专题3.1勾股定理的探究（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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精品
内容正文：
专题3.1勾股定理的探究
知识点1 ：勾股定理
1. 定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 符号语言：在中，若，斜边为，两直角边为、，则。
3. 变形：，，故已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。
4. 常用名称：我国古代把直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，故称勾股定理；公元前年左右，商高提出“勾三股四弦五”。
5. 适用范围：勾股定理只适用于直角三角形，在应用前必须先确定三角形是直角三角形。
知识点2 ：用勾股定理在数轴上表示无理数
1. 方法：把（为正整数）的平方拆分为两个整数的平方和，即。
2. 步骤：
（1）拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和；
（2）构图：借助数轴构造直角三角形，使两直角边长分别为、（则斜边长为），其中一条直角边与数轴重合；
（3）定点：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示的点。
3. 数学思想：实数与数轴上的点一一对应，利用勾股定理可将无理数在数轴上表示出来，体现数形结合思想。
知识点3 ：勾股定理的验证
1. 验证方法：勾股定理的证明方法很多，常用的是面积法，即结合图形的切割、拼接，通过面积相等来证明，体现数形结合思想。
2. 证明思路：用两种方式表示同一个图形的面积（算两次），根据面积相等得到等量关系，进而通过恒等变形推出勾股定理。
证明方法
图例
主要思路
赵爽弦图
用4个全等直角三角形拼成边长为的大正方形，大正方形面积，又等于，故
刘徽“青朱出入图”
根据“出入相补、以盈补虚”原理，正方形面积
伽菲尔德总统证法
将两个全等直角三角形和等腰直角三角形拼成直角梯形，用两种方式算面积，化简得
毕达哥拉斯拼图
分别以边长为的大正方形两种分割方式算面积，联立得
知识点4 ：勾股定理的应用
1. 求边长：已知直角三角形的任意两边长，求第三边长。
2. 确定关系：已知直角三角形的一边长，确定另外两边长的关系（设参数列方程）。
3. 几何问题：解决含平方关系的几何问题，或构造方程计算线段的长度。
4. 实际问题：解决生产生活中的一些实际问题。
【基础必考题型】
【题型1】已知两边求第三边
1.核心知识点
直接应用勾股定理求第三边。
2.解题方法技巧
①先确定直角及斜边，分清已知边是直角边还是斜边；
②求直角边用，求斜边用；
③题目未明确直角或斜边时，需分类讨论。
【例题1】.（25-26八年级下·山西大同·期中）在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【详解】解：由题意，画出图形如下：
∴．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升到达点，再水平飞行到达点，则点到点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图
依题意，
∴
故选：C．
【变式题1-2】.（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 ______ ．
【答案】8
【详解】解：如图，
∵正方形A的面积是225，
∴，
∵是直角三角形，，，
∴ 8，
即另一条直角边的长度是8．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）在中，，，，则的长为_____ ．
【答案】5
【详解】解：在中，，，，
．
【题型2】在数轴上表示无理数
1.核心知识点
利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上作出表示无理数的点。
2.解题方法技巧
①把的平方拆成两个整数的平方和；
②以原点为直角顶点构造直角三角形，使两条直角边在数轴上及其垂线上；
③以斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即对应点。
【例题2】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出的长，根据半径相等得出的长，结合点的位置即可求解．
【详解】解：∵点表示数，点表示数，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∵以为圆心、长为半径画弧交数轴正半轴于点，
∴，
∴点表示的数是．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解．
【详解】解：由图可知，直角三角形的水平直角边长为，垂直直角边长为，
根据勾股定理，得．
圆弧是以点为圆心，为半径画的，
．
点表示的数为，且点在点的左侧，
点表示的数为．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数是_________________．
【答案】/
【分析】先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得．
【详解】解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为，
∴数轴上点所表示的数是．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________．
【答案】/
【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数．
【详解】解：由题意得：，
∴，
则点M表示的数为．
【题型3】求三边向外作图形的面积
1.核心知识点
以直角三角形三边为边（或直径）向外作正方形、等腰直角三角形、半圆，其面积间满足平方关系。
2.解题方法技巧
①若以三边作正方形，面积分别为、、，满足；
②作相似图形（等腰直角三角形、半圆）时，面积比等于对应边长平方比，故仍有小面积之和等于大面积；
③利用面积相等关系求阴影部分面积。
【例题3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，分别以的三边为直径向外作半圆，斜边，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得两直角边的平方和等于斜边的平方，阴影部分面积为三个半圆面积之和，利用圆面积公式结合勾股定理即可求解．
【详解】解：是直角三角形，
，
由图可得，
，
．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，用面积分别为，和的三个正方形围成直角三角形（），则的值为________．
【答案】
【分析】根据正方形面积和勾股定理直接计算即可．
【详解】解：∵是直角三角形，
∴，
即．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（ ）．
A．4 B．2 C．22 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用正方形的面积公式，可得三角形边长的平方为正方形面积，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
由于，，则．
【变式题3-3】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）根据勾股定理知识迁移，完成下列问题．
(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由；
(2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)解：，理由如下：
如图，设直角三角形的三边长分别为，则：，
，
；
(2)
【分析】（1）设直角三角形的三边长分别为，根据半圆的面积公式判断即可；
（2）利用勾股定理求出的长，阴影部分面积半圆半圆直角三角形面积半圆，求出即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图：
在中，，，
∴，
则
．
【题型4】赵爽弦图相关计算
1.核心知识点
赵爽弦图由4个全等直角三角形和1个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系列式求解。
2.解题方法技巧
①大正方形面积小正方形面积；
②直角三角形的长、短直角边差即为小正方形的边长；
③结合勾股定理及已知面积求未知量。
【例题4】.（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可．
【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b，
根据题意得，，，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
即每个直角三角形的两直角边之和为5．
【变式题4-1】.（21-22八年级下·青海西宁·阶段检测）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____．
【答案】3
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：大正方形的面积为16，
，
由题意，
，
∴．
【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）我国汉代数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，这是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标．如图所示的“赵爽弦图”中的四个直角三角形是全等的．如果这四个直角三角形中较小的锐角均为，求小正方形的边长与大正方形的边长的比值．
【答案】
【分析】设较短的直角边（即角）所对直角边长为，由含角的直角三角形的性质求出斜边长，即大正方形的边长，再由勾股定理求出较长直角边的长，即可求出小正方形的边长，从而求出小正方形的边长与大正方形的边长的比值．
【详解】解：设较短的直角边（即角）所对直角边长为，斜边长为，即大正方形边长为，
较长直角边，
小正方形边长=，
．
【变式题4-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某校七年级（2）班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与实践学习．
(1)如图1，把两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起，就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是 ．
(2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为，用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放，拼成图2所示的大正方形，其中间恰好形成一个空白小正方形，
①中间空白小正方形的面积是__________；大正方形的边长__________；
②在①问的条件下，若在大正方形内沿边的方向裁剪出一个长宽比为的长方形，其面积为，请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由．（参考数据：
(3)若一个直角三角形的两条直角边分别为，请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的第三条边（斜边）的长是__________．
【答案】(1)
(2)①1，5；②不能裁出符合要求的长方形，理由见解析
(3)13
【分析】（1）先算出两个小正方形的总面积为，即大正方形的面积为；根据“正方形面积 = 边长的平方”，由面积求算术平方根，得到大正方形的边长为．
（2）①沿用（1）的面积探究方法，结合“赵爽弦图”的结构特征：空白小正方形的边长=直角三角形长直角边 - 短直角边，即，因此面积为；大正方形的面积 = 4个直角三角形的面积 + 空白小正方形的面积，计算得；再对面积求算术平方根，得到大正方形边长．②设长方形长为、宽为，根据面积列方程，解得；算出长方形的长，宽；对比大正方形边长，长方形的长超过了正方形边长，因此无法裁出．
（3）用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”，计算出空白小正方形边长，面积为；计算4个直角三角形的总面积，得出大正方形的总面积；对面积求算术平方根，得到斜边长．
【详解】（1）解：两个小正方形的面积和为：
拼接前后面积不变，因此大正方形的面积为．
设大正方形的边长为，根据正方形面积公式：
因为边长为正数，
所以
故大正方形的边长为．
（2）①解：中间空白小正方形的边长：，
因此空白小正方形的面积：，
大正方形的面积：
设大正方形的边长为，面积为：，
因为边长为正数，
所以：
故空白小正方形的面积为，大正方形的边长为．
②不能裁出符合要求的长方形，理由如下：
设长方形的长为，宽为，根据题意：
因为，
所以：
因此长方形的长为，宽为．
由参考数据，得：
因为大正方形的边长为，且，
所以长方形的长超过了大正方形的边长，无法裁出符合要求的长方形．
（3）解：沿用（2）的拼图探究方法，用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”：
中间空白小正方形的边长：
空白小正方形的面积：
4个直角三角形的总面积：
大正方形（以斜边为边长）的面积：
设斜边长为，根据正方形面积公式：
因为边长为正数，
所以：
故这个直角三角形的斜边长为．
【题型5】利用勾股定理求线段平方和（差）
1.核心知识点
利用勾股定理把线段的平方转化为直角三角形的边长平方，求平方和或平方差。
2.解题方法技巧
①构造直角三角形，用勾股定理表示相关线段的平方；
②利用中点、垂足等条件找等量关系；
③通过加减消元求平方和或平方差。
【例题5】.（26-27八年级上·全国·周测）在中，斜边，则的值为（ ）
A．36 B．6 C．24 D．4
【答案】A
【分析】勾股定理即可解决．
【详解】根据题意，得，所以．
【变式题5-1】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，则_______．
【答案】
【分析】直接利用勾股定理变形即可求解．
【详解】解：
，
，
，
．
【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______．
【答案】231
【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可．
【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①，
在 中，由勾股定理，得②，
得．
在 中，由勾股定理，得③，
在 中，由勾股定理，得④，
得，
所以，
∵，，
∴．
故答案为：231．
【培优高频题型】
【题型6】折叠问题
1.核心知识点
折叠前后两个图形全等（轴对称），利用勾股定理在折叠后形成的直角三角形中列方程求线段长。
2.解题方法技巧
①掌握折叠的本质是轴对称，折叠前后图形全等，实现线段、角的转化；
②折痕常作为角平分线使用；
③设所求线段为，用含的代数式表示相关线段，在直角三角形中列方程。
【例题6】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
依题意，
∴，，
∴
∵折叠
∴
∴，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
【变式题6-1】.（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、截开，便成纸，将纸沿长边对折、截开，便成纸；将纸沿长边对折、截开，便成纸；将纸沿长边对折、截开，便成纸……将纸按照如图所示的方式折叠，你发现折出的对角线与纸长边重合，可得纸长与宽的比为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，勾股定理得到第一次折叠，第二次折叠，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
第一次折叠：四边形是正方形，，，
∴，
第二次折叠：点E，D重合，点C，重合，
∴，
∴，
故选：D ．
【变式题6-2】.（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵在中，，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点．
(1)求的长；
(2)当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)；
(2)长为或．
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意得，，通过勾股定理求出，则，设，则，，再通过勾股定理得，求出的值即可；
（）分当时，即与重合，当时，即，两种情况分即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
在中，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，解得，
∴；
（2）解：如图，当时，即与重合，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，即，
∵，
∴，
在中，，
综上所述，长为或．
【题型7】化斜为直求三角形面积
1.核心知识点
对无直角的三角形，作垂线构造直角三角形，用勾股定理列方程求高或边，进而求面积。
2.解题方法技巧
①作垂线（高）构造直角三角形，形成“共边直角三角形”；
②设其中一段为，分别用勾股定理表示公共高（边）的平方；
③列方程求解，再代入求面积。
【例题7】.（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）中，是边上的高，已知，，，则长为________．
【答案】或
【分析】分高在内部和外部两种情况，利用勾股定理求出后计算的长度。
【详解】解：∵ 是边上的高，
∴ ，是直角三角形，
在中，根据勾股定理可得
，
分两种情况讨论：
当点落在线段上时，
；
当点落在线段的延长线上时，
．
因此的长为或．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，，，为的平分线，交的延长线于点E，则 __ ．
【答案】/
【分析】延长、交于点F，说明，从而，，由勾股定理分别求，的长，由此可知的长，在中，由勾股定理即可求．
【详解】解：如图，延长、交于点F，
在中，，，，
由勾股定理得，
为的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
的长为．
【变式题7-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】(1)如下图：
(2)
【分析】（1）线段垂直平分线的尺规作图方法是分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在线段的两侧分别交于两点，过这两点作直线，该直线即为线段的垂直平分线l．
（2）利用线段垂直平分线的性质得到，进而结合推导出为等腰直角三角形，最后利用勾股定理求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：如下图，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
∴为等腰直角三角形．
在中，，即
解得．
∵线段长度为正数，
∴．
【变式题7-3】.（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，中，，．
(1)尺规作图，求作边上的高；（保留作图痕迹）
(2)求边上的高的长度．
【答案】(1)如图．
(2)
【分析】（1）作射线，以点A为圆心，以大于点A到的距离为半径画弧，交射线于点G，E，再分别以点G，E为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交射线于点D，则即为所求作；
（2）先求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
【压轴素养题型】
【题型8】利用勾股定理解决实际问题
1.核心知识点
把实际问题（梯子滑动、树干距离、横渡河流等）转化为直角三角形问题，用勾股定理求解。
2.解题方法技巧
①根据题意画出几何示意图，找直角三角形；
②确定已知边与待求边，直接用勾股定理或设未知数列方程；
③注意线段平移、滑动前后长度不变等条件。
【例题8】.（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）大庆市某中学教学楼二楼的楼梯，从一楼地面到二楼平台共升高，楼梯的水平跨度为，求下列各题．
(1)求楼梯斜面的长度；
(2)学校要在楼梯斜面上铺防滑垫，每块防滑垫长为，铺满整个斜面需要多少块？
【答案】(1)
(2)10块
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）用楼梯斜面的长度除以每块防滑垫长，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理得：楼梯斜面的长度为；
（2）解：（块），
即铺满整个斜面需要 10 块防滑垫．
【变式题8-1】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？
【答案】
【分析】根据勾股定理求出，然后计算与的差即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴居民走小路比沿草坪边缘走近．
【变式题8-2】.（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设，
根据题意得：，，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴秋千绳索（或）长尺．
【变式题8-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，梯形是一座水库堤坝的横断面．已知，，，坝顶，．求的长及堤坝横断面（即梯形）的面积．
【答案】的长度为．
梯形的面积为．
【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，根据 ， m求出的长，再根据, ,即可求出的长．因为,所以根据求出长度，高为的长度，再使用梯形面积公式，即可求出梯形的面积．
【详解】解：如图所示，过点A作于点E，过点D作于点F．
∵，
∴为直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，斜边，
∴设的长度为，则长度也为，
根据勾股定理： ，
∴， ，
∴,
∵，
∴为直角三角形，
∵，
∴根据“直角三角形中， 所对的直角边长度为斜边的一半”，
可得：，
∴的长度为．
∵在中， ，
在中，使用勾股定理可得： ，
∵,
∴，
∵，
∴四边形为梯形，
∴的长度为梯形的高，
∴梯形的面积，
∴梯形的面积为．
【题型9】拼图法验证勾股定理
1.核心知识点
通过拼接图形，用两种方式表示图形面积（算两次），得到等量关系证明勾股定理。
2.解题方法技巧
①拼出图形（直角梯形、大正方形、五边形等）；
②用两种方法计算整个图形的面积；
③根据面积相等列等式，恒等变形推导出。
【例题9】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）现用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．中，，，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：
(2)如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【答案】(1)解∶由题意，大正方形面积为，面积为，小正方形面积为，
，
∴；
(2)23
【详解】（1）略
（2）解：由题意，，，
由（1）知：，
∴，
∴
∴
．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·全国·周测）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．如图是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，图、图的面积相等，请你根据这两个图验证勾股定理．
【答案】解：图的面积，
图的面积，
∵图、图的面积相等，
∴，即．
【分析】分别根据图形的组合情况列出表达图、图中图形面积的代数式，根据图、图的面积相等列出等式，约去等式两边相同的项后即可验证结论．
【详解】略．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以证明勾股定理；
图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，两直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法验证勾股定理．
【知识应用】
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，三点在同一条直线上），并新修一条路，现测得，，，要使新修的路最短，求新修路的长．
【答案】(1)根据赵爽弦图进行验证：
∵，
∴，
∴．
根据“总统证法”进行验证：
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)新修路的长为
【分析】（1）利用面积相等进行验证即可；
（2）容易判断当时，的长最小，设，则，由勾股定理可得，解方程求出，再求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：由垂线段最短可知，当时，的长最小，即新修的路最短．
设，则，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，即．
答：新修路的长为．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】如图③，中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？
【答案】(1)证明：∵，
∴，，，
∴四边形是直角梯形，
∴．
又∵，
∴，
∴
∴
(2)新路比原路少1米
【分析】（1）将图②中的直角梯形面积用两种方式表示：一是利用梯形面积公式，二是将其分割为三个直角三角形的面积之和．通过建立等量关系并化简，即可推导出．
（2）设为未知数，利用这一条件表示出斜边的长，然后在中利用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：设的长为x米，
∵，米，
∴米．
在中，由勾股定理得：，
即
解得
∴（米），
∴（米）．
答：新路比原路少1米．
易错点
1、未确定三角形是直角三角形就应用勾股定理。
2、求直角边时误用加法，把勾股定理错记为两直角边平方差等于斜边平方。
3、未明确斜边或直角时未分类讨论，导致漏解。
4、赵爽弦图中小正方形边长误记为直角边之差或混淆大、小正方形面积。
5、勾股树求面积和时遗漏某些正方形，或误认为面积成倍增长。
6、折叠问题中未利用折叠前后图形全等进行线段转化。
7、化斜为直作高时，设元后未正确列方程，或忽略的实际范围。
重点
1、勾股定理的内容及符号语言。
2、已知直角三角形两边求第三边。
3、用面积法（拼图法）验证勾股定理。
4、用勾股定理在数轴上表示无理数。
5、勾股定理在实际问题和几何问题中的应用。
难点
1、勾股定理的多种拼图验证方法及证明思路。
2、弦图、勾股树等模型中的面积关系计算。
3、折叠、化斜为直等综合几何问题中构造直角三角形并列方程。
4、利用勾股定理证明线段平方关系。
【对应练习题】
一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．100
【答案】A
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和8，
∴斜边长为．
2．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理及正方形面积公式，明确正方形面积即为对应边长的平方，求出字母代表的正方形面积，再开方求边长即可．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为 ，，斜边长为 ，
其中字母代表的正方形边长为.
由图可知，斜边上的正方形面积为，一条直角边上的正方形面积为 .
根据勾股定理得.
∴，
∴，
∵，
∴．
即字母所代表的正方形的边长是 ．
3．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
【答案】C
【详解】解：在中，，，
①若为斜边，则；
②若为斜边，则；
∴或．
【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边．
二、填空题
4．一个直角三角形的两边长分别是和，则第三边长是______．
【答案】或/或5
【分析】分当和均为直角边时，当长度为的边为斜边，长度为的边为直角边时，两种情况求解即可．
【详解】解：当和均为直角边，第三边为斜边时，
根据勾股定理得，第三边长为；
当长度为的边为斜边，长度为的边为直角边，第三边为另一条直角边时，
根据勾股定理，第三边长为．
5．大庆市某中学的旗杆在正午的影子长，旗杆高，则旗杆顶端与影子末端的距离是_______．
【答案】15
【详解】解：旗杆、影子与地面构成直角三角形，
∴顶端到影子末端．
6．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______．
【答案】
【分析】首先根据旋转的性质得到，，，然后求出，得到，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，
，，，
，
，
，
∴，
∴．
三、解答题
7．解答下列各题
(1)在中，，，，求的长；
(2)在中，，，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据勾股定理，确定直角边和斜边后解直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴根据勾股定理，可得，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴根据勾股定理，可得，
∴．
8．如图，在中，，垂足为，，，求的长．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出和的长，再利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积相等求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
∴，
在中，得：，
∵，
∴，
即，
解得．
9．为推进乡村助农，某地修建一条公路．如图，A地已经分别向C，D，B三地修建了三条笔直的公路，和，C地，D地，B地在同一条笔直的公路上，公路和公路互相垂直．现需要从D地修建一条笔直的公路与公路在H处相接，已知千米，千米，千米．
(1)求公路的长度；
(2)若修建公路每千米的费用是2万元，请求出修建公路最节省的费用．
【答案】(1)7千米
(2)修建公路最节省的费用为6万元．
【分析】（1）由勾股定理得出，根据即可求出．
（2）由等面积法求出，然后再计算修建公路的费用即可．
【详解】（1）解：∵，千米，千米，
∴（千米），
∴（千米）．
（2）解：∵，
∴，
∴（千米），
∴修建公路最节省的费用为（万元）．
10．解答：
(1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______；
(2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
【答案】(1)，
(2)如图，点表示的实数为．
【分析】（1）根据勾股定理求出，由作图可知， 即可解答；
（2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由作图可知，
∵点与数轴原点重合，
∴， 点表示的实数是；
（2）解：构造直角，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，则，，，
由勾股定理得，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则，
∴点表示的实数为．
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专题3.1勾股定理的探究
知识点1 ：勾股定理
1. 定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 符号语言：在中，若，斜边为，两直角边为、，则。
3. 变形：，，故已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。
4. 常用名称：我国古代把直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，故称勾股定理；公元前年左右，商高提出“勾三股四弦五”。
5. 适用范围：勾股定理只适用于直角三角形，在应用前必须先确定三角形是直角三角形。
知识点2 ：用勾股定理在数轴上表示无理数
1. 方法：把（为正整数）的平方拆分为两个整数的平方和，即。
2. 步骤：
（1）拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和；
（2）构图：借助数轴构造直角三角形，使两直角边长分别为、（则斜边长为），其中一条直角边与数轴重合；
（3）定点：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示的点。
3. 数学思想：实数与数轴上的点一一对应，利用勾股定理可将无理数在数轴上表示出来，体现数形结合思想。
知识点3 ：勾股定理的验证
1. 验证方法：勾股定理的证明方法很多，常用的是面积法，即结合图形的切割、拼接，通过面积相等来证明，体现数形结合思想。
2. 证明思路：用两种方式表示同一个图形的面积（算两次），根据面积相等得到等量关系，进而通过恒等变形推出勾股定理。
证明方法
图例
主要思路
赵爽弦图
用4个全等直角三角形拼成边长为的大正方形，大正方形面积，又等于，故
刘徽“青朱出入图”
根据“出入相补、以盈补虚”原理，正方形面积
伽菲尔德总统证法
将两个全等直角三角形和等腰直角三角形拼成直角梯形，用两种方式算面积，化简得
毕达哥拉斯拼图
分别以边长为的大正方形两种分割方式算面积，联立得
知识点4 ：勾股定理的应用
1. 求边长：已知直角三角形的任意两边长，求第三边长。
2. 确定关系：已知直角三角形的一边长，确定另外两边长的关系（设参数列方程）。
3. 几何问题：解决含平方关系的几何问题，或构造方程计算线段的长度。
4. 实际问题：解决生产生活中的一些实际问题。
【基础必考题型】
【题型1】已知两边求第三边
1.核心知识点
直接应用勾股定理求第三边。
2.解题方法技巧
①先确定直角及斜边，分清已知边是直角边还是斜边；
②求直角边用，求斜边用；
③题目未明确直角或斜边时，需分类讨论。
【例题1】.（25-26八年级下·山西大同·期中）在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【变式题1-1】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升到达点，再水平飞行到达点，则点到点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-2】.（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 ______ ．
【变式题1-3】.（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）在中，，，，则的长为_____ ．
【题型2】在数轴上表示无理数
1.核心知识点
利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上作出表示无理数的点。
2.解题方法技巧
①把的平方拆成两个整数的平方和；
②以原点为直角顶点构造直角三角形，使两条直角边在数轴上及其垂线上；
③以斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即对应点。
【例题2】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（）
A． B． C． D．
【变式题2-2】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数是_________________．
【变式题2-3】.（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________．
【题型3】求三边向外作图形的面积
1.核心知识点
以直角三角形三边为边（或直径）向外作正方形、等腰直角三角形、半圆，其面积间满足平方关系。
2.解题方法技巧
①若以三边作正方形，面积分别为、、，满足；
②作相似图形（等腰直角三角形、半圆）时，面积比等于对应边长平方比，故仍有小面积之和等于大面积；
③利用面积相等关系求阴影部分面积。
【例题3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，分别以的三边为直径向外作半圆，斜边，则图中阴影部分的面积为_____．
【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，用面积分别为，和的三个正方形围成直角三角形（），则的值为________．
【变式题3-2】.（26-27八年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（ ）．
A．4 B．2 C．22 D．不能确定
【变式题3-3】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）根据勾股定理知识迁移，完成下列问题．
(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由；
(2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积．
【题型4】赵爽弦图相关计算
1.核心知识点
赵爽弦图由4个全等直角三角形和1个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系列式求解。
2.解题方法技巧
①大正方形面积小正方形面积；
②直角三角形的长、短直角边差即为小正方形的边长；
③结合勾股定理及已知面积求未知量。
【例题4】.（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式题4-1】.（21-22八年级下·青海西宁·阶段检测）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____．
【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）我国汉代数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，这是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标．如图所示的“赵爽弦图”中的四个直角三角形是全等的．如果这四个直角三角形中较小的锐角均为，求小正方形的边长与大正方形的边长的比值．
【变式题4-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某校七年级（2）班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与实践学习．
(1)如图1，把两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起，就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是 ．
(2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为，用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放，拼成图2所示的大正方形，其中间恰好形成一个空白小正方形，
①中间空白小正方形的面积是__________；大正方形的边长__________；
②在①问的条件下，若在大正方形内沿边的方向裁剪出一个长宽比为的长方形，其面积为，请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由．（参考数据：
(3)若一个直角三角形的两条直角边分别为，请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的第三条边（斜边）的长是__________．
【题型5】利用勾股定理求线段平方和（差）
1.核心知识点
利用勾股定理把线段的平方转化为直角三角形的边长平方，求平方和或平方差。
2.解题方法技巧
①构造直角三角形，用勾股定理表示相关线段的平方；
②利用中点、垂足等条件找等量关系；
③通过加减消元求平方和或平方差。
【例题5】.（26-27八年级上·全国·周测）在中，斜边，则的值为（ ）
A．36 B．6 C．24 D．4
【变式题5-1】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，则_______．
【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______．
【培优高频题型】
【题型6】折叠问题
1.核心知识点
折叠前后两个图形全等（轴对称），利用勾股定理在折叠后形成的直角三角形中列方程求线段长。
2.解题方法技巧
①掌握折叠的本质是轴对称，折叠前后图形全等，实现线段、角的转化；
②折痕常作为角平分线使用；
③设所求线段为，用含的代数式表示相关线段，在直角三角形中列方程。
【例题6】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式题6-1】.（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、截开，便成纸，将纸沿长边对折、截开，便成纸；将纸沿长边对折、截开，便成纸；将纸沿长边对折、截开，便成纸……将纸按照如图所示的方式折叠，你发现折出的对角线与纸长边重合，可得纸长与宽的比为：（ ）
A． B． C． D．
【变式题6-2】.（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为______．
【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点．
(1)求的长；
(2)当是直角三角形时，求的长．
【题型7】化斜为直求三角形面积
1.核心知识点
对无直角的三角形，作垂线构造直角三角形，用勾股定理列方程求高或边，进而求面积。
2.解题方法技巧
①作垂线（高）构造直角三角形，形成“共边直角三角形”；
②设其中一段为，分别用勾股定理表示公共高（边）的平方；
③列方程求解，再代入求面积。
【例题7】.（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）中，是边上的高，已知，，，则长为________．
【变式题7-1】.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，，，为的平分线，交的延长线于点E，则 __ ．
【变式题7-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【变式题7-3】.（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，中，，．
(1)尺规作图，求作边上的高；（保留作图痕迹）
(2)求边上的高的长度．
【压轴素养题型】
【题型8】利用勾股定理解决实际问题
1.核心知识点
把实际问题（梯子滑动、树干距离、横渡河流等）转化为直角三角形问题，用勾股定理求解。
2.解题方法技巧
①根据题意画出几何示意图，找直角三角形；
②确定已知边与待求边，直接用勾股定理或设未知数列方程；
③注意线段平移、滑动前后长度不变等条件。
【例题8】.（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）大庆市某中学教学楼二楼的楼梯，从一楼地面到二楼平台共升高，楼梯的水平跨度为，求下列各题．
(1)求楼梯斜面的长度；
(2)学校要在楼梯斜面上铺防滑垫，每块防滑垫长为，铺满整个斜面需要多少块？
【变式题8-1】.（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？
【变式题8-2】.（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺．
【变式题8-3】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，梯形是一座水库堤坝的横断面．已知，，，坝顶，．求的长及堤坝横断面（即梯形）的面积．
【题型9】拼图法验证勾股定理
1.核心知识点
通过拼接图形，用两种方式表示图形面积（算两次），得到等量关系证明勾股定理。
2.解题方法技巧
①拼出图形（直角梯形、大正方形、五边形等）；
②用两种方法计算整个图形的面积；
③根据面积相等列等式，恒等变形推导出。
【例题9】.（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）现用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．中，，，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：
(2)如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【变式题9-1】.（26-27八年级上·全国·周测）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．如图是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，图、图的面积相等，请你根据这两个图验证勾股定理．
【变式题9-2】.（26-27八年级上·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以证明勾股定理；
图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，两直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法验证勾股定理．
【知识应用】
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，三点在同一条直线上），并新修一条路，现测得，，，要使新修的路最短，求新修路的长．
【变式题9-3】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】如图③，中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？
易错点
1、未确定三角形是直角三角形就应用勾股定理。
2、求直角边时误用加法，把勾股定理错记为两直角边平方差等于斜边平方。
3、未明确斜边或直角时未分类讨论，导致漏解。
4、赵爽弦图中小正方形边长误记为直角边之差或混淆大、小正方形面积。
5、勾股树求面积和时遗漏某些正方形，或误认为面积成倍增长。
6、折叠问题中未利用折叠前后图形全等进行线段转化。
7、化斜为直作高时，设元后未正确列方程，或忽略的实际范围。
重点
1、勾股定理的内容及符号语言。
2、已知直角三角形两边求第三边。
3、用面积法（拼图法）验证勾股定理。
4、用勾股定理在数轴上表示无理数。
5、勾股定理在实际问题和几何问题中的应用。
难点
1、勾股定理的多种拼图验证方法及证明思路。
2、弦图、勾股树等模型中的面积关系计算。
3、折叠、化斜为直等综合几何问题中构造直角三角形并列方程。
4、利用勾股定理证明线段平方关系。
【对应练习题】
一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．100
2．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
二、填空题
4．一个直角三角形的两边长分别是和，则第三边长是______．
5．大庆市某中学的旗杆在正午的影子长，旗杆高，则旗杆顶端与影子末端的距离是_______．
6．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______．
三、解答题
7．解答下列各题
(1)在中，，，，求的长；
(2)在中，，，，求的长．
8．如图，在中，，垂足为，，，求的长．
9．为推进乡村助农，某地修建一条公路．如图，A地已经分别向C，D，B三地修建了三条笔直的公路，和，C地，D地，B地在同一条笔直的公路上，公路和公路互相垂直．现需要从D地修建一条笔直的公路与公路在H处相接，已知千米，千米，千米．
(1)求公路的长度；
(2)若修建公路每千米的费用是2万元，请求出修建公路最节省的费用．
10．解答：
(1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______；
(2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
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