第3章 圆单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册
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内容正文：
2026-2027学年 苏科版九年级数学上册
第3章 圆单元测试卷
考试范围：第3章 圆；考试时间：120分钟；满分：130分
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前，请填写答题卡上的姓名和准考证号。
2．选择题用2B铅笔填涂；非选择题在答题卡对应区域内作答。
3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）。
A．经过一个已知点
B．经过两个不同的已知点
C．经过三个不在同一直线上的已知点
D．圆心在一条已知直线上
2．（3分）在同圆中，下列说法正确的是（ ）。
A．长度相等的两条弧一定是同一条弧
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．长度相等的两条弦一定平行
3．（3分）在中，为外心，为内心。下列说法一定正确的是（ ）。
A．到三边的距离相等
B．
C．一定在内部
D．到三边的距离相等
4．（3分）如图，是上三个不同的点，点在优弧上，则等于（ ）。
第4题图
A． B． C． D．
5．（3分）一个正多边形的一个中心角等于它一个内角的三分之一，它的边数是（ ）。
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）点在上，则劣弧的长为（ ）。
A． B． C． D．
7．（3分）的半径为5，直线经过点且下列判断正确的是（ ）。
A．一定与圆相交
B．一定与圆相切
C．与圆可能相交，也可能相切
D．与圆可能相离
8．（3分）两个扇形的弧长相等，第二个扇形的半径是第一个的2倍。第二个扇形的面积是第一个的（ ）。
A． B．1倍 C．2倍 D．4倍
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的半径为13，弦的长为24，则圆心到弦的距离为______。
10．（3分）的半径为4，圆心到直线的距离为若与至少有一个公共点，则的取值范围是______。
11．（3分）一个圆的内接正方形面积为18，则这个圆的半径为______。
12．（3分）半径为6、圆心角为的扇形的面积为______。
13．（3分）如图，四边形内接于边延长至点若则______。
第13题图
14．（3分）分别是的切线，切点为若则______。
15．（3分）的半径为4，弦是圆上异于的点，则的所有可能值为______。
16．（3分）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5。点当线段与恰有一个公共点时，的取值范围为______。
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
17．（8分）如图，是同一圆上的三个点，圆的其余部分已被擦去。
第17题图
（1）用直尺和圆规作出这个圆的圆心并补全这个圆。（不写作法，保留作图痕迹）（6分）
（2）若说明所作圆心与线段的关系，并说明理由。（2分）
18．（9分）如图，某圆形拱门的截面圆弧关于竖直直线对称。地面处的水平宽度距地面的水平横梁长两端都在拱门圆弧上。
（1）求这段圆弧所在圆的半径。（4分）
（2）距地面处的水平宽度是否等于？求出该宽度，并说明判断结果。（5分）
第18题图
19．（12分）如图，是的直径，在的延长线上，是圆上位于直线上方的点，连接已知
（1）求证：是的切线。（4分）
（2）若求的半径。（4分）
（3）在（2）的条件下，求点到直线的距离。（4分）
第19题图
20．（11分）如图，是的一条弦，为中点，射线交劣弧于已知
（1）求的半径。（4分）
（2）求劣弧的长。（3分）
（3）求由弦与劣弧围成的图形的面积和周长。（4分）
第20题图
21．（12分）在等腰三角形中，是的中点。
（1）圆心在线段上，经过点且与直线相切。求的半径。（3分）
（2）在平面内，经过点且同时与直线相切的圆共有几个？求出这些圆的半径，并说明理由。（6分）
（3）第（2）问中的哪些圆与线段均相切？说明理由。（3分）
第21题图
22．（16分）正六边形的边长为4，中心为点分别在边上，且
（1）求证：是等边三角形，且是它的外心。（4分）
（2）求面积的最小值，并判断取得最小值时，的外接圆是否与正六边形的六条边都相切，说明理由。（5分）
（3）若不再要求只保留点分别在边上，且为等边三角形，是否一定有？请说明理由。（7分）
第22题图
23．（14分）的半径为5，点在圆内，过的两条互相垂直的直线分别与圆交于和及依次排列，连接
（1）求证：（4分）
（2）求四边形面积的最大值，并说明取得最大值时两条弦的位置。（5分）
（3）求四边形面积的最小值，并说明取得最小值时两条弦的位置。（5分）
第23题图
圆单元测试卷 原卷 A4 第 1 页 共 1 页
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第3章圆单元测试卷
答题卡
姓名：
准考证号：
贴条形码区
注意事项
1.答题前，将姓名、准考证号填写清楚，并核准条码信息
考生禁填：
缺考标记
在规定位置贴好条码。
违纪标记
2.选择题用2B铅笔填涂；非选择题用0.5mm黑色字迹签字
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
笔作答。作图题可用铅笔。
3.按题号顺序在规定区域作答，字迹工整，笔迹清晰。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
选择题填涂样例：
正确填涂
■
错误填涂
[×J[V][W
考试时间：120分钟
满分：130分
一、
单项选择题：共8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个符合题目要求的选项。
1.[A[B]
[C]
[D]
5.[A]
[B]
[c]
[D]
2.[A][B]
[C]
[D]
6.[A]
[B][C]
[D]
3.[A][B]
[C][D]
7.[A]
[B][C]
[D]
4.
[A][B][C]
[D]
8.[A]
[B][C
[D]
二、
填空题：共8小题，每小题3分，共24分。
9
10.
11.
12.
13.
14.
15
16.
解答题作答区域接下页（栏）。
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第1页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、解答题：共7小题，共82分。
应写出必要的计算过程或推理依据。
17.(8分)
(1)
(6分)
⊙
c
(2)
(2分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第2页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18.(9分)
(1)
(4分)
D
E
2m
8m
A
B
12m
(2)
(5分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第3页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19.(12分)
(1)
(4分)
0
B
(2)(4分)
(3)
(4分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第4页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20.(11分)
(1)
(4分)
以
6V3
0
Q
M
3
B
(2)
(3分)
(3)
(4分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第5页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21.(12分)
(1)
(3分)
0
B
D
(2)
(6分)
(3)
(3分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第6页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.(16分)
(1)
(4分)
C
B
Q
D
0·
A
E
R
F
(2)
(5分)
(3)
(7分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第7页共8页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23.(14分)
(1)
(4分)
D
B
0
E
A
(2)
(5分)
(3)(5分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A4第8页共8页
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第3章 圆单元测试卷
考试范围：第3章 圆；考试时间：120分钟；满分：130分
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前，请填写答题卡上的姓名和准考证号。
2．选择题用2B铅笔填涂；非选择题在答题卡对应区域内作答。
3．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）。
A．经过一个已知点
B．经过两个不同的已知点
C．经过三个不在同一直线上的已知点
D．圆心在一条已知直线上
2．（3分）在同圆中，下列说法正确的是（ ）。
A．长度相等的两条弧一定是同一条弧
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．长度相等的两条弦一定平行
3．（3分）在中，为外心，为内心。下列说法一定正确的是（ ）。
A．到三边的距离相等
B．
C．一定在内部
D．到三边的距离相等
4．（3分）如图，是上三个不同的点，点在优弧上，则等于（ ）。
第4题图
A． B． C． D．
5．（3分）一个正多边形的一个中心角等于它一个内角的三分之一，它的边数是（ ）。
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）点在上，则劣弧的长为（ ）。
A． B． C． D．
7．（3分）的半径为5，直线经过点且下列判断正确的是（ ）。
A．一定与圆相交
B．一定与圆相切
C．与圆可能相交，也可能相切
D．与圆可能相离
8．（3分）两个扇形的弧长相等，第二个扇形的半径是第一个的2倍。第二个扇形的面积是第一个的（ ）。
A． B．1倍 C．2倍 D．4倍
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的半径为13，弦的长为24，则圆心到弦的距离为______。
10．（3分）的半径为4，圆心到直线的距离为若与至少有一个公共点，则的取值范围是______。
11．（3分）一个圆的内接正方形面积为18，则这个圆的半径为______。
12．（3分）半径为6、圆心角为的扇形的面积为______。
13．（3分）如图，四边形内接于边延长至点若则______。
第13题图
14．（3分）分别是的切线，切点为若则______。
15．（3分）的半径为4，弦是圆上异于的点，则的所有可能值为______。
16．（3分）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5。点当线段与恰有一个公共点时，的取值范围为______。
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
17．（8分）如图，是同一圆上的三个点，圆的其余部分已被擦去。
第17题图
（1）用直尺和圆规作出这个圆的圆心并补全这个圆。（不写作法，保留作图痕迹）（6分）
（2）若说明所作圆心与线段的关系，并说明理由。（2分）
18．（9分）如图，某圆形拱门的截面圆弧关于竖直直线对称。地面处的水平宽度距地面的水平横梁长两端都在拱门圆弧上。
（1）求这段圆弧所在圆的半径。（4分）
（2）距地面处的水平宽度是否等于？求出该宽度，并说明判断结果。（5分）
第18题图
19．（12分）如图，是的直径，在的延长线上，是圆上位于直线上方的点，连接已知
（1）求证：是的切线。（4分）
（2）若求的半径。（4分）
（3）在（2）的条件下，求点到直线的距离。（4分）
第19题图
20．（11分）如图，是的一条弦，为中点，射线交劣弧于已知
（1）求的半径。（4分）
（2）求劣弧的长。（3分）
（3）求由弦与劣弧围成的图形的面积和周长。（4分）
第20题图
21．（12分）在等腰三角形中，是的中点。
（1）圆心在线段上，经过点且与直线相切。求的半径。（3分）
（2）在平面内，经过点且同时与直线相切的圆共有几个？求出这些圆的半径，并说明理由。（6分）
（3）第（2）问中的哪些圆与线段均相切？说明理由。（3分）
第21题图
22．（16分）正六边形的边长为4，中心为点分别在边上，且
（1）求证：是等边三角形，且是它的外心。（4分）
（2）求面积的最小值，并判断取得最小值时，的外接圆是否与正六边形的六条边都相切，说明理由。（5分）
（3）若不再要求只保留点分别在边上，且为等边三角形，是否一定有？请说明理由。（7分）
第22题图
23．（14分）的半径为5，点在圆内，过的两条互相垂直的直线分别与圆交于和及依次排列，连接
（1）求证：（4分）
（2）求四边形面积的最大值，并说明取得最大值时两条弦的位置。（5分）
（3）求四边形面积的最小值，并说明取得最小值时两条弦的位置。（5分）
第23题图
圆单元测试卷 原卷 A3 第 1 页 共 1 页
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第3章 圆单元测试卷
教师解析版
考试范围：第3章 圆；考试时间：120分钟；满分：130分
参考解答与评分说明：其他等价正确方法，按关键步骤的实质给分。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）。
A．经过一个已知点
B．经过两个不同的已知点
C．经过三个不在同一直线上的已知点
D．圆心在一条已知直线上
【答案】C。
三个不共线点所确定的两条弦的垂直平分线交于唯一一点，该点到三个已知点的距离相等，因此能确定唯一的圆。仅经过一个点或两个不同的点，都可以作出不止一个圆；仅给出圆心所在直线也不能确定圆心和半径。
2．（3分）在同圆中，下列说法正确的是（ ）。
A．长度相等的两条弧一定是同一条弧
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．长度相等的两条弦一定平行
【答案】C。
垂直于弦的直径平分这条弦，C正确。长度相等的两条弧不一定重合，A错误；B漏掉“弦不是直径”的条件，两条不垂直的直径互相平分就是反例；等长的弦也可以相交，D错误。
3．（3分）在中，为外心，为内心。下列说法一定正确的是（ ）。
A．到三边的距离相等
B．
C．一定在内部
D．到三边的距离相等
【答案】D。
内心是三角形三条内角平分线的交点，到三边的距离相等，故D一定正确。外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；A、B把内外心的等距对象混淆，均不一定成立。钝角三角形的外心在三角形外，C不一定成立。
4．（3分）如图，是上三个不同的点，点在优弧上，则等于（ ）。
第4题图
A． B． C． D．
【答案】A。
点在优弧上，所对的是圆心角为的劣弧由圆周角定理，
5．（3分）一个正多边形的一个中心角等于它一个内角的三分之一，它的边数是（ ）。
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B。
设这个正多边形的中心角为则一个内角为由题意，得所以边数为
6．（3分）点在上，则劣弧的长为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B。
所以为等边三角形，劣弧的长为弦长6 cm不是弧长。
7．（3分）的半径为5，直线经过点且下列判断正确的是（ ）。
A．一定与圆相交
B．一定与圆相切
C．与圆可能相交，也可能相切
D．与圆可能相离
【答案】C。
等于半径，故在圆上。直线经过不可能与圆相离。当时，与圆相切；当不垂直于时，圆心到的距离小于与圆相交。两种情况都可以实现。
8．（3分）两个扇形的弧长相等，第二个扇形的半径是第一个的2倍。第二个扇形的面积是第一个的（ ）。
A． B．1倍 C．2倍 D．4倍
【答案】C。
由弧长公式和扇形面积公式得弧长不变，半径变为原来的2倍，面积也变为原来的2倍。不能套用圆心角不变时面积与半径平方成正比的关系。
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的半径为13，弦的长为24，则圆心到弦的距离为______。
【答案】5。
作于由垂径定理，在直角三角形中，
10．（3分）的半径为4，圆心到直线的距离为若与至少有一个公共点，则的取值范围是______。
【答案】
“至少有一个公共点”包括相交和相切。相交时相切时故距离不能为负数。
11．（3分）一个圆的内接正方形面积为18，则这个圆的半径为______。
【答案】3。
正方形的边长为由勾股定理，其对角线长为正方形的对角线是其外接圆的直径，所以圆的半径为3。
12．（3分）半径为6、圆心角为的扇形的面积为______。
【答案】
扇形面积
13．（3分）如图，四边形内接于边延长至点若则______。
第13题图
【答案】
依次共线，故圆内接四边形的对角互补，所以直接使用圆内接四边形的外角等于内对角，也可得出结论。
14．（3分）分别是的切线，切点为若则______。
【答案】13。
同一点引圆的两条切线长相等，所以由得
15．（3分）的半径为4，弦是圆上异于的点，则的所有可能值为______。
【答案】或
连接因为由勾股定理的逆定理，小圆心角
当在优弧上时，当在劣弧上时，除去圆上恰好分成这两部分，因此没有其他可能值。
16．（3分）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5。点当线段与恰有一个公共点时，的取值范围为______。
【答案】或
直线上圆的两个交点到纵轴的距离为所以交点为两交点距离为8，而线段不能同时包含两个交点。
包含左交点时，得包含右交点时，得端点也是公共点，所以四个边界值都应保留。
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
17．（8分）如图，是同一圆上的三个点，圆的其余部分已被擦去。
（1）用直尺和圆规作出这个圆的圆心并补全这个圆。（不写作法，保留作图痕迹）（6分）
（2）若说明所作圆心与线段的关系，并说明理由。（2分）
第17题解析图
【解答】（1）分别作线段的垂直平分线，交于点【两条垂直平分线各2分】
以为圆心、为半径作圆。【圆心正确1分，圆正确1分】
两条垂直平分线的交点到的距离相等，因此所作圆经过三个已知点。本问不要求写作法，但应保留相应尺规作图痕迹。
（2）是线段的中点。因为所以是该圆的直径。【1分】圆心是直径的中点，故是的中点。【1分】
【评分说明】选取其他两条弦作垂直平分线同样正确。仅凭图形标出圆心而没有尺规作图痕迹，不给相应作图步骤分。
18．（9分）如图，某圆形拱门的截面圆弧关于竖直直线对称。地面处的水平宽度距地面的水平横梁长两端都在拱门圆弧上。
（1）求这段圆弧所在圆的半径。（4分）
（2）距地面处的水平宽度是否等于？求出该宽度，并说明判断结果。（5分）
第18题图
【解答】（1）取的中点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向。由对称性，可得圆心可设为半径为由勾股定理，
【设点及两个等式共2分】
两式相减，得所以【1分】
于是圆心在地面下4 m，将代入两式均成立，所求圆确实存在。【1分】
第18题解析图
（2）设距地面1 m处的水平弦中点为则【1分】
由垂径定理和勾股定理，半弦长为【2分】
所以该处的水平宽度为【1分】
因为所以该宽度不等于10 m，而是大于10 m。【1分】
【评分说明】坐标中的距离等式来自勾股定理。用纯几何方式设圆心到两条水平弦的距离并列方程，同样给分；不能仅取12与8的平均数作为中间高度的宽度。
19．（12分）如图，是的直径，在的延长线上，是圆上位于直线上方的点，连接已知
（1）求证：是的切线。（4分）
（2）若求的半径。（4分）
（3）在（2）的条件下，求点到直线的距离。（4分）
第19题解析图
【解答】（1）连接因为是直径，故【1分】
因为且射线与重合，所以【1分】
点在线段内部，因此射线位于内部。由已知得
【1分】
所以又在上，故是的切线。【1分】
（2）设的半径为则【1分】
在直角三角形中，【2分】
解得即圆的半径为【1分】
（3）设到直线的距离为与的底边在同一直线上，具有从引出的同一高，所以
【2分】
又把作为两三角形的共同底边，由得面积比也等于【1分】
故点到直线的距离为【1分】
20．（11分）如图，是的一条弦，为中点，射线交劣弧于已知
（1）求的半径。（4分）
（2）求劣弧的长。（3分）
（3）求由弦与劣弧围成的图形的面积和周长。（4分）
第20题解析图
【解答】（1）连接由为弦的中点，得且【1分】
设半径为依次共线，【1分】
由勾股定理，【1分】
解得所以圆的半径为6。【1分】
（2）在直角三角形中，【1分】
由垂径定理或全等三角形，得【1分】
所以劣弧的长为【1分】
（3）所求图形的面积等于扇形的面积减去的面积，故
【2分】
所求图形的边界由劣弧和弦组成，所以周长为【2分】
【评分说明】把两条半径计入周长不符合所求图形的真实边界，不给周长部分的相应分。
21．（12分）在等腰三角形中，是的中点。
（1）圆心在线段上，经过点且与直线相切。求的半径。（3分）
（2）在平面内，经过点且同时与直线相切的圆共有几个？求出这些圆的半径，并说明理由。（6分）
（3）第（2）问中的哪些圆与线段均相切？说明理由。（3分）
第21题解析图
【解答】（1）因为所以由勾股定理，【1分】
设圆的半径为圆心到的垂足为则由面积关系，
另一方面，故【1分】
解得此时在线段内部，到的距离确为3，以为圆心、3为半径作圆便满足条件，故所求半径为3。【1分】
（2）所求圆的圆心到直线的距离相等，故圆心必在这两条直线所成角的两条角平分线上，即直线或过且平行于的直线。【2分】
若在后一条直线上，则而点到直线的距离不大于这与圆经过且切于直线所要求的“等于圆心到的距离”矛盾。因此只能在直线上。【1分】
以为原点、射线的方向为正方向，在直线上设点的坐标为则记点到直线的距离为
以为底时，高为以为底时，高为由同一三角形的面积，得圆经过且与相切要求因此
两边平方并整理，得所以或【面积等式及求出两解共2分】
两个值代回原等式均成立；对应半径分别为3、12。由于两圆心都在直线上，到直线的距离也等于相应半径，所以两个圆均存在。圆心全集已经穷尽，故恰有两个圆，半径分别为3、12。【1分】
第21题解析图
（3）当时，在直角三角形中，为锐角，垂足在射线上，故在线段内部。另一切点同理在线段内部。【1分】
当时，此时射线仍与射线重合，为锐角，垂足在射线上且位于的外侧；另一切点同理位于的外侧。【1分】
因此只有半径为3的圆同时与线段相切。【1分】
【评分说明】第（2）问可按圆心在直线上的各段分别求解。无论采用哪种方法，都须说明圆心为何只能在两条角平分线上、为何排除另一条角平分线，并检验所有候选圆；仅求出一个内切圆不能得全解分。
22．（16分）正六边形的边长为4，中心为点分别在边上，且
（1）求证：是等边三角形，且是它的外心。（4分）
（2）求面积的最小值，并判断取得最小值时，的外接圆是否与正六边形的六条边都相切，说明理由。（5分）
（3）若不再要求只保留点分别在边上，且为等边三角形，是否一定有？请说明理由。（7分）
第22题解析图
【解答】（1）不妨设正六边形的顶点按逆时针次序排列。绕点逆时针旋转分别对应边对应边由且两点在对应边上，点对应点同理，对应对应【2分】
所以且等圆心角所对的弦相等，故为等边三角形。【1分】
又所以是的外心。【1分】
（2）作于正六边形的外接圆半径故又所以【2分】
等边三角形的外接圆半径为连接三条半径，把它分成三个圆心角为的等腰三角形，再分别作底边上的高。由含角的直角三角形性质，可得等边三角形的边长为边心距为因此
由于面积的最小值为【1分】
当且仅当时取到最小值，且在允许范围内。【1分】
此时恰好等于点到正六边形各边的距离。相应垂足分别为六条边的中点，都在线段上，所以的外接圆与正六边形的六条边都相切。【1分】
第22题解析图
（3）一定有
在上分别取使由第（1）问，为等边三角形。【2分】
沿凸六边形的边界依次排列，且这三条边两两不相交，故为逆时针方向；参照三角形同理。于是绕点逆时针旋转可同时把变为把变为【2分】
假设则非零线段在直线上，其旋转后的像为非零线段正六边形中，直线逆时针旋转后的方向平行于故但又都在直线上，这将使与正六边形中这两边不平行矛盾。【2分】
因此由同一旋转的对应点唯一，故【1分】
端点也包括在上述证明中：或4时，参照三角形分别为或均不退化；三个点在边界上的次序不变，不会出现遗漏的反向等边三角形。
【评分说明】第（3）问可采用等价的全等、坐标或其他完整初等证明，按相应逻辑步骤给分；仅由第（1）问正命题直接断言逆命题成立，不能获得证明分。
23．（14分）的半径为5，点在圆内，过的两条互相垂直的直线分别与圆交于和及依次排列，连接
（1）求证：（4分）
（2）求四边形面积的最大值，并说明取得最大值时两条弦的位置。（5分）
（3）求四边形面积的最小值，并说明取得最小值时两条弦的位置。（5分）
第23题解析图
【解答】（1）作于于记
当不在两条弦上时，为矩形，故当在其中一条弦上时，一个距离为0，另一个为等式仍成立。【2分】
由垂径定理与勾股定理，【1分】
因此【1分】
（2）四边形的面积等于四个直角三角形面积之和，故
【1分】
由得所以【2分】
等号当且仅当即此时直线是两条互相垂直的弦所在直线所成角的一条角平分线。【1分】
过作两条与直线成角且互相垂直的直线，即可得到上述等弦位置，因此最大值41可以取得。【1分】
第23题解析图
（3）由得
【2分】
因为且所以【1分】
等号当且仅当即至少一条弦所在直线经过圆心该弦为直径。【1分】
过作直线及其垂线，所得两条弦的长分别为10和四边形面积为因为两条弦不可能同时为直径。因此最小值为40，且仅当一条弦为直径时取得。【1分】
第23题解析图
【评分说明】上下界都须说明取等条件及其可以实现。最小值情形中，垂足可能与重合；应使用退化情形的距离关系，不把重合的点当成四个不同的矩形顶点。
圆单元测试卷 教师解析 A4 第 1 页 共 1 页
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2026-2027学年 苏科版九年级数学上册
第3章 圆单元测试卷
教师解析版
考试范围：第3章 圆；考试时间：120分钟；满分：130分
参考解答与评分说明：其他等价正确方法，按关键步骤的实质给分。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）。
A．经过一个已知点
B．经过两个不同的已知点
C．经过三个不在同一直线上的已知点
D．圆心在一条已知直线上
【答案】C。
三个不共线点所确定的两条弦的垂直平分线交于唯一一点，该点到三个已知点的距离相等，因此能确定唯一的圆。仅经过一个点或两个不同的点，都可以作出不止一个圆；仅给出圆心所在直线也不能确定圆心和半径。
2．（3分）在同圆中，下列说法正确的是（ ）。
A．长度相等的两条弧一定是同一条弧
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．长度相等的两条弦一定平行
【答案】C。
垂直于弦的直径平分这条弦，C正确。长度相等的两条弧不一定重合，A错误；B漏掉“弦不是直径”的条件，两条不垂直的直径互相平分就是反例；等长的弦也可以相交，D错误。
3．（3分）在中，为外心，为内心。下列说法一定正确的是（ ）。
A．到三边的距离相等
B．
C．一定在内部
D．到三边的距离相等
【答案】D。
内心是三角形三条内角平分线的交点，到三边的距离相等，故D一定正确。外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；A、B把内外心的等距对象混淆，均不一定成立。钝角三角形的外心在三角形外，C不一定成立。
4．（3分）如图，是上三个不同的点，点在优弧上，则等于（ ）。
第4题图
A． B． C． D．
【答案】A。
点在优弧上，所对的是圆心角为的劣弧由圆周角定理，
5．（3分）一个正多边形的一个中心角等于它一个内角的三分之一，它的边数是（ ）。
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B。
设这个正多边形的中心角为则一个内角为由题意，得所以边数为
6．（3分）点在上，则劣弧的长为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B。
所以为等边三角形，劣弧的长为弦长6 cm不是弧长。
7．（3分）的半径为5，直线经过点且下列判断正确的是（ ）。
A．一定与圆相交
B．一定与圆相切
C．与圆可能相交，也可能相切
D．与圆可能相离
【答案】C。
等于半径，故在圆上。直线经过不可能与圆相离。当时，与圆相切；当不垂直于时，圆心到的距离小于与圆相交。两种情况都可以实现。
8．（3分）两个扇形的弧长相等，第二个扇形的半径是第一个的2倍。第二个扇形的面积是第一个的（ ）。
A． B．1倍 C．2倍 D．4倍
【答案】C。
由弧长公式和扇形面积公式得弧长不变，半径变为原来的2倍，面积也变为原来的2倍。不能套用圆心角不变时面积与半径平方成正比的关系。
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的半径为13，弦的长为24，则圆心到弦的距离为______。
【答案】5。
作于由垂径定理，在直角三角形中，
10．（3分）的半径为4，圆心到直线的距离为若与至少有一个公共点，则的取值范围是______。
【答案】
“至少有一个公共点”包括相交和相切。相交时相切时故距离不能为负数。
11．（3分）一个圆的内接正方形面积为18，则这个圆的半径为______。
【答案】3。
正方形的边长为由勾股定理，其对角线长为正方形的对角线是其外接圆的直径，所以圆的半径为3。
12．（3分）半径为6、圆心角为的扇形的面积为______。
【答案】
扇形面积
13．（3分）如图，四边形内接于边延长至点若则______。
第13题图
【答案】
依次共线，故圆内接四边形的对角互补，所以直接使用圆内接四边形的外角等于内对角，也可得出结论。
14．（3分）分别是的切线，切点为若则______。
【答案】13。
同一点引圆的两条切线长相等，所以由得
15．（3分）的半径为4，弦是圆上异于的点，则的所有可能值为______。
【答案】或
连接因为由勾股定理的逆定理，小圆心角
当在优弧上时，当在劣弧上时，除去圆上恰好分成这两部分，因此没有其他可能值。
16．（3分）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5。点当线段与恰有一个公共点时，的取值范围为______。
【答案】或
直线上圆的两个交点到纵轴的距离为所以交点为两交点距离为8，而线段不能同时包含两个交点。
包含左交点时，得包含右交点时，得端点也是公共点，所以四个边界值都应保留。
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
17．（8分）如图，是同一圆上的三个点，圆的其余部分已被擦去。
（1）用直尺和圆规作出这个圆的圆心并补全这个圆。（不写作法，保留作图痕迹）（6分）
（2）若说明所作圆心与线段的关系，并说明理由。（2分）
第17题解析图
【解答】（1）分别作线段的垂直平分线，交于点【两条垂直平分线各2分】
以为圆心、为半径作圆。【圆心正确1分，圆正确1分】
两条垂直平分线的交点到的距离相等，因此所作圆经过三个已知点。本问不要求写作法，但应保留相应尺规作图痕迹。
（2）是线段的中点。因为所以是该圆的直径。【1分】圆心是直径的中点，故是的中点。【1分】
【评分说明】选取其他两条弦作垂直平分线同样正确。仅凭图形标出圆心而没有尺规作图痕迹，不给相应作图步骤分。
18．（9分）如图，某圆形拱门的截面圆弧关于竖直直线对称。地面处的水平宽度距地面的水平横梁长两端都在拱门圆弧上。
（1）求这段圆弧所在圆的半径。（4分）
（2）距地面处的水平宽度是否等于？求出该宽度，并说明判断结果。（5分）
第18题图
【解答】（1）取的中点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向。由对称性，可得圆心可设为半径为由勾股定理，
【设点及两个等式共2分】
两式相减，得所以【1分】
于是圆心在地面下4 m，将代入两式均成立，所求圆确实存在。【1分】
第18题解析图
（2）设距地面1 m处的水平弦中点为则【1分】
由垂径定理和勾股定理，半弦长为【2分】
所以该处的水平宽度为【1分】
因为所以该宽度不等于10 m，而是大于10 m。【1分】
【评分说明】坐标中的距离等式来自勾股定理。用纯几何方式设圆心到两条水平弦的距离并列方程，同样给分；不能仅取12与8的平均数作为中间高度的宽度。
19．（12分）如图，是的直径，在的延长线上，是圆上位于直线上方的点，连接已知
（1）求证：是的切线。（4分）
（2）若求的半径。（4分）
（3）在（2）的条件下，求点到直线的距离。（4分）
第19题解析图
【解答】（1）连接因为是直径，故【1分】
因为且射线与重合，所以【1分】
点在线段内部，因此射线位于内部。由已知得
【1分】
所以又在上，故是的切线。【1分】
（2）设的半径为则【1分】
在直角三角形中，【2分】
解得即圆的半径为【1分】
（3）设到直线的距离为与的底边在同一直线上，具有从引出的同一高，所以
【2分】
又把作为两三角形的共同底边，由得面积比也等于【1分】
故点到直线的距离为【1分】
20．（11分）如图，是的一条弦，为中点，射线交劣弧于已知
（1）求的半径。（4分）
（2）求劣弧的长。（3分）
（3）求由弦与劣弧围成的图形的面积和周长。（4分）
第20题解析图
【解答】（1）连接由为弦的中点，得且【1分】
设半径为依次共线，【1分】
由勾股定理，【1分】
解得所以圆的半径为6。【1分】
（2）在直角三角形中，【1分】
由垂径定理或全等三角形，得【1分】
所以劣弧的长为【1分】
（3）所求图形的面积等于扇形的面积减去的面积，故
【2分】
所求图形的边界由劣弧和弦组成，所以周长为【2分】
【评分说明】把两条半径计入周长不符合所求图形的真实边界，不给周长部分的相应分。
21．（12分）在等腰三角形中，是的中点。
（1）圆心在线段上，经过点且与直线相切。求的半径。（3分）
（2）在平面内，经过点且同时与直线相切的圆共有几个？求出这些圆的半径，并说明理由。（6分）
（3）第（2）问中的哪些圆与线段均相切？说明理由。（3分）
第21题解析图
【解答】（1）因为所以由勾股定理，【1分】
设圆的半径为圆心到的垂足为则由面积关系，
另一方面，故【1分】
解得此时在线段内部，到的距离确为3，以为圆心、3为半径作圆便满足条件，故所求半径为3。【1分】
（2）所求圆的圆心到直线的距离相等，故圆心必在这两条直线所成角的两条角平分线上，即直线或过且平行于的直线。【2分】
若在后一条直线上，则而点到直线的距离不大于这与圆经过且切于直线所要求的“等于圆心到的距离”矛盾。因此只能在直线上。【1分】
以为原点、射线的方向为正方向，在直线上设点的坐标为则记点到直线的距离为
以为底时，高为以为底时，高为由同一三角形的面积，得圆经过且与相切要求因此
两边平方并整理，得所以或【面积等式及求出两解共2分】
两个值代回原等式均成立；对应半径分别为3、12。由于两圆心都在直线上，到直线的距离也等于相应半径，所以两个圆均存在。圆心全集已经穷尽，故恰有两个圆，半径分别为3、12。【1分】
第21题解析图
（3）当时，在直角三角形中，为锐角，垂足在射线上，故在线段内部。另一切点同理在线段内部。【1分】
当时，此时射线仍与射线重合，为锐角，垂足在射线上且位于的外侧；另一切点同理位于的外侧。【1分】
因此只有半径为3的圆同时与线段相切。【1分】
【评分说明】第（2）问可按圆心在直线上的各段分别求解。无论采用哪种方法，都须说明圆心为何只能在两条角平分线上、为何排除另一条角平分线，并检验所有候选圆；仅求出一个内切圆不能得全解分。
22．（16分）正六边形的边长为4，中心为点分别在边上，且
（1）求证：是等边三角形，且是它的外心。（4分）
（2）求面积的最小值，并判断取得最小值时，的外接圆是否与正六边形的六条边都相切，说明理由。（5分）
（3）若不再要求只保留点分别在边上，且为等边三角形，是否一定有？请说明理由。（7分）
第22题解析图
【解答】（1）不妨设正六边形的顶点按逆时针次序排列。绕点逆时针旋转分别对应边对应边由且两点在对应边上，点对应点同理，对应对应【2分】
所以且等圆心角所对的弦相等，故为等边三角形。【1分】
又所以是的外心。【1分】
（2）作于正六边形的外接圆半径故又所以【2分】
等边三角形的外接圆半径为连接三条半径，把它分成三个圆心角为的等腰三角形，再分别作底边上的高。由含角的直角三角形性质，可得等边三角形的边长为边心距为因此
由于面积的最小值为【1分】
当且仅当时取到最小值，且在允许范围内。【1分】
此时恰好等于点到正六边形各边的距离。相应垂足分别为六条边的中点，都在线段上，所以的外接圆与正六边形的六条边都相切。【1分】
第22题解析图
（3）一定有
在上分别取使由第（1）问，为等边三角形。【2分】
沿凸六边形的边界依次排列，且这三条边两两不相交，故为逆时针方向；参照三角形同理。于是绕点逆时针旋转可同时把变为把变为【2分】
假设则非零线段在直线上，其旋转后的像为非零线段正六边形中，直线逆时针旋转后的方向平行于故但又都在直线上，这将使与正六边形中这两边不平行矛盾。【2分】
因此由同一旋转的对应点唯一，故【1分】
端点也包括在上述证明中：或4时，参照三角形分别为或均不退化；三个点在边界上的次序不变，不会出现遗漏的反向等边三角形。
【评分说明】第（3）问可采用等价的全等、坐标或其他完整初等证明，按相应逻辑步骤给分；仅由第（1）问正命题直接断言逆命题成立，不能获得证明分。
23．（14分）的半径为5，点在圆内，过的两条互相垂直的直线分别与圆交于和及依次排列，连接
（1）求证：（4分）
（2）求四边形面积的最大值，并说明取得最大值时两条弦的位置。（5分）
（3）求四边形面积的最小值，并说明取得最小值时两条弦的位置。（5分）
第23题解析图
【解答】（1）作于于记
当不在两条弦上时，为矩形，故当在其中一条弦上时，一个距离为0，另一个为等式仍成立。【2分】
由垂径定理与勾股定理，【1分】
因此【1分】
（2）四边形的面积等于四个直角三角形面积之和，故
【1分】
由得所以【2分】
等号当且仅当即此时直线是两条互相垂直的弦所在直线所成角的一条角平分线。【1分】
过作两条与直线成角且互相垂直的直线，即可得到上述等弦位置，因此最大值41可以取得。【1分】
第23题解析图
（3）由得
【2分】
因为且所以【1分】
等号当且仅当即至少一条弦所在直线经过圆心该弦为直径。【1分】
过作直线及其垂线，所得两条弦的长分别为10和四边形面积为因为两条弦不可能同时为直径。因此最小值为40，且仅当一条弦为直径时取得。【1分】
第23题解析图
【评分说明】上下界都须说明取等条件及其可以实现。最小值情形中，垂足可能与重合；应使用退化情形的距离关系，不把重合的点当成四个不同的矩形顶点。
圆单元测试卷 教师解析 A3 第 1 页 共 1 页
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第3章圆单元测试卷
装订线
答题卡
姓
名：
准考证号：
贴条形码区
注意事项
1.答题前，将姓名、准考证号填写清楚，并核准条码信息，在规
考生禁填：
缺考标记
定位置贴好条码。
违纪标记
2.选择题用2B铅笔填涂；非选择题用0.5mm黑色字迹签字笔作
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
答。作图题可用铅笔。
3.按题号顺序在规定区域作答，字迹工整，笔迹清晰。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂
[×][V]M
考试时间：120分钟
满分：130分
一、
单项选择题：共8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个符合题目要求的选项。
1.[A]
[B]
[c]
[D]
5.[A]
[B]
[C]
[D]
2.[A]
[B]
IC]
[D]
6.[A]
[B]
[C]
[D]
3.[A[B]
[C]
[D]
7.[A]
[B][C
[D]
4.[A[B][C]
[D]
8.[A][B]
[C][D]
二、
填空题：共8小题，每小题3分，共24分。
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
解答题作答区域接下页（栏）。
O
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第1页共4页左栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、解答题：
共7小题，共82分。
应写出必要的计算过程或推理依据。
17.(8分)
(1)(6分)
B
A
c
(2)(2分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第1页共4页右栏
■
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
装订线
18.
(9分)
(1)
(4分)
D
E
2m
8m
A
B
12m
(2)
(5分)
O
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第2页共4页左栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19.(12分)
(1)(4分)
C
0
B
(2)(4分)
(3)(4分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第2页共4页右栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
装订线
20.
(11分)
(1)
(4分)
A
6V3
0
C
M
3
B
(2)
(3分)
藥
(3)
(4分)
茶
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
、
圆单元测试卷答题卡A3第3页共4页左栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21.(12分)
(1)(3分)
0
B
D
(2)(6分)
(3)(3分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第3页共4页右栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
装订线
22.(16分)
(1)
(4分)
C
B
Q
P
D
A
E
R
F
(2)
(5分)
(3)(7分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第4页共4页左栏
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23.(14分)
(1)(4分)
D
B
0
E
C
A
(2)(5分)
(3)(5分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
圆单元测试卷答题卡A3第4页共4页右栏
资源预览图
