a≥l,即a∈[L,+∞) 「3 14.已知函数 e-a 若对于任意的5，龙 ,且，都 有xf()-xf(:)Ka-a成立，则实数a的取值范围是 a)-f因+a 3 【分析】把不等式两边同除以xx?,转化为“ 在 上单调递增”，再分段 讨论 fs)_f）<a(s-x 【解答】因为，>0，原不等式可化为 X2 +a>+m=因， [3 即2 x ,所以 在2∞ )上单调递增， 3 a2- 当x≥4时，h()=(a+3)x-(2a-2)+r=(2a+3)x-2a+2,需2a+3≥0，即 2 当254 3 时，h()=x2-2ax+3+a=x2-ar+3 a<3 需对称轴22，即a≤3： 衔接处需h(4）=19-4u≤h(4)=6a+14,即a≥2. 综2a≤3 ,即 四、解答题（共5个小题，满分77分） 15.(13分)已知命题p:3x∈R,x2-2x+a+1<0,集合A为命题p为真命题时实数a的取 值集合.集合B=xr+2(m+1)x+m2-5=0; (1)求集合A: (2)若AnB={-2,求实数m的值， 【答案】1)A=(-0,0):(2)m=-1 【分析】(1)存在量词命题为真，只需二次函数的最小值小于0；(2)由一2∈B求m,再检验另 个根不在A中. 【解答】1)r-2x+a+1=(x-l)+a,其最小值为a. 命题P为真台a<0,所以A=(0,0)】 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第7页（共11页） (2)因为AnB={-2,所以-2∈B,代入得4-4(m+1)+m-5=0,即m2-4m-5=0,解 得m=5或m=-1. 当m=5时，B=xr+12x+20=0g={2,-10,-10∈A,此时AnB={-2,-10},不合题 意； 当m=-1时，B=xx-4=0y={-2,2号，2EA,此时AnB={-2,符合题意. 所以m=-1. 16.(15分)已知函数 )=ax2+(a-2)x+4(a∈R)了 (1)若关于x的不等式f()≥0的解集是实数集R,求Q的取值范围： (2)当a<0时，解关于x的不等式 1)}0 2 【答案】(1)[，4刊，(2)当Q=-2时解集为R;当-2<a<0时解集为 -，2U[-l,+o) 当a<-2时解集为 m-小[2+ 【分析】(1)按a=0、a>0、a<0讨论，开口向上时判别式不大于0；(2)先因式分解，再按两 2 根a与-1的大小分类. 【解答】(1)当a=0时， f)=-2x+之0 4 不可能对任意x成立，舍去： 当a<0时，抛物线开口向下，不可能恒成立，舍去： △=(a-2}-4a1=a2-5a+4≤0 当a>0时，需 4 解得1≤a≤4 所以a∈L,4 o430n+a-2x-2<0因式分解得(acr-2+7 2 ,两根为a与-1. 2」 二=-1 由a 得a=-2: 当a=-2时，原不等式化为(x+)≥0 解集为R: 2<-1 当-2<a<0时，a,解集为 a 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第8页（共11页） 2>-1 当a<-2时，a,解集为 17.(15分)已知函数f(:满足 f(x+)= 2x+2 x2+2x+2 1)求f()的解析式， （2用定义法证明(：)在（，+）上单调递减，并求(y)在几，2习]上的值域 【答案】(1) 八+1：2)证明见解标，值发为 制 【分析】1)令1=x+1换元；(2)作差后因式分解，判断（任-）1-）的符号，再由单调 性求值域， 2(t-1)+2 2t 【解答】(1)令t=x+1,则x=t-1 f0-+2-1)+2+1 2x 所以 f)=文+. (2)任取1x,则 斋嘉以.g (x2+1(x+1 (x好+1(x+1 因为13，所以￥-<0,1-<0，故f()厂f(x)>0 即f(G)P/(,),所以f()在(L,+o）上单调递减。 因此()在[L2习]上单调递减， f2-.f0=1 所以f(y在L2] 上的值域为 18。(17分)在经济学中，我们将西数f()的边际函数定义为M[()=/(+)-f().现 己知某高科技企业每月生产某种设备最少1台最多8台，每生产x台(1≤x≤8，x∈N),月收 S(x)=x2+16+20 C()=2x-8+8 入函数为： (单位：千万元)，月成本函数为： (单位：千万 元)· 1)求月收入函数S()的最小值，并求出此时的x的值： (2)求成本函数C()的边际函数M[C(]的最小值： 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第9页（共11页） (3)求每月企业利润 L(x)的最大值. 15 【答案】(1)最小值为32千万元，此时x=2;(2)最小值为7千万元：(3)最大值为63 千万元 【分析】(1)对S()求导（或用装本不等式）并结合x∈W取值比较：(2写出M[C(]并 判断单调性；《3)利润L()=S()C(),逐项比较1≤x≤8的函数值. 【解答】(1) S()=2x-16-2x3-8) 2 x2,当1≤x<2时S()0,当>2时S()>0 所以S(~在几，2]上递藏，在[2,8】上递增， 又x∈N,S0=37,S(2)=32,故最小值为32千万元，此时x=2。 M[C(]=C(x+1)-C(x)=2-8+8 2+8 (2) x+1x1 x(x+l)(1≤x≤7，x∈N), 2+8、15 它随x的增大而减小，所以x=7时取最小值567（千万元）. L()=S(x)-C(x)=2-2x+12+ (3) x(l≤x≤8，x∈N), L(x)=2xr-2-24 ，x≥4时I'()>0,故x≥4时L(x)递增： 又L(0)=35,L(2)=24,L3)=23.L(4)=26.L5)=31.8.L(6)=40.L(0)≈50.4 L(8)=63 所以每月利润的最大值为63千万元（此时x=8)· 19.(17分)已知函数f()和8()定义集合Ms=xf(g(x》 (1)设f()=+2x+3,8()=-x+2,求Ms, (2)设f()=ar+2ar-4,8()=2x(x+2）,当Meet=R时，求a的取值范围： 《3)设f()）=2x-b名)=4，h(x)=2若MMOM≠⑦。求b的取值范 围 -3-V5-3+5 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第10页（共11页） 【分析】(1)直接解一元二次不等式；(2)M=R即不等式恒成立，按二次项系数与判别式讨论； (3)分别解出两个集合，再用区间相交非空的条件列不等式. -3-5x<3+5 【解答】(1)由x2+2x+3<-x+2得x2+3x+1<0,解得2 2 Mfg -3-V5-3+V5 所以 2 ，2 (2)M=R即(a-2)r+(2a-4)x-40对任意x成立. 当a=2时，-4<0恒成立，符合： 当a<2时，需△=(2a-4)°+16(a-2)<0,即4(a-2a+2)<0,解得-2<a<2: 当>2时，抛物线开口向上，不可能恒小于0. 综上a∈(-2,2] Me=2x-2-（2,”2】。 b-2b+2 (3) x+4b<2 -x+4b+2<0 由x-1得x-1 0,即(x-1(x-46-2)>0 b、1 b-2b+2 64时，4b+2>LM=(0,)心(4b+2,+∞).要与2,2 有公共点， b-24 b+2>4b+2b<-2,b- 只需2，即b<4(另-段需2 7,与 b<4 ,即 4矛盾)，故4 告6-日.b815m=ge,与(8 6b、1 有公共点，符合： b、I 当6<4时，4b+2<1,Mw-=(0,4b+2U(L,+0）,需2 2<4h+2b>-6 ,即 7 b+21 -6h-1 (另一段需2，即b>0,矛盾)，故7 4 邯郸一中2026级高一九月考试（博雅数学）·答案第11页（共11页）