精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州凤凰县思源实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

凤凰县思源实验学校2026年秋季第一次学情诊断 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：120 分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（     ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 12. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 13. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为_____________________． 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________________． 15. 抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围______． 16. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 17. 已知二次函数 ，点 、、 都在该函数图象上，则 、、 的大小关系是______． 18. 已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 三、解答题 19. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 20. 抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，方程的两个根为，，则________，________； （2）求证：方程必有两个不相等的实数根； （3）当时，方程的两个根记为，，求的值． 22. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________． （2）当时，的面积为__________； （3）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 24. 作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天票房的日平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有300名游客参与扛标旗项目，当扛标旗单价每上涨一元时，参与该项目的游客数量减少10人，则扛标旗单价上涨了多少元可使营收最大？最大营收是多少？ 25. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 26. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤凰县思源实验学校2026年秋季第一次学情诊断 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：120 分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 1，，3 B. 1，5， C. ，5，3 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，3， 故选：A． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是依据一元二次方程的定义，对每个选项进行分析判断． 根据一元二次方程“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一概念，逐一分析选项． 【详解】A、方程中含有和两个未知数，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件，所以该方程不是一元二次方程； B、方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，符合一元二次方程的定义，所以该方程是一元二次方程； C、对进行化简，移项可得，即，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程； D、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，不是一元二次方程，只有当时，它才是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程． 故选：B． 3. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 4. 方程配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项得， 两边同时加，得， 整理得. 5. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出直线平移后的表达式为，再将两个关系式联立求出直线关系式，然后求出直线与y轴的交点坐标，结合题意可得答案． 【详解】解：将直线沿着y轴向下平移时，设直线所在的直线的表达式为， ∵抛物线和直线有唯一的交点， ∴，即方程有唯一的解， ∴， 解得， ∴平移后直线的关系式为， 当时，， ∴平移后点C对应点的纵坐标． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 12. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 13. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程的根的定义，得到的值，再用整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得， ， ． 15. 抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】的解集是指抛物线图象在x轴下方时所对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】结合图象可知，时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质等知识，注重数形结合，是解答本题的关键． 16. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 17. 已知二次函数 ，点 、、 都在该函数图象上，则 、、 的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】把三个点的横坐标代入二次函数解析式求出纵坐标的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 18. 已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值． 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，； 最大值在处（因为离对称轴更远），； 由函数y的最大值与最小值的差为5，得：， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 19. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20. 抛物线经过点 （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【小问1详解】 解：把代入中，得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，方程的两个根为，，则________，________； （2）求证：方程必有两个不相等的实数根； （3）当时，方程的两个根记为，，求的值． 【答案】（1）， （2）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （3）6 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）求出，从而得证； （3）根据方程根的定义可得出，，根据根与系数的关系，得，然后整体代入计算即可. 【小问1详解】 解：当时，原方程为， 根据根与系数的关系，得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，原方程为， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ∴ 22. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 【答案】（1） （2）的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形和条件确定木栏总长米加上2米后是的长度，据此可得的长度； （2）根据长方形面积公式列出方程，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 即，故舍去， 答：的长为米． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________． （2）当时，的面积为__________； （3）在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】（1）；； （2）28 （3）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， 当时，则， ∵， ∴方程没有实数根， ∴在运动过程中的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据列式求解即可； （3）根据表示出，再令，建立关于t的方程，看是否有正实数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积为； 【小问3详解】 略 24. 作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天票房的日平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有300名游客参与扛标旗项目，当扛标旗单价每上涨一元时，参与该项目的游客数量减少10人，则扛标旗单价上涨了多少元可使营收最大？最大营收是多少？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为 （2）扛标旗单价上涨了11元时，营收最大为3610元 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程求解即可； （2）设单价上涨了元，营收为W元，根据题意列出函数关系式，再根据其性质即可求解． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：这三天票房的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设单价上涨了元，营收为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， 答：扛标旗单价上涨了11元时，营收最大为3610元． 25. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 【答案】（1）2 （2） ①证明：， ， 此方程一定是“友好方程”； ②的值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 ①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故答案为：2； 【小问2详解】 ①略 ②，， ，， 始终在函数的图象上， ， 即， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 26. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为8， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． 【小问3详解】 解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $