精品解析：天津市塘沽第二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

塘沽二中2026-2027学年度第一学期九年级数学学科自我评估 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．将答案填在表格里． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念逐项判断即可，化简后只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程． 本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解： 选项A，是一元二次方程，符合题意； 选项B，是二元二次方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，不符合题意； 选项D，，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用． 方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 故选：D． 3. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，． ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】方程分解因式得：(x−2)(x−5)=0， 解得：x=2或x=5， 当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去； 当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2=12. 故选A. 5. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【解析】 【详解】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2）， 平移后抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0）， ∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选D． 6. 函数的图像的顶点坐标是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质：y＝a（x−h）2＋k中，顶点坐标为（h，k），即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴函数图象顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的顶点式的相关性质是解题的关键． 7. 已知方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：A． 8. 某手机连续两次降价后售价为580元，原售价为1185元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确原售价为降价初始基数，根据两次降价后的售价建立等量关系，从而列出方程即可． 【详解】解：第一次降价后售价为， 第二次降价后售价为， 由题意得． 9. 对于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 时，随x的增大而减小 D. 顶点坐标 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∵，即在范围内， ∴时，随的增大而减小， 故A、B、D选项错误，C选项正确． 10. 抛物线上有、两点，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别把点，点的横坐标代入函数解析式，求出对应的函数值，再比较它们的大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ． 11. 函数和（a是常数，且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由直线知，由抛物线知，矛盾； B、由直线知，由抛物线知，矛盾； C、由直线知，抛物线开口向上，对称轴，与轴交于正半轴，符合； D、由直线知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象中对称轴在轴右侧，矛盾． 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为， ∴的长为， 由题意得 ， ∵， ∴， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时， 解得（舍去）或， 的长只有1个值满足菜园面积为，原说法错误； 综上，正确结论的个数是1个， 故选A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得： 故答案为 14. 二次函数的顶点坐标为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】将化为顶点式即可求解； 【详解】解：将化为顶点式为， 的顶点坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据函数表达式求顶点坐标，正确化出顶点式是解题的关键． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程的二次项系数非零要求，以及方程有两个不相等实数根对应的判别式大于0的条件，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 整理得， 解得． 联立两个约束条件，可得的取值范围为且． 16. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合单循环赛制的计数规则，消除重复统计的场次，建立总比赛场数与参赛球队数的对应关系． 【详解】解：∵ 赛制为单循环，每两队之间仅赛1场，参赛球队总数为支， ∴ 每支球队需与其余支球队各赛1场，所有球队累计统计的比赛场数为， ∵ 上述累计统计中，每场比赛会被对阵的两支球队各计数1次，存在重复， ∴ 实际总比赛场数需将累计计数除以2，消除重复部分， ∴ 与的函数关系式为． 17. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 18. 对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过判断，二次函数开口方向向下，对称轴是轴，再结合的取值范围找到的范围内的最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 即当时，取得最大值， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； 由于， 当时，代入得， 当时，代入得， 当时，y的取值范围是． 三、解答题：本大题共5小题，共46分． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， 或， 解得，. 20. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 21. 已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+9；（2）△ABC的面积为27． 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)2+9， 把(−1,5)代入得a(−1−1)2+9=5， 解得a=−1， 所以抛物线解析式为y=−(x−1)2+9； (2)当y=0时,−(x−1)2+9=0， 解得x1=4,x2=−2， 所以B.C两点的坐标为(−2,0),(4,0)， 所以△ABC的面积 【点睛】考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 22. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）， （2）当降价为元时，每天的利润最大． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价-每件成本，即可解得； （2）设每天的利润为元，根据“总利润＝单件利润×数量”，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， ∴如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为∶，； 【小问2详解】 解：设每天的利润为w元，由题意得 ， 当时，w最大，最大值为， 答：当降价为元时，每天的利润最大． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）存在， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，可表示，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于的方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入中， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：存在， 如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为， 当时，有， 解得：，， 点的坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 在抛物线的对称轴上，存在点使的值最小，点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，设点的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为； 当时， 有， 即， 解得：，， 点的坐标为或； 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽二中2026-2027学年度第一学期九年级数学学科自我评估 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．将答案填在表格里． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 5. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 6. 函数的图像的顶点坐标是（ 　） A. B. C. D. 7. 已知方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 8. 某手机连续两次降价后售价为580元，原售价为1185元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 时，随x的增大而减小 D. 顶点坐标 10. 抛物线上有、两点，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 函数和（a是常数，且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 14. 二次函数的顶点坐标为 ___． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 16. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 17. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 18. 对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 三、解答题：本大题共5小题，共46分． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 21. 已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积． 22. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标． （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $