第13章 三角形 三角形的高、中线、角平分线——中线平分面积 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦“中线平分面积”核心性质，以等底等高原理为统领，构建从概念辨析到综合应用再到重心拓展的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2|基础概念判断|从定义出发，明确中线分面积相等的核心原理| |基础计算|单选3-6、填空7-10|结合高、中点的面积计算|应用等底等高，巩固面积公式的简单迁移| |综合应用|解答11-28|中线与高、角平分线等综合题|综合运用性质解决复杂图形面积问题| |拓展延伸|解答29-30|重心性质探究|从特殊到一般，推导重心分中线比及面积关系|

中线平分面积 一、单选题 1．能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 2．已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 3．如图1，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 图1 图2 图3 图4 4．如图2，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图3，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 6如图4在中，是边上的中线，是边上的高．若，=3，则的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、 填空题 7．如图，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 8．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 图1 图2 图3 图4 9．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 10．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 三、解答题 11．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 12．如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 13．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 14．如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 15．如图，在中，，，，点D是的中点，于E，于F，求的值． 16．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 17．已知在中，于，点是的中点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 18． 已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且． 求证：是等腰三角形． 19．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 20．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 21．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 22．如图，是的中线，，若，求的面积． 23．如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 24．如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 25．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 26．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 27．如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 28．（1）如图，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于___________； （2）如图（2），在中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 29．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 30．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《中线平分面积》参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B C A 二、填空题 7． 解：是的中线， ， ， ． 8．6 解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 9． 解：∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴． 10．6 解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵是的中点， ∴． 11．10 解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 12．6 解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 三、解答题 13．（1）解：是边上的中线，， ， 故答案为：； （2）解：是边上的高，， ， ， ． 14．（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解：， ． 15．解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 16．（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 17.（1）解：， ， 点E是的中点， ； （2）解：， ， ， ． 18．证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 19．(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 20．解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 21．解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 22．解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 23．(1) 如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 24．解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 25．（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 26．（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 27．（1）解：，，， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）解：是的中点， ，． ， ． ， ． 28．（1）解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴，， ． 故答案为：4； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 29．（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 30．解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $