第十一章 三角形一条中线 8大模型 精讲与配套练习　 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册 第十一章三角形　 一条中线8大模型精讲与配套练习 本专题以初中几何范畴内“单条中线”对应的八类模型为分析框架，阐释涵盖①倍长中线构造全等、②中线面积平分、③中线取值范围、④重心存在性、⑤重心分中线2:1线段比、⑥中线面积三等分、⑦中线面积六等分以及⑧重心逆判定。 结论一　倍长中线构造全等：将分散线段与角集中到同一个三角形中 结论与模型　在 中， 是 边上的中线。延长 至点 ，使 ，连接 。则必有 （），从而得出 且 。通过倍长中线，可以将原来分散在两侧的边 、 以及中线 （变为 ）集中到同一个三角形 中，从而建立边角等量或不等量关系。 推导　因为 是 边上的中线，所以 。 延长 到点 ，使 ，连接 。 在 与 中， 因为 ，（对顶角相等），， 由全等三角形判定定理（），得 。 所以 ，。 因为 （内错角相等）， 所以 。 适用边界与易错辨析　 (1) 看见中点或中线，若已知条件包含中线两侧的邻边长度或夹角，首选倍长中线法。 (2) 倍长必须是严格沿中线方向延长一倍（），不可随意延长。 (3) 连接新端点时，既可以连 （将 平移转化到 ），也可以连接 （将 平移转化到 ），应根据题目待求线段灵活选择。 (4) 在考试书写中，必须先写出辅助线作法“延长 至点 ，使 ，连接 ”，再交代 依据，不可直接断言 且平行。 配套练习 题1　如图，在 中， 是 边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 。求证： 且 。 【证明】 延长 到点 ，使 。 因为 是 边上的中线， 所以 。 在 和 中， 因为 ，（对顶角相等），， 由 判定定理，得 。 所以 ，。 由内错角相等，两直线平行，得 。 答： 且 成立。 题2　如图，在 中， 是 边上的中线，，。若中线 的长为整数，求 的所有可能值。 【解】 延长 至点 ，使 ，连接 。 因为 是 边上的中线，所以 。 在 和 中，，，。 由 得 ，所以 。 在 中，，，。 由三角形三边关系定理，得 ， 即 ， 。 两边同除以 ，得 。 因为 的长为整数，所以 可以取 、、、。 答： 的所有可能值为 、、、。 题3　如图，在 中，， 是斜边 上的中线，，。请用倍长中线的方法证明：，并求出 的长。 【解】 延长 至点 ，使 ，连接 、。 因为 是 边上的中线，所以 。 在 和 中，，，。 由 得 ，所以 ，。 所以 。 因为 ，两直线平行同旁内角互补，所以 。 在 与 中，，，（公共边）。 由 得 ，所以 。 因为 ，所以 ，即 ，得 。 在 中，由勾股定理，。 所以 。 答： 成立，中线 的长为 。 题4　如图，测量人员要测量池塘两端 、 的距离。在池塘外平地上选一点 ，测出 的中点 ，连接 并测得 米。将 沿直线延长至点 ，使 。经测量 米。请说明 与 的大小关系，并求出 、 两点间的距离。 【解】 的长等于 的长， 米。 理由如下： 在 和 中， 因为 是 的中点，所以 。 由作法知 ， 又 （对顶角相等）。 由全等三角形判定定理（），得 。 所以 。 已知测得 米， 所以 米。 答：、 两点间的距离为 米，依据是倍长中线构造全等三角形（）对应边相等。 结论二　一条中线平分面积：等底同高的两个三角形面积相等 结论与模型　在 中， 是 边上的中线，则必有 。更一般地，若点 在线段 上，且 ，则 。一条中线不仅平分原三角形面积，若在中线上任取一点 ，该点与底边两端连线所得的两个三角形面积也相等（，从而 ）。 推导　过顶点 作 于点 。 则线段 既是 在底边 上的高，也是 在底边 上的高。 由三角形面积公式，得 ，。 因为 是 边上的中线，所以 。 所以 。 又 ， 所以 。 适用边界与易错辨析 (1) 中线平分的是「面积」，而不是「周长」；两部分的周长差等于另外两边的差 ，切勿将面积相等误认为周长相等。 (2) 面积相等的两个三角形不一定全等，中线分成的两个小三角形通常是不全等的。 (3) 只有当两个三角形的底落在同一条直线上且共用一个顶点时，面积比才等于底边之比。 (4) 连续利用中线平分面积时，要注意每次减半的对象是哪个局部三角形，避免层级搞混。 配套练习 题1　如图，在 中，面积为 ， 是 的中点， 是 的中点。求 的面积。 【解】 因为 是 的中点，所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 在 中，因为 是 的中点，所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 答： 的面积为 。 题2　如图，在 中， 是 边上的中线， 的周长比 的周长大 。已知 ，求 的长。 【解】 因为 是 边上的中线， 所以 。 的周长为 ， 的周长为 。 两周长之差为 。 已知 的周长比 的周长大 ， 所以 。 代入 ，得 ，解得 。 答： 的长为 。 题3　如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，且点 是线段 的中点。求证：。 【证明】 在 中，点 是 的中点， 所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 在 中，点 是 的中点， 所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 两式相加，得 。 因为 ，， 所以 。 答： 成立。 题4　某农户有一块三角形菜地 （如图），现要在菜地中开挖一条笔直的水渠 将菜地分成面积相等的两块，且水渠必须经过水渠入口顶点 。请用几何作图方法确定点 的位置，并说明能够平分面积的理由。 【解】 作法： 作线段 的垂直平分线，交 于点 （即取 的中点 ），连接 ，则线段 即为所求水渠的位置。 理由如下： 因为点 是 的中点，所以 。 线段 是 的中线。 过点 作 的垂线段 ，垂足为 。 则 和 具有公共的高 。 所以 ，。 因为 ，所以 。 答：取 边的中点 连结 即可，依据是等底同高的三角形面积相等。 结论三　中线长度取值范围：两边之差的一半与两边之和的一半之间 结论与模型　在 中， 是 边上的中线，两邻边长分别为 ，。则中线 的取值范围满足：.即中线长大于两邻边之差的一半，且小于两邻边之和的一半。 推导　延长 至点 ，使 ，连接 。 因为 是 边上的中线，所以 。 由倍长中线构造全等，容易证明 （）。 所以 。 在 中，三边长分别为 ，，。 由三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），在 中有： ， 即 。 不等式各项同时除以 ，得 . 适用边界与易错辨析　 (1) 公式中的两边必须是夹中线的两邻边，切勿代入底边 的长度。 (2) 区间的两个端点绝不能取等号，因为若取等号，三点共线无法构成三角形。 (3) 常见考法为「已知两边长，求中线为整数时的取值个数」，解题时必须严格写出开区间后再筛选整数。 (4) 若题目反过来已知中线长和其中一边，求第三边的取值范围，同样通过构造的 用三边关系求解。 配套练习 题1　如图，在 中，，， 是 边上的中线。求中线 的取值范围。 【解】 延长 至点 ，使 ，连接 。 因为 是 边上的中线，所以 。 在 和 中，，，。 由 得 ，所以 。 在 中，，，。 由三角形三边关系定理，得 ， 即 ， 。 两边同除以 ，得 。 答：中线 的取值范围是 。 题2　如图，在 中，，， 是 边上的中线，且 的长为奇数。求 的长。 【解】 延长 至点 ，使 ，连接 。 由倍长中线得 （）， 所以 。 在 中，，，。 由三角形三边关系定理，得 ， 即 。 两边同除以 ，得 。 因为 的长为奇数，所以在区间 内的奇数只有 。 所以 。 答： 的长为 。 题3　如图，在 中， 是 边上的中线。已知 ，，求另一边 的取值范围。 【解】 延长 至点 ，使 ，连接 。 由倍长中线可得 （）， 所以 。 在 中，已知 ，。 边 为 的第三边， 由三角形三边关系定理，得 ， 即 ， 。 答：边 的取值范围是 。 题4　如图，工程师设计人字形桥架，两根斜拉钢索 、 的长度分别为 米和 米，中间竖直支撑立柱 恰好连接到底梁 的中点。求立柱 长度的设计允许范围。 【解】 由题意知，在 中， 米， 米， 是底边 上的中线。 延长 至点 ，使 ，连接 。 由倍长中线得 （）， 所以 米。 在 中，已知 米， 米，。 由三角形三边关系定理，得 ， 即 ， 。 两边同除以 ，得 。 答：立柱 长度的设计允许范围是大于 米且小于 米（即 米）。 结论四　三条中线必共点：三角形的三条中线交于同一点（重心） 结论与模型　任意三角形的三条中线必相交于同一点，这个公共交点叫做三角形的重心（通常用字母 表示）。三角形的重心始终落在三角形的内部。 推导　在 中，设中线 与中线 相交于点 。 连接 并延长交 于点 。 因为 是 边上的中线，所以 ，且 。 两式相减，得 。 同理，因为 是 边上的中线，可得 。 所以 。 又 与 分别以 、 为底边，且点 是公共顶点（即在直线 上的高相等）， 所以面积之比等于底之比：。 因为 ，所以 ，即 。 所以点 是 边的中点，线段 就是 的第三条中线。 因此，第三条中线 必过前两条中线的交点 。 即三条中线相交于同一点 。 适用边界与易错辨析　 (1) 作图中两条中线确定交点，第三条中线必须经过该交点，不能误以为三条线是分别独立画出来的。 (2) 无论锐角、直角还是钝角三角形，重心始终落在三角形内部，这与外心（可能在形外或斜边上）和垂心（可能在形外或直角顶点）截然不同。 (3) 证明三线共点必须使用面积法，避免使用未学的相似三角形或中位线定理。 配套练习 题1　如图，在 中，、 是两条中线，它们交于点 ，连接 并延长交 于点 。求证：（即 也是中线）。 【证明】 因为 是 边上的中线，由中线平分面积，得 ，且 。 两式相减，得 。 同理，因为 是 边上的中线，得 。 所以 。 在 中， 和 共用顶点 ，底边 和 在同一条直线 上， 所以它们的高相等，其面积之比等于底之比，即 。 因为 ，所以 ， 得 。 答： 成立，线段 也是 的中线。 题2　如图，在 中，，、、 是三条中线，交于点 。判断重心 是否仍在三角形内部，并说明理由。 【解】 重心 仍在三角形内部。 理由如下： 在 中， 是 边上的中线，点 在线段 的内部（不含端点）； 是 边上的中线，点 在线段 的内部（不含端点）。 中线 是连接顶点 与线段 内部点的线段，除了顶点 以外，其上所有点都在 的内部； 同理，中线 除了顶点 以外，其上所有点都在 的内部。 两线段 与 的交点 不是顶点 也不是顶点 ， 所以交点 必然落在 的内部。 答：重心 仍在三角形内部，任意三角形的重心都恒在三角形内部。 题3　如图，在 内部有一点 ，连接 、、。若已知 ，连接 并延长交 于点 。求证：点 是 的中点。 【证明】 连接 并延长交 于点 。 在 与 中，它们在底边 上的高相等（过顶点 作 的垂线段）， 所以 。 同理，在 与 中，过顶点 作 的垂线段，它们的高也相等， 所以 。 由等比性质（合分比），得 。 因为 ，， 所以 。 已知 ， 所以 ，即 。 所以点 是 的中点。 答：点 是 的中点。 题4　物理老师给小明一块厚度均匀的任意三角形薄木板 ，要求在木板上找一个点，用一根手指顶住该点能使木板保持水平平衡。在物理学上，均匀三角形木板的质心即几何重心。请你说明确定该平衡点的作图步骤。 【解】 作图步骤如下： ① 用尺规作线段 的垂直平分线，交 于点 （点 即为 的中点）； ② 连接 ，线段 即为 边上的中线； ③ 用尺规作线段 的垂直平分线，交 于点 （点 即为 的中点）； ④ 连接 ，线段 即为 边上的中线； ⑤ 线段 与 的交点记为 。 则点 就是三角形木板的重心（平衡支撑点）。 理由：三角形薄木板保持平衡的点是重心，任意两条中线的交点即为重心。 答：作任意两边的中线，其交点 即为所求的平衡支撑点。 结论五　重心的线段比：重心分每条中线为 2:1 结论与模型　设点 是 的重心（三条中线的交点），则重心 将每条中线分成的两条线段之比恒为 （顶点到重心的距离等于重心到对边中点距离的 倍），即：，，。由比例可知：顶点到重心的线段占整条中线长的，重心到中点的线段占整条中线长的。 推导　由结论二知，一条中线平分三角形面积。 因为 是 边上的中线，所以 ，且 。 两式相减，得 。 同理，因为 是 边上的中线，可得 。 所以 。 在 中，因为 是 的中点，所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 代入上式，得 。 注意： 与 分别以线段 和 为底，它们共用顶点 （在直线 上的高相等）。 所以它们的面积之比等于底边之比： 。 即 。 同理可证 ，。 适用边界与易错辨析　 (1) 比例方向切勿混淆：顶点到重心的线段较长（占 2 份），重心到对边中点的线段较短（占 1 份），不是 1:2。 (2) 推导该结论必须使用等高三角形的面积比，避免使用相似三角形或三角形中位线定理。 (3) 在计算两条垂直中线围成的直角三角形时，常结合勾股定理设 2k 与 k 求解。 (4) 若两线段中点已知，连接两中点的线段并不是中线，不可直接套用 2:1。 配套练习 题1　如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的重心。若 ，求线段 和 的长。 【解】 因为 是 的中线， 是 的重心， 由重心的性质，点 分中线 为 ，即 。 所以 ， 。 已知 ，代入得 ， 。 答： 的长为 ， 的长为 。 题2　如图，在 中，、 是两条中线，它们相交于点 ，且 于点 。若 ，，求线段 的长。 【解】 因为 、 是 的中线，它们相交于点 ， 所以点 是 的重心。 由重心的性质，，。 已知 ，，代入得 ， 。 因为 于点 ， 所以 是直角三角形，。 在 中，由勾股定理，得 。 答：线段 的长为 。 题3　如图，在 中， 是重心，中线 与中线 交于点 。延长 至点 ，使 。求证：四边形 是平行四边形，并说明 。 【证明】 因为 是 边上的中线， 所以 。 由作法知 。 在四边形 中，对角线 与 互相平分， 所以四边形 是平行四边形。 因为点 是 的重心， 是中线， 由重心的性质，，即 。 又因为 ， 所以 。 所以 。 答：四边形 是平行四边形，且 成立。 题4　如图，风筝制作者制作一个等边三角形风筝框架 ， 是底边 上的中线，风筝引线固定在重心 处。已知中线 。求引线固定点 到顶点 的距离，并说明该比例在力学平衡中的意义。 【解】 因为点 是等边三角形框架 的重心， 由重心的性质，重心分中线 为 ， 所以 。 已知 ，代入计算得 。 力学意义：重心是物体质量分布的平衡中心。将风筝引线固定在重心的位置，可以保证风力在三边产生的合力矩平衡，防止飞行时发生翻滚，确保风筝在空中平稳飞行。 答：引线固定点 到顶点 的距离为 ，依据是重心按 平分中线，实现风阻力矩平衡。 结论六　重心一连面积三等分：重心与三顶点连线将面积三等分 结论与模型　三角形的重心 与三个顶点 、、 分别连结，所得的三个三角形面积完全相等，各占总面积的，即：。进一步地，若 、、 分别是三边中点，则三个小四边形 、、 的面积也各自相等，各占总面积的。 推导　在 中，设 是 边上的中线， 是重心。 由结论二知，中线平分面积：，且 。 两式相减，得 。 同理，设 是 边上的中线，可得 。 所以 。 又因为三个三角形拼接成整个原三角形 ，即 。 所以 ， 得 。 适用边界与易错辨析　 (1) 三块面积相等的前提是点 为重心，内部任意点不具备该性质。 (2) 面积虽然三等分，但三个小三角形通常并不全等，只有当原三角形为等边三角形时这三块才全等。 (3) 利用该结论求组合阴影图形面积时，应优先转化为这三块之一的倍数或分式。 (4) 注意区分顶点连线与中点连线：连顶点面积是三等分，连中线面积是六等分。 配套练习 题1　如图，在 中， 是重心， 的面积为 。求 的面积。 【解】 因为点 是 的重心， 由重心三等分面积的性质， 。 已知 ，代入得 。 答： 的面积为 。 题2　如图，在 中，、 是中线，交于重心 。若四边形 的面积为 ，求 的面积。 【解】 连接 。 因为 是 的重心，所以 。 在 中，因为 是 的中点，由中线平分面积，得 。 在 中，因为 是 的中点，由中线平分面积，得 。 所以四边形 的面积为 。 已知四边形 的面积为 ， 所以，解得 。 答： 的面积为 。 题3　如图，在 中， 是重心， 是线段 的中点。求 的比值。 【解】 连接 、。 因为点 是 的重心， 由重心性质，。 设中线 交 于点 。 由重心的性质，。 因为点 是线段 的中点，所以 。 在直线 上，线段 。 与 具有公共底边 ，它们的高之比等于它们在底边 上的顶点投影比，即等于 。 因为 ，所以 。 所以 。 所以 。 答： 的比值为 。 题4　甲、乙、丙三户农民共同承包了一块三角形农田 （如图）。现需在田内确定一个分水井 ，分别向三个顶点 、、 铺设笔直的排水沟，要求分水井 划分出的三个片区 、、 的面积完全相等。问分水井 应选在何处？若该农田总面积为 亩，求每个承包区的水浇田面积。 【解】 分水井 应选在 的重心位置。 理由如下： 三角形的三条中线交于重心 。 连接重心与三个顶点，所得的三个三角形分别以一条边为底，底边上的高与重心到三边的距离成比例，由中线平分面积性质可证： 。 因此三个片区的面积严格相等，符合规划要求。 每个片区的面积计算： 已知农田总面积为 亩， 所以每个承包区面积为 （亩）。 答：分水井应选在 的重心处，每个承包区的水浇田面积为 亩。 结论七　三条中线六等分面积：每个小三角形面积均占 结论与模型　三角形的三条中线 、、 相交于重心 ，将原三角形 分割成 个小三角形。这 个小三角形的面积完全相等，每一个小三角形的面积都等于原三角形面积的，即：。 推导　由结论六可知，重心与三顶点的连线将面积三等分： 。 在 中，因为点 是 的中点，所以 是底边 上的中线。 由中线平分面积，得 。 同理，在 中，因为点 是 的中点， 是中线， 得 。 在 中，因为点 是 的中点， 是中线， 得 。 所以这 个小三角形的面积完全相等，各等于。 适用边界与易错辨析　 (1) 6 个小三角形面积相等，但它们的形状一般互不相同，切勿误认成全等三角形。 (2) 在解决含有中点的组合多边形面积问题时，将每个小三角设为面积单元「1」，原三角形面积即为「6」，用整数单元法可以极快算准，避免冗长分数计算。 (3) 当连接中位线（如 ）时，需注意 并不在这 6 个单元之内，应利用中线分段比另行求算。 (4) 答题时写清六等分的推导链条：三等分 局部中线折半 六等分。 配套练习 题1　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 。若 的面积为 ，求 的面积。 【解】 因为 、、 是 的三条中线，交于重心 ， 由三条中线六等分面积的性质， 。 已知 ，代入得 ， 两边同乘以 ，得 。 答： 的面积为 。 题2　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 。求四边形 的面积与 面积的比值。 【解】 因为 、、 是 的三条中线，交于重心 ， 由三条中线六等分面积的性质，每个小三角形面积均占，即 。 观察图形可知，四边形 由 和 拼成， 所以四边形 的面积为 。 所以 。 答：四边形 的面积与 面积的比值为 。 题3　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 ，连接 。求 的面积与 面积的比值。 【解】 连接 。 因为点 是 的重心，由三条中线六等分面积的性质， 。 由重心的性质，点 分中线 为 ，即 。 所以 。 在 与 中，它们以 和 为底边，共用顶点 （在直线 上的高相等）， 所以 。 因为 ， 所以 。 所以 。 答： 的面积与 面积的比值为 。 题4　某校徽设计大赛中，小华设计了一枚三角形徽章（如图），以 的三条中线将徽章分成 个互不重叠的三角小区域，其中相间的 个区域 、、 涂成红色，其余 个区域涂成白色。已知徽章总面积为 。求红色区域的总面积。 【解】 由三条中线六等分面积的性质，中线交点 是 的重心， 分割出的 个小三角形面积完全相等， 每个小三角形的面积均为 。 红色区域由 、、 三个小三角形组成， 所以红色区域的总面积为 。 已知徽章总面积 ， 代入计算得 。 答：红色区域的总面积为 。 结论八　重心的逆判定与中线四大思维模型：任意两中线交点即重心 结论与模型　 1. 重心的逆判定：若点 是 内部一点，且满足 ，则点 必为 的重心。 2. 中线四大思维链模型：见一个中点：作中线，等底同高平分面积； 见线段和差或倍半：倍长中线，构造 全等转化； 见两条中线相交：锁定重心，利用分段比 列方程；见三条中线全出：面积六等分，整数单元法速算。 推导　设点 是 内部一点，已知 。 连接 并延长交 于点 。 在 与 中，它们以 、 为底，顶点均为 ，高相等， 所以 。 在 与 中，它们以 、 为底，顶点均为 ，高相等， 所以 。 由等比性质（合分比），得 ， 即 。 因为已知 ，所以 ，得 。 所以点 是 边的中点，线段 是 的中线。 同理，连接 并延长交 于点 ，可证 ，所以 也是 的中线。 因为点 是中线 与中线 的公共交点， 所以点 必为 的重心。 适用边界与易错辨析　 (1) 重心的逆判定必须是“三块面积都相等”，若只有其中两块面积相等，只能说明该点落在某一条中线上，不能断定是重心。 (2) 中线四大思维模型是考场识别解题方向的钥匙，遇见条件要主动对应模型，不可盲目乱连辅助线。 (3) 看到中线求最值，要结合倍长中线与两点之间线段最短；看到面积求比例，要结合重心 2:1 与六等分单元。 (4) 解答题中运用逆判定时，必须写出设交点、用面积比导出底边中点的完整推理过程。 配套练习 题1　如图，在 中， 是内部一点，连接 并延长交 于点 。若已知 ，求证：线段 是 的中线。 【证明】 连接 并延长交 于点 。 在 与 中，底边分别为 和 ，共用顶点 ，在直线 上的高相等， 所以 。 在 与 中，底边分别为 和 ，共用顶点 ，在直线 上的高相等， 所以 。 由等比性质（合分比），得 。 因为 ，， 所以 。 已知 ，所以 ，得 。 所以点 是 的中点，线段 是 的中线。 答：线段 是 的中线成立。 题2　如图，在 中，点 在内部，已知 ，且 的总面积为 。求证：点 是 的重心。 【证明】 因为 的总面积为 ，且 ，， 所以 。 所以 。 连接 并延长交 于点 。 由结论八中面积比的推导， 推出 ，即 是 的中线。 连接 并延长交 于点 。 同理由 推出 ，即 也是 的中线。 因为点 是中线 与中线 的交点， 所以点 是 的重心。 答：点 是 的重心成立。 题3　如图，在 中， 是 边上的中线， 是中线 上任意一点（不与点 、 重合）。求证：；并说明当且仅当点 处于什么位置时，、、 三个三角形面积相等。 【解】 第一问证明： 因为 是 边上的中线，所以 。 在 和 中，等底同高，由中线平分面积得 。 在 和 中，等底同高，由中线平分面积得 。 两式相减，得 ， 即 。 第二问： 当且仅当点 处于中线 上满足 （即点 为 的重心）时，三个三角形面积相等。 理由：已知对于 上任意点 均有 ， 若要求 ， 因为 ，且 ， 所以 ，即 ，此时点 恰为重心 。 答： 成立；当且仅当点 是重心时，三个三角形面积相等。 题4　某城市规划在三角形绿化带 内部设置一个垃圾分类收集中心 。为了使周边三片社区分配均衡，要求三个服务片区 、、 的清运面积严格均等。规划局小王认为回收中心只能设在 的重心位置。他的观点正确吗？请运用数学知识给出论证。 【解】 小王的观点完全正确。 论证如下： 设垃圾收集中心为绿化带内部点 。 若三个服务片区面积严格均等，则满足： 。 连接 并延长交 于点 。 在 与 中，以 、 为底，高相等，得 ； 在 与 中，以 、 为底，高相等，得 。 由合分比定理，， 即 。 因为 ，所以 ，即 。 所以点 是 的中点，线段 是三角形的一条中线。 同理，连接 并延长交 于点 ，可证点 是 的中点，线段 也是一条中线。 因为点 是中线 与中线 的交点，而两条直线的交点是唯一的， 所以内部满足三块面积均等的点 只能是三角形的重心 。 答：小王的观点完全正确，垃圾收集中心只能且必须设在三角形绿化带的几何重心位置。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级数学上册 第十一章三角形　 一条中线8大模型精讲与配套练习 本专题以初中几何范畴内“单条中线”对应的八类模型为分析框架，阐释涵盖①倍长中线构造全等、②中线面积平分、③中线取值范围、④重心存在性、⑤重心分中线2:1线段比、⑥中线面积三等分、⑦中线面积六等分以及⑧重心逆判定。 结论一　倍长中线构造全等：将分散线段与角集中到同一个三角形中 结论与模型　在 中， 是 边上的中线。延长 至点 ，使 ，连接 。则必有 （），从而得出 且 。通过倍长中线，可以将原来分散在两侧的边 、 以及中线 （变为 ）集中到同一个三角形 中，从而建立边角等量或不等量关系。 推导　因为 是 边上的中线，所以 。 延长 到点 ，使 ，连接 。 在 与 中， 因为 ，（对顶角相等），， 由全等三角形判定定理（），得 。 所以 ，。 因为 （内错角相等）， 所以 。 适用边界与易错辨析　 (1) 看见中点或中线，若已知条件包含中线两侧的邻边长度或夹角，首选倍长中线法。 (2) 倍长必须是严格沿中线方向延长一倍（），不可随意延长。 (3) 连接新端点时，既可以连 （将 平移转化到 ），也可以连接 （将 平移转化到 ），应根据题目待求线段灵活选择。 (4) 在考试书写中，必须先写出辅助线作法“延长 至点 ，使 ，连接 ”，再交代 依据，不可直接断言 且平行。 配套练习 题1　如图，在 中， 是 边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 。求证： 且 。 题2　如图，在 中， 是 边上的中线，，。若中线 的长为整数，求 的所有可能值。 题3　如图，在 中，， 是斜边 上的中线，，。请用倍长中线的方法证明：，并求出 的长。 题4　如图，测量人员要测量池塘两端 、 的距离。在池塘外平地上选一点 ，测出 的中点 ，连接 并测得 米。将 沿直线延长至点 ，使 。经测量 米。请说明 与 的大小关系，并求出 、 两点间的距离。 结论二　一条中线平分面积：等底同高的两个三角形面积相等 结论与模型　在 中， 是 边上的中线，则必有 。更一般地，若点 在线段 上，且 ，则 。一条中线不仅平分原三角形面积，若在中线上任取一点 ，该点与底边两端连线所得的两个三角形面积也相等（，从而 ）。 推导　过顶点 作 于点 。 则线段 既是 在底边 上的高，也是 在底边 上的高。 由三角形面积公式，得 ，。 因为 是 边上的中线，所以 。 所以 。 又 ， 所以 。 适用边界与易错辨析 (1) 中线平分的是「面积」，而不是「周长」；两部分的周长差等于另外两边的差 ，切勿将面积相等误认为周长相等。 (2) 面积相等的两个三角形不一定全等，中线分成的两个小三角形通常是不全等的。 (3) 只有当两个三角形的底落在同一条直线上且共用一个顶点时，面积比才等于底边之比。 (4) 连续利用中线平分面积时，要注意每次减半的对象是哪个局部三角形，避免层级搞混。 配套练习 题1　如图，在 中，面积为 ， 是 的中点， 是 的中点。求 的面积。 题2　如图，在 中， 是 边上的中线， 的周长比 的周长大 。已知 ，求 的长。 题3　如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，且点 是线段 的中点。求证：。 题4　某农户有一块三角形菜地 （如图），现要在菜地中开挖一条笔直的水渠 将菜地分成面积相等的两块，且水渠必须经过水渠入口顶点 。请用几何作图方法确定点 的位置，并说明能够平分面积的理由。 结论三　中线长度取值范围：两边之差的一半与两边之和的一半之间 结论与模型　在 中， 是 边上的中线，两邻边长分别为 ，。则中线 的取值范围满足：.即中线长大于两邻边之差的一半，且小于两邻边之和的一半。 推导　延长 至点 ，使 ，连接 。 因为 是 边上的中线，所以 。 由倍长中线构造全等，容易证明 （）。 所以 。 在 中，三边长分别为 ，，。 由三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），在 中有： ， 即 。 不等式各项同时除以 ，得 . 适用边界与易错辨析　 (1) 公式中的两边必须是夹中线的两邻边，切勿代入底边 的长度。 (2) 区间的两个端点绝不能取等号，因为若取等号，三点共线无法构成三角形。 (3) 常见考法为「已知两边长，求中线为整数时的取值个数」，解题时必须严格写出开区间后再筛选整数。 (4) 若题目反过来已知中线长和其中一边，求第三边的取值范围，同样通过构造的 用三边关系求解。 配套练习 题1　如图，在 中，，， 是 边上的中线。求中线 的取值范围。 题2　如图，在 中，，， 是 边上的中线，且 的长为奇数。求 的长。 题3　如图，在 中， 是 边上的中线。已知 ，，求另一边 的取值范围。 题4　如图，工程师设计人字形桥架，两根斜拉钢索 、 的长度分别为 米和 米，中间竖直支撑立柱 恰好连接到底梁 的中点。求立柱 长度的设计允许范围。 结论四　三条中线必共点：三角形的三条中线交于同一点（重心） 结论与模型　任意三角形的三条中线必相交于同一点，这个公共交点叫做三角形的重心（通常用字母 表示）。三角形的重心始终落在三角形的内部。 推导　在 中，设中线 与中线 相交于点 。 连接 并延长交 于点 。 因为 是 边上的中线，所以 ，且 。 两式相减，得 。 同理，因为 是 边上的中线，可得 。 所以 。 又 与 分别以 、 为底边，且点 是公共顶点（即在直线 上的高相等）， 所以面积之比等于底之比：。 因为 ，所以 ，即 。 所以点 是 边的中点，线段 就是 的第三条中线。 因此，第三条中线 必过前两条中线的交点 。 即三条中线相交于同一点 。 适用边界与易错辨析　 (1) 作图中两条中线确定交点，第三条中线必须经过该交点，不能误以为三条线是分别独立画出来的。 (2) 无论锐角、直角还是钝角三角形，重心始终落在三角形内部，这与外心（可能在形外或斜边上）和垂心（可能在形外或直角顶点）截然不同。 (3) 证明三线共点必须使用面积法，避免使用未学的相似三角形或中位线定理。 配套练习 题1　如图，在 中，、 是两条中线，它们交于点 ，连接 并延长交 于点 。求证：（即 也是中线）。 题2　如图，在 中，，、、 是三条中线，交于点 。判断重心 是否仍在三角形内部，并说明理由。 题3　如图，在 内部有一点 ，连接 、、。若已知 ，连接 并延长交 于点 。求证：点 是 的中点。 题4　物理老师给小明一块厚度均匀的任意三角形薄木板 ，要求在木板上找一个点，用一根手指顶住该点能使木板保持水平平衡。在物理学上，均匀三角形木板的质心即几何重心。请你说明确定该平衡点的作图步骤。 结论五　重心的线段比：重心分每条中线为 2:1 结论与模型　设点 是 的重心（三条中线的交点），则重心 将每条中线分成的两条线段之比恒为 （顶点到重心的距离等于重心到对边中点距离的 倍），即：，，。由比例可知：顶点到重心的线段占整条中线长的，重心到中点的线段占整条中线长的。 推导　由结论二知，一条中线平分三角形面积。 因为 是 边上的中线，所以 ，且 。 两式相减，得 。 同理，因为 是 边上的中线，可得 。 所以 。 在 中，因为 是 的中点，所以 是 的中线。 由中线平分面积，得 。 代入上式，得 。 注意： 与 分别以线段 和 为底，它们共用顶点 （在直线 上的高相等）。 所以它们的面积之比等于底边之比： 。 即 。 同理可证 ，。 适用边界与易错辨析　 (1) 比例方向切勿混淆：顶点到重心的线段较长（占 2 份），重心到对边中点的线段较短（占 1 份），不是 1:2。 (2) 推导该结论必须使用等高三角形的面积比，避免使用相似三角形或三角形中位线定理。 (3) 在计算两条垂直中线围成的直角三角形时，常结合勾股定理设 2k 与 k 求解。 (4) 若两线段中点已知，连接两中点的线段并不是中线，不可直接套用 2:1。 配套练习 题1　如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的重心。若 ，求线段 和 的长。 题2　如图，在 中，、 是两条中线，它们相交于点 ，且 于点 。若 ，，求线段 的长。 题3　如图，在 中， 是重心，中线 与中线 交于点 。延长 至点 ，使 。求证：四边形 是平行四边形，并说明 。 题4　如图，风筝制作者制作一个等边三角形风筝框架 ， 是底边 上的中线，风筝引线固定在重心 处。已知中线 。求引线固定点 到顶点 的距离，并说明该比例在力学平衡中的意义。 结论六　重心一连面积三等分：重心与三顶点连线将面积三等分 结论与模型　三角形的重心 与三个顶点 、、 分别连结，所得的三个三角形面积完全相等，各占总面积的，即：。进一步地，若 、、 分别是三边中点，则三个小四边形 、、 的面积也各自相等，各占总面积的。 推导　在 中，设 是 边上的中线， 是重心。 由结论二知，中线平分面积：，且 。 两式相减，得 。 同理，设 是 边上的中线，可得 。 所以 。 又因为三个三角形拼接成整个原三角形 ，即 。 所以 ， 得 。 适用边界与易错辨析　 (1) 三块面积相等的前提是点 为重心，内部任意点不具备该性质。 (2) 面积虽然三等分，但三个小三角形通常并不全等，只有当原三角形为等边三角形时这三块才全等。 (3) 利用该结论求组合阴影图形面积时，应优先转化为这三块之一的倍数或分式。 (4) 注意区分顶点连线与中点连线：连顶点面积是三等分，连中线面积是六等分。 配套练习 题1　如图，在 中， 是重心， 的面积为 。求 的面积。 题2　如图，在 中，、 是中线，交于重心 。若四边形 的面积为 ，求 的面积。 题3　如图，在 中， 是重心， 是线段 的中点。求 的比值。 题4　甲、乙、丙三户农民共同承包了一块三角形农田 （如图）。现需在田内确定一个分水井 ，分别向三个顶点 、、 铺设笔直的排水沟，要求分水井 划分出的三个片区 、、 的面积完全相等。问分水井 应选在何处？若该农田总面积为 亩，求每个承包区的水浇田面积。 结论七　三条中线六等分面积：每个小三角形面积均占 结论与模型　三角形的三条中线 、、 相交于重心 ，将原三角形 分割成 个小三角形。这 个小三角形的面积完全相等，每一个小三角形的面积都等于原三角形面积的，即：。 推导　由结论六可知，重心与三顶点的连线将面积三等分： 。 在 中，因为点 是 的中点，所以 是底边 上的中线。 由中线平分面积，得 。 同理，在 中，因为点 是 的中点， 是中线， 得 。 在 中，因为点 是 的中点， 是中线， 得 。 所以这 个小三角形的面积完全相等，各等于。 适用边界与易错辨析　 (1) 6 个小三角形面积相等，但它们的形状一般互不相同，切勿误认成全等三角形。 (2) 在解决含有中点的组合多边形面积问题时，将每个小三角设为面积单元「1」，原三角形面积即为「6」，用整数单元法可以极快算准，避免冗长分数计算。 (3) 当连接中位线（如 ）时，需注意 并不在这 6 个单元之内，应利用中线分段比另行求算。 (4) 答题时写清六等分的推导链条：三等分 局部中线折半 六等分。 配套练习 题1　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 。若 的面积为 ，求 的面积。 题2　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 。求四边形 的面积与 面积的比值。 题3　如图，在 中，、、 是三条中线，交于点 ，连接 。求 的面积与 面积的比值。 题4　某校徽设计大赛中，小华设计了一枚三角形徽章（如图），以 的三条中线将徽章分成 个互不重叠的三角小区域，其中相间的 个区域 、、 涂成红色，其余 个区域涂成白色。已知徽章总面积为 。求红色区域的总面积。 结论八　重心的逆判定与中线四大思维模型：任意两中线交点即重心 结论与模型　 1. 重心的逆判定：若点 是 内部一点，且满足 ，则点 必为 的重心。 2. 中线四大思维链模型：见一个中点：作中线，等底同高平分面积； 见线段和差或倍半：倍长中线，构造 全等转化； 见两条中线相交：锁定重心，利用分段比 列方程；见三条中线全出：面积六等分，整数单元法速算。 推导　设点 是 内部一点，已知 。 连接 并延长交 于点 。 在 与 中，它们以 、 为底，顶点均为 ，高相等， 所以 。 在 与 中，它们以 、 为底，顶点均为 ，高相等， 所以 。 由等比性质（合分比），得 ， 即 。 因为已知 ，所以 ，得 。 所以点 是 边的中点，线段 是 的中线。 同理，连接 并延长交 于点 ，可证 ，所以 也是 的中线。 因为点 是中线 与中线 的公共交点， 所以点 必为 的重心。 适用边界与易错辨析　 (1) 重心的逆判定必须是“三块面积都相等”，若只有其中两块面积相等，只能说明该点落在某一条中线上，不能断定是重心。 (2) 中线四大思维模型是考场识别解题方向的钥匙，遇见条件要主动对应模型，不可盲目乱连辅助线。 (3) 看到中线求最值，要结合倍长中线与两点之间线段最短；看到面积求比例，要结合重心 2:1 与六等分单元。 (4) 解答题中运用逆判定时，必须写出设交点、用面积比导出底边中点的完整推理过程。 配套练习 题1　如图，在 中， 是内部一点，连接 并延长交 于点 。若已知 ，求证：线段 是 的中线。 题2　如图，在 中，点 在内部，已知 ，且 的总面积为 。求证：点 是 的重心。 题3　如图，在 中， 是 边上的中线， 是中线 上任意一点（不与点 、 重合）。求证：；并说明当且仅当点 处于什么位置时，、、 三个三角形面积相等。 题4　某城市规划在三角形绿化带 内部设置一个垃圾分类收集中心 。为了使周边三片社区分配均衡，要求三个服务片区 、、 的清运面积严格均等。规划局小王认为回收中心只能设在 的重心位置。他的观点正确吗？请运用数学知识给出论证。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $