精品解析：天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

天津开发区第一中学2024—2025学年度第一学期九年级阶段练习卷一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 可回收物 B. 有害垃圾 C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾 2. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 4. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线与x轴的交点个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为( ) A. B. C. D. 10. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边AB上，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是______． 14. 已知函数的图象，它的图象向______平移______个单位，可以得到抛物线． 15. 用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积___________，围成的矩形的最大面积是__________． 16. 如图，已知抛物线，则关于的方程的解是___________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\ 18. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点均为格点． （1）的面积是______________． （2）将绕点C顺时针旋转得，点B的对应点E落在所在的网格线上．请用无刻度直尺画出，并简要说明点的位置是如何找到的______________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）点A坐标为______，点B坐标为______； （2）抛物线顶点坐标为______． （3）当x满足______时，； （4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 21. 如图，AB是的弦，垂直于弦于点D． （1）若，，求的半径． （2）若，，求的半径． 22. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 23. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果______千克． （2）当每千克水果涨价x元时，每千克的利润为______元，销量为______千克． （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 24. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． （1）如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． （2）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 （3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津开发区第一中学2024—2025学年度第一学期九年级阶段练习卷一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 可回收物 B. 有害垃圾 C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 4. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 5. 抛物线与x轴的交点个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过的根的判别式，可得到解的个数，于是可判断抛物线与x轴的交点个数． 【详解】解：当y=0时，， ∴ 即方程有两个不相等的实数根， ∴断抛物线与x轴有两个交点， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，用根的判别式即可判断. 6. 不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的共有2 种， 所以两次都摸到白球的概率是. 故选B． 【点睛】考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式所对应的顶点坐标是，可作出选择． 【详解】解：对照抛物线的顶点式可得，， 把，代入顶点坐标公式中，得此抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：公式要记清楚．顶点式中的m与顶点坐标中的－m是互为相反数的关系． 8. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据求出结果即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：A． 9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a的符号分类, 时,在A、B中判断一次函数的图象是否相符, 时,在C、D中进行判断.利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解. 【详解】①当时,二次函数y＝ax2的开口向上,一次函数y＝ax＋a 的图象经过第一、二、三象限,排除A、B； ②当时,二次函数y＝ax2的开口向下,一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限,排除D. 所以C选项是正确的. 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数图像的知识，要掌握函数图像与系数的关系，并要学会通过函数图像判断其系数的取值范围是关键. 10. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数的对称轴直线为，开口向上可得出关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：，再结合以及函数图像可得出． 【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上． ∴关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， 故选：B. 11. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边AB上，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到∠C'A B'＝∠CAB＝60°，AB＝A B'，则可判断△ABB'为等边三角形，从而逐个判断选项，即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，故A、B选项错误； ∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上， ∴∠C'A B'＝∠CAB＝60°，AB＝A B'， ∴△ABB'为等边三角形， ∴BB'＝AB．， 故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，是解题的关键． 12. 如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①先根据抛物线的开口向下可得，再根据对称轴可得，然后根据抛物线与y轴的交点可得，由此即可得；②根据当时，即可得；③根据和即可得；④先根据对称轴可得，再根据当时，即可得；⑤先根据可得方程的一个根为，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴负半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， 即，则结论②错误； 当时，，即， ， ， ，即，则结论③正确； 由函数图象可知，当时，， 即， 将代入得：， 整理得：，则结论④错误； ， ， 关于的一元二次方程有一个根为， 设另一个根为m， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得， 即关于的一元二次方程有一个根为，结论⑤正确； 综上，正确的结论个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率公式，由随机事件概率公式计算即可得出答案，解题关键在于熟练掌握概率公式． 【详解】解：∵不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球， ∴小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 14. 已知函数的图象，它的图象向______平移______个单位，可以得到抛物线． 【答案】 ①. 右 ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的平移，得出答案即可． 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， 又∵向右平移5个单位得到， ∴函数的图象向右平移5个单位，得到抛物线． 故答案为：右；5． 15. 用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积___________，围成的矩形的最大面积是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：， 根据题意可得： ∵ 当时，函数最大值为平方米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键． 16. 如图，已知抛物线，则关于的方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴交于， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\ 【答案】 【解析】 【分析】将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，证明△CBD≌△EBP，可得PE=DB=1，DP=，根据PD+PE≥DE，即可得出DE的最大值． 【详解】如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE， PD， 则DB=PB，∠DBP=90°， ∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE， ∴BC=BE，∠CBE=90°， ∴∠CBD=∠EBP， ∴△CBD≌△EBP（SAS）， ∴PE=CD， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点， ∴DB=CD=AB=1， ∴PE=1，PB=1， ∴DP=， ∵PD+PE≥DE， ∴DE≤+1， ∴DE最大值为+1， 故答案为+1． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 18. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点均为格点． （1）的面积是______________． （2）将绕点C顺时针旋转得，点B的对应点E落在所在的网格线上．请用无刻度直尺画出，并简要说明点的位置是如何找到的______________． 【答案】 ①. 12 ②. 在所在的网格线上取网格点E、F，使得，，取网格点M，使得，，取网格点N，使得，，连接、，两线交点即为D 【解析】 【分析】（1）利用网格图可知，，点B到的距离为4，即问题得解； （2）取网格点E、F、M、N，连接、、，两线交于点D，连接，即可求． 【详解】（1）利用网格图可知，，点B到的距离为4， 即， 故答案为：12； （2）取网格点E、F、M、N，连接、、，两线交于点D，连接，即可求，作图如下： ， 根据（1）可知，， 根据网格图可知：，， ∴， ∵根据网格图可知：，，， ∴， ∴，解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的边、分别绕C点顺时针旋转的角度相等，其旋转得到的对应边为、， ∴所作的满足要求， 故答案为：在所在的网格线上取网格点E、F，使得，，取网格点M，使得，，取网格点N，使得，，连接、，两线交点即为D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，旋转作图，勾股定理等知识，利用，，找到D点，是解答本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：，； 【小问2详解】 解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：，． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）点A坐标为______，点B坐标为______； （2）抛物线顶点坐标为______． （3）当x满足______时，； （4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象解决函数的交点问题”是解本题的关键． （1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可； （2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案； （3）根据函数图象，找出轴下方的函数图象，可得答案； （4）结合（3）中图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线为：， 令， 则， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：观察图象得，当时，； 故答案为：； 【小问4详解】 解：由的图象可得：当过抛物线的顶点时，， 此时二次函数的图象与直线有1个交点， ∴二次函数的图象与直线有两个交点， 则k的取值范围是． 故答案为：． 21. 如图，AB是的弦，垂直于弦于点D． （1）若，，求的半径． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）的半径为； （2）的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）连接，根据垂径定理得出，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据垂径定理得出，，则，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的半径为； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即的半径为． 22. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 23. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果______千克． （2）当每千克水果涨价x元时，每千克的利润为______元，销量为______千克． （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）450 （2）； （3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的应用． （1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案； （2）涨价元时，销售量为千克，利润为元； （3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可． 【小问1详解】 解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克； 故答案为：450； 【小问2详解】 解：涨价元时，销售量为千克， 涨价元后的利润可表示为元即元， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设月销售利润为元，每千克水果售价为元， 由题意，得， 即， 配方，得， ， 当时，有最大值， 当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大． 24. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． （1）如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． （2）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 （3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题； （2）作轴于M．在中，求出即可解决问题； （3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点C的坐标为，点D的坐标； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，过点D作轴于M， 由面积知， 在中，由勾股定理得 AB， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为（）； 【小问3详解】 如图3，连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 当点在点位置时，、、在同一条直线上，取得最小值， 由题意可得， 根据轴对称的性质可得， ∴， ∵，D的坐标为（）， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，最大，且最大值为 （3），， 【解析】 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【小问1详解】 解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $