精品解析：广东韶关市乐昌市第一中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中测试卷

2026—2027学年度第一学期九年级数学素养检测卷 一．选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分 1. 反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题关键是明确反比例函数y＝，k＞0，图象位于一、三象限；k＜0，图象位于二、四象限． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 5. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 6. 若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，得，再向下平移2个单位，得． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号． 9. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 10. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当时，，从而抛物线与轴的交点坐标为，从而判断①正确；弦分别求出抛物线与轴的两个交点坐标分别为，设对称轴与轴交于点，连接，由顶点为，得，从而得，进而得是等腰直角三角形，故②正确；当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，由对称轴，得另一个交点坐标为，故③错误；由抛物线的性质可判断④正确． 【详解】解：①∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴，故①正确； ②当时，， ∴对称轴为，顶点为， 令得，， 解得：或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 设对称轴与轴交于点，连接，如图， ∵顶点为， ， ∵轴， ， ， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③当时，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵对称轴， ∴另一个交点坐标为， ∴，故③错误； ④∵抛物线上有两点和，若，且， ，即， ∴到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴．故④正确． 故选：D． 二．填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分 11. 若函数是反比例函数，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义可得关于m的方程，解方程结合解答即可． 【详解】解：由题意，可得：，则或， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和一元二次方程的求解，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【详解】解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 13. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 14. 如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【解析】 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，勾股定理，旋转的性质．先利用勾股定理计算出，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12，由于，于是可判断三角形（2024）与三角形（2）的状态一样，据此计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴在中，， 第（2）个三角形如图，作于点， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∴第（2）个三角形直角顶点的坐标是 ∴的周长， 由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12， ∵， ∴三角形（2024）与三角形（2）的状态一样， ∴三角形（2024）的直角顶点的横坐标，纵坐标为， ∴三角形（2024）的直角顶点的坐标是． 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3个小题，每小题8分，共24分 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可． （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． （1）当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）联立抛物线和直线解析式，然后根据题意得到，求出即可求出该抛物线的表达式． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：令， 整理得，， ． ∵抛物线与直线只有一个交点， ，即， 解得， ∴抛物线的表达式为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； （2）请你画出关于原点O对称的； （3）若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】（1）4， （2）如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到对应点的坐标，再顺次连接即可画出； （3）作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，点关于轴对称的点坐标为； 【小问2详解】 图略 【小问3详解】 解：作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，则， ∴，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 四．解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出直线解析式，求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴的面积为. 【小问3详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或. 20. 某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 【答案】（1）第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为 （2）当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元 【解析】 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据第一周的销量为 50 件和第三周的销量为 72 件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元， 由题意得，， 整理得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 21. 问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）不在安全范围内，理由如下： 由题意可知，新抛物线可由抛物线向上平移5个单位得到， ∴新抛物线对应的函数解析式为，即， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新的落地点距离表演台中心约， 观众席与落地点的距离为：， ∵， ∴该位置不在安全范围内 【解析】 【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，设顶点式，代入已知点求出，得到解析式； （2）将代入解析式，求出两个的值，差值即为水平距离； （3）抛物线形状、对称轴不变，图像向上平移得到新抛物线，求出落地横坐标，计算观众位置与落地点距离，对比判断安全性． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的最高点距地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知，该抛物线对应的函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， ∵， ∴铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有； 【小问3详解】 略． 五．解答题（三）：本大题共2个小题，每小题12分，共24分 22. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】（1）抛物线解析式为，顶点D的坐标为 （2）线段的长为，当时，四边形为平行四边形 （3）的面积最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【小问3详解】 解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级数学素养检测卷 一．选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分 1. 反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 二．填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分 11. 若函数是反比例函数，则m的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 13. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 14. 如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是______． 三．解答题（一）：本大题共3个小题，每小题8分，共24分 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． （1）当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； （2）当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； （2）请你画出关于原点O对称的； （3）若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 四．解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 20. 某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 21. 问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 五．解答题（三）：本大题共2个小题，每小题12分，共24分 22. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $