湖南岳阳市第十中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

参考答案 一.选择题（共10小题） 1.D:2.C:3.D:4.A:5.D:6.C:7.B:8.A;9.B:10.B: 二.填空题（共6小题） 5 1,312.2:13.1:4.105:15.返：16.30： 三.解答题（共8小题） 17.解：原式=2-V3+3-1-1.4分 =0, 6分 18.解：(1)原方程整理得： (x+2)2=6, .x+2=士V6, .X1=-2+V6,X2=-2-V6;4分 (2)原方程因式分解可得： (3x-1)（x+1)=0, .3x-1=0或x+1=0, x1=子=-1. .8分 19.证明：.边长为4a,M是AD的中点，AN=a,2分 .DM-GD =2a-da AN=AM-a2a =2 4分 又，△CMD与△AMN是直角三角形， ∴.∠CDM=∠MAN=90°，. .6分 .△CDM∽△WAM.8分 20.(1)证明：，∠BDE=∠C+∠DEC, 又∠BDE=∠ADB+∠ADE,∠ADB=∠DEC, ∠ADE=∠C.2分 ,∠DAE=∠CAD, ∴.△AED∽△ADC: …4分 (2)解：由(1)知：△AED∽△ADC, 始是 第1页（共6页） 贺-是店=2 EC ∴.EC=2AE=4, ∴AC=AE+EC=6, 6分 ..AD2=AEAC=12, ,AD>0, .AD=2V5, 7分 在△ABD中，DA⊥AB,∠B=30°， .BD=2AD=4V5.8分 21.解：解：(1)BE⊥AC,DC⊥AC, ∴.EB∥CD, .△ABE∽△ACD, 1分 BE AB 1.53 CD AC 即 D-3+9 3分 解得CD=6, …4分 答：旗杆CD的高度为6米： (2)由题意得∠EFB=∠DFC, 由题意可得：∠EBF=∠DCF, .△EBF∽△DCF, 5分 B、Br 5 BF CD CF' 7分 6 9-BF 解得BF=号 …8分 9 答：小水坑F到小明的距离BF的长为米. 9分 22.解：(1)在Rt△EFH中，EF=15L,∠EHF=90°，∠EFH=60°， .sinLEFH=EH/EF.2分 H15x ≈13.0m, ∴.山坡EF的垂直高度EH约为13.0. 4分 (2)如图，延长BA交直线CF于点Q,则∠BOC=90°，过点P作PG⊥BQ于点G, ∴.四边形EHQA和四边形CPGQ都是矩形， ..CP=GO=1m,PG=CO,AF=HO=4m,EH=AO=13.0mL, 在Rt△EFH中，∠EFH=60°， 第2页（共6页） FHBF COSLEFH57.5m D B ∴.CQ=CF+FH+HQ=44, ∴.PG=CQ=44, 在Rt△BPG中，∠BPG=39°， G .∴BG=PG.tan∠BPG=44tan39°≈35.64， HQ .AB=BG升G0-AQ≈35.64+1-13.0≈23.6l,8分 .楼房AB的高度约为23.6l.. .9分 23.（1)①证明：，四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC, ,BE⊥BF,CF⊥AC, ∴.∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC, .∠ABE=∠CBF,∠BCF=45°=∠BAC, .△ABE≌△CBF(ASA), BB=BF 2分 ②解：四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，AB=BC=2V2, ∴AC=(2V22+(22)2=4, ,△ABE≌△CBF, .∠ABE=∠CBF,AE=CF=1, .∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=90°， .EF2=CF2+CE2=12+(4-1)2=BE2+BF2=2BF2, 解得BF=√5， 故答案为：√5： .5分 (2)解：，BE⊥BF,CF⊥AC, .∠EBF=∠ECF=90°， 根据直径所对的圆周角是90°，可得点C,点E,点B,点F在EF为直径的圆上， 点C,点E,点B,点F四点共圆， ∴∠ACB=∠EFB=60°， ∴∠BAE=∠BEF=30°， ..AB=3BC,BE =V3BF, 第3页（共6页） 9-照=5， BCBF :∠EBF=∠ABC, ∴∠ABE=∠CBF, .△ABE∽△CBF, CF BC V3 AEAB38分 (3)解：：当E在线段4C上时，由(2)知C=BC-3 AE AB 3 .AB=4V3, .CB=4, ,M为Rt△BEF斜边EF的中点， .BM-EF, 由(2)知∠ACF=90°， ∴CM=ZER, ∴.BM=CM, ·当△CBM是直角三角形时，只能是∠BMC=90°，此时∠MBC=∠MCB=45°，CM=号BC=2V2, ..EF 2CM =4V2, 设CF=x,则AE=V3x, ,∠CAB=30°，BC=4, ..AC=2BC=8, .CE=AC-AE=8-V3x, :∠ECF=90°， ∴.CE2+CF2=EF2, ∴.x2+(8-V3x)2=32, .x=2V3-2或x=2V5+2, 当x=2V3+2时，AE=√3(2V5+2)=6+2W5>8,不符合题设，舍去， ∴.此时CF=2V3-2: 综上，CF的长为23-2.12分 3 24.解：(1)AB-2AF,理由如下： A E D 如图，过点E作EH∥AB交DF于点H, H 第4页（共6页） F B ,平行四边形ABCD, AB∥CD,AB=CD, ∴.EH∥CD, ∴.△CDG∽△EHG, .CD_CG EH EG 3: .CD=3EH. 2分 ,E为AD的中点， ∴EH为△DAF的中位线， ..AF=2EH, AB CD 3EH AF AF 2EH 即AB=2AF, …….4分 (2)如图，延长CF至点P,使FP=CF,连接AP,过点E作EQ⊥CF于点Q, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=∠ABC=90°，AB=BC=AD=CD=4, ,F是AB的中点， ∴AF=BF=2, A 内 D ∴.CF=25, ,∠AFP=∠CFB, Q .△PAF≌△CBF(SAS), ⊙ .∴.PA=CB=4,∠PAF=∠B, ∴点P,A,D在一条直线上， ..PE=AP+AE=4+2=6,PC=2CF=4V5, ,∠P=∠P,∠PQE=∠PDC, .△PQE∽△PDC, 器器 即6 44厉 解得50-65 :∠EG0=45°， ∴.△EQG是等腰直角三角形， 第5页（共6页） ∴EG=V2EQ=61o 51 8分 (3)如图，过点C作CNLAD于点N,分别延长CE和BA交于点M, 四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠D,AB∥CD, M .∠M=∠ECD, E为AD的中点， 六A5=DE=3AD=2, A 又，'∠AEM=∠DEC, ∴.△AEM≌△DEC(AAS), ..AM=DC,EM-=EC, :cosB=子CNLAD, ∴cosD=子DN=CD·c0sD=1, ∴.EN=DE-DN=1=DN, ∴.CD=CE=AM=EM=4, ,CF平分∠BCE,FG∥BC, ∴.∠GCF=∠BCF,∠GFC=∠BCF, ∴.∠GCF=∠GFC, ..GF=CG, 设GF=x,则CG=x,GE=4-x,MG=MB+GE=8-x, .GF∥BC, .∴.△MGF∽△MCB, 说光 解得x-号 即G的长号 .12分 第6页（共6页）2026年下学期九年级第一次质量检测试卷 数学 命题人：肖庭 审题人：佘引香 温馨提示： 1.本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2,本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内。 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.3x-1=0 B.2x2-y-1=0 C.二+2=0 D.x2-3x=0 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，则cosA等于() 4器 B. BC c是 D. AC AB BC 3.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为(x+m)2=n的形式，则+n的值为( A.-6 B.-3 C.0 D.3 4.如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是( A. B c. D 5.黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段AB上的一点C将线段AB分为两部分(AC> BC),其中4c=5-1 AB 2己，那么称点C将线段B进行了黄企分割，把长度为20m的线段进行黄金分刻，测则 分割后较长线段的长是() A.(20W5-20)cmB.(40-20V5)cmC.(30-10V5)cm D.(10V5-10)cm 6.如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是() A.∠A=∠A B.∠ADR=∠ABDC.A-AE AC AB D.AC BC AD 7.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:DA=3:7,EF=3,则CD的长为 (） A.4 B.7 C.3 D.12 北岸 0 D 南岸 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sC的值为( ) 4. 25 B. 1 c.5 1 5 5 D.2 9.学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度.如图，这条河的两岸是平 行的，小丽站在离南岸20米（即PE=20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强 两人的位置，当小军、小强两人分别站在C,D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、 小强遮挡（即A,C,P三点共线，B,D,P三点共线）.己知电线杆A,B之间的距离为75米，小军、小 强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为() A.25米 B.30米 C.45米 D.50米 10.如图，己知在矩形ABCD中，AB=2,BC=6,点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点 A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止 运动.连接BD,过点E作EH⊥BD,垂足为H,连接EF,交BD于点G,交BC于点M,连接CF.给出 列结论：@△cDB∽△cBR:Q∠DBC=∠BrC,⑤5-④G的值为症值Y 5:⑤若GM=3BG, D 则am∠rGB=上述结论中正确的个数为（） A.2个 B.3个 E C.4个 D.5个 G 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1.”。善哈伯为 B 12.如图，在平面直角坐标系中，己知A(2,0),D(6,0),△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， 若AB=4,则DE= 13.已知m是一元二次方程x2+x-2026=0的一个实数根，则代数式m2+-2027的值等于 14.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且满足(anB-1)2+1号-cosA=0,则∠C= 15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，SinB= 号CD1AB于点D.若BD=2V3,则AD的长是 y G A---- B 0 E- F H B B 16.如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕EF,再把纸片展平.点G是AD上一点，将△ ABG沿BG折叠，使点A的对应点H落在EF上.若BC=3EH. (1)∠CBH的度数是 (2)延长CH交BG于M,则 M的值是 MB' 三.解答题（共8小题） 17.计算：(2)1-tan60°+V3-1-(3-π)°， 18.解下列一元二次方程： (1)x2+4x-2=0: (2)3x2+2x-1=0. 19.如图，在△BAC中，AD⊥BC,E是CD边上一点，连接AE,AB=AE=EC=5,sinB=号 (1)求BD的长. (2)求tanC的值. E 20.如图，在△ABC中，点D,E分别是边BC和AC上的点DA⊥AB,∠ADB=∠DEC. (1)求证：△AED∽△ADC: ②￥A=2能是B=0,求n的K B D 21.小嘉决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度.如图，已知A,B,C在同一条直线上，A,E,D也 在同一条直线上，BE LAC,DC⊥AC,垂足分别是点B和点C,小嘉眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3 米，CB的长度为9米 D (1)求旗杆CD的高度： (2)小嘉在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看 E 到旗杆顶端D,求小水坑F到小嘉的距离BF的长. A B F C 22.某学校开展综合实践活动，如图，AB,CD为两栋楼房，山坡EF长为15，∠EFH=60°，楼房AB位 于山坡顶部平地EM上，底部A到E点的距离为4.楼房CD底层窗台P处至地面C处的高度为1m,在 点P处观察点B的仰角为39°，底部C距F处距离为32.5.图中所有点均在同一平面内，CF∥EM. (1)求山坡EF的垂直高度EH: (2)求楼房AB的高度.（参考数据：sn39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，V3≈1.73，结果精 确到0.1) B E M H 23.综合与实践 【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作 AC的垂线，两条垂线交于点F,连接EF ①求证：BE=BF. ②当正方形ABCD的边长为2√2，AE=1时，则BF= 【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作 AC的垂线，两条垂线交于点R,且∠ACB=60°，连接BR,求5的值， AE 【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，将E改为线段AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的 中点M,连接BM,CM.若AB=4V3,则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长。 E A B 图1 图2 图3 24.在平行四边形ABCD中，E,F分别是相邻边上的一点， @若E是AD的中点，F是AB上一点，连接CB,DF交于 =3时，试说明线段 AB与AF的数量关系，并说明理由；（提示：过点E作EH∥AB交DF于点H) (2)如图②，若平行四边形ABCD为正方形，E,F分别是AD,AB的中点，连接CF,点G是CF上一 点，∠EGF=45°，AB=4,求EG的长： (3)如图③，若四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，F是AB上一点，连接CE,CF,CF为∠BCE 的平分线，过点F作PG∥BC,交CE于点G,若AB=4,cosB=寻求PG的长. E E D D F B B 图① 图② 图③