专题1.2 全等三角形（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识，系统梳理概念与全等变换（平移、翻折、旋转）、规范表示方法、核心性质（对应边、角相等）及对应元素判定方法，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料以分层题型（基础识别、培优计算、压轴证明）为特色，融入图形变换情境，通过网格探究等培养几何直观与推理意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力与创新意识。

专题1.2 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念与全等变换   1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形的形状、大小完全相同，与图形摆放位置无关。   2. 全等变换类型：三角形经过平移、翻折（轴对称）、旋转三种变换后，形状和大小不变，变换前后的三角形全等，是初中几何核心全等模型。   3. 对应元素定义：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点为对应顶点，互相重合的边为对应边，互相重合的角为对应角。 知识点2：全等三角形的表示方法   1. 符号规范：全等用符号“”表示，读作“全等于”。   2. 书写规则：记录两个三角形全等时，必须将对应顶点的字母写在对应位置，可直接通过字母顺序确定对应边、对应角。   3. 表述区别： 对应关系唯一确定；仅表述“与全等”，无固定对应关系，需分类讨论。 知识点3：全等三角形的核心性质   1. 基础核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，是全等三角形计算与证明的核心依据。   2. 延伸衍生性质：全等三角形周长相等、面积相等；对应边上的中线、高，对应角的角平分线全部相等。   3. 传递性：若，，则。 知识点4：对应元素判定方法 判定方法 具体判定规则 字母顺序法 根据全等书写式中对应顶点字母，直接匹配对应边、对应角，最规范通用 图形特征法 最长边对最长边、最短边对最短边；最大角对最大角、最小角对最小角 位置特殊法 公共边、公共角、对顶角为对应元素；对应角所夹边、对应边所夹角为对应元素 【基础必考题型】 【题型1】全等三角形的概念识别与判断 1.核心知识点   全等三角形的定义；全等图形的核心特征（形状、大小完全相同）；区分全等图形与相似图形、面积相等图形。 2.解题方法技巧   ①判断全等只需验证图形能否完全重合，与摆放位置、方向无关；   ②形状相同、面积相等的图形不一定全等，必须同时满足大小一致；   ③平移、翻折、旋转后的图形必然全等。 【例题1】.（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； D中大小一样，形状相同，符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）请查阅资料收集一些利用全等三角形测距离的趣闻或故事． 【答案】 经典案例为拿破仑测量莱茵河宽度的故事． 【分析】查阅拿破仑测量莱茵河宽度的故事． 【详解】解：年，法国的拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸 处，如下图所示 , 因不知河宽，法军很难瞄准敌军．聪明的拿破仑站在南岸处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营处，然后后退到点，这时他的视点恰好能落在处，于是他命令部下测量他所站的处与点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，果然炮弹就像长了眼睛一样，都命中了目标． 【题型2】根据全等书写式确定对应元素 1.核心知识点   全等三角形规范书写规则；对应顶点、对应边、对应角的匹配关系。 2.解题方法技巧   ①严格按照字母一一对应的原则，直接锁定对应顶点；   ②相邻顶点连线为对应边，对应顶点组成的角为对应角；   ③无图形题目，优先以书写字母顺序为唯一判定依据。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【详解】略． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】 图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】略 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点D是内一点，，将绕点A逆时针旋转，点D旋转至点E处，则______，______，______． 【答案】 / / 【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转，点旋转至点处， ∴点旋转至点处， ∴， ∴，． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O旋转，得到，这时______．这两个三角形的对应边是：与______，与______，与______；对应角是：与______，与______，与______． 【答案】 【详解】解：∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 【题型3】利用全等性质求线段长度 1.核心知识点   全等三角形对应边相等；线段和差运算；图形变换中的线段等量关系。 2.解题方法技巧   ①根据全等关系找出所求线段的对应边，转化为已知线段长度；   ②结合图形线段和差、平移距离等条件，列式计算未知线段；   ③多个全等图形叠加时，逐层梳理等量线段，避免混淆。 【例题3】.（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 【题型4】利用全等性质求角度大小 1.核心知识点   全等三角形对应角相等；三角形内角和定理；平角、对顶角等角度基础性质。 2.解题方法技巧   ①通过全等转化已知角，得到对应未知角的度数；   ②结合三角形内角和、角度和差关系，推导复杂角度；   ③变换背景题目，利用变换前后角度不变性快速解题。 【例题4】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，，，，点D恰好落在线段上，则的度数为________． 【答案】 【分析】由，可得，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 【培优高频题型】 【题型5】全等三角形周长与面积计算 1.核心知识点   全等三角形周长相等、面积相等；图形平移、翻折后的面积不变规律；阴影部分面积转化计算。 2.解题方法技巧   ①直接利用全等周长、面积相等性质，整体代换求解；   ②不规则阴影面积，通过全等割补转化为规则图形面积；   ③多个全等图形组合，利用面积等量抵消简化运算。 【例题5】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的对应边相等，由对应顶点关系确定对应，再通过周长求出即可得． 【详解】解：，点和点，点和点是对应顶点， 与为对应边，即 的周长为，， ， 即， ， 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形，进而得到，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ， ， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于________． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 【题型6】图形变换背景下全等性质应用 1.核心知识点   平移、翻折、旋转全等变换特征；变换前后对应边、对应角不变；几何变换素养应用。 2.解题方法技巧   ①明确变换类型，锁定全等三角形，梳理不变的边角关系；   ②平移关注平移距离，翻折关注对称等量，旋转关注旋转角；   ③结合变换特征，推导线段、角度的动态不变量。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质；先根据平移的性质得到三角形全等，再根据全等三角形的性质进行依次判断得到答案即可； 【详解】解：由平移的性质可得：，故①正确； ∵，∴，故②正确； 因为平移的距离不定，无法判断，故③错误； ∵，∴，∴，，故④正确； ∴①②④正确，故共3个正确； 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． （4）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （2）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （3）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （4）解：，对应边是， 对应角是． 故答案为：；． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 【压轴素养题型】 【题型7】全等三角形边角结论证明题 1.核心知识点   全等三角形边角性质；线段和差、角度等量代换；几何推理规范书写。 2.解题方法技巧   ①从结论倒推所需条件，结合全等性质锁定等量关系；   ②利用公共边、公共角等隐含条件，完善推理链条；   ③规范几何证明步骤，逐层推导，逻辑清晰。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，结合已知，求得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】 解：， ． ， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）略 【题型8】网格中的全等三角形探究问题 1.核心知识点   格点三角形特征；全等三角形判定；图形分割与重构；几何直观素养。 2.解题方法技巧   ①利用网格边长、直角特征，计算三角形边长、角度；   ②根据全等特征，寻找、绘制全等格点三角形；   ③掌握图形分割技巧，将规则图形拆分为若干全等三角形。 【例题8】.（25-26七年级下·江西·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所求（答案不唯一）， (2)解：如图，点即为所求， 【分析】（1）在网格图中，作出，通过即可得三角形与全等； （2）根据三角形的重心为三条中线的交点，先取的中点与点连接，再取的中点与点连接，两条线段的交点即可为重心． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【答案】(1)逆命题是：如果两个两个图形是全等图形，那么这两个图形能够完全重合，此命题是真命题 (2) 如图所示：（答案不唯一）． 【分析】本题考查了逆命题的定义、真假命题的判断以及全等图形的性质，解题的关键是掌握逆命题“题设与结论互换”的改写规则和全等图形“完全重合”的本质特征． （1）将原命题的题设和结论互换得到逆命题，结合全等图形的定义判断真假； （2）根据矩形的对称性和全等图形的面积、形状特征，沿虚线分割出两个能完全重合的图形． 【详解】（1）解：原命题的逆命题为“全等图形是能够完全重合的两个图形”； ∵ 全等图形的定义就是能够完全重合的两个图形，逆命题的题设与结论均符合定义， ∴ 该逆命题是真命题． （2）略 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中作图． (1)在图1中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (2)在图2中，作，使． 【答案】(1) 线段即为所求： (2) 即为所求：     【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点E，连接即可； （2）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，取格点，连接交于点，连接, （2）略 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略． 易错点 1、混淆对应边/对应角与对边/对角，前者是两个三角形之间的元素关系，后者是单个三角形内部的边角关系，极易混淆误用。 2、全等书写不规范，未按对应顶点字母排序，导致对应边角匹配错误；无图形题目，主观臆断对应关系，忽略分类讨论。 3、忽略全等性质适用前提，误将周长、面积相等的三角形判定为全等三角形，混淆全等的充分条件与必要条件。 4、图形变换背景下，错判变换前后的对应元素，混淆公共边、公共角的对应关系，导致计算、推理出错。 5、判定直线位置关系时，仅凭全等角相等直接判定平行/垂直，忽略角度位置关系，推理逻辑不严谨。 重点 1、熟练掌握全等三角形的定义、表示方法，能精准识别各类图形、变换背景下的对应顶点、对应边、对应角。 2、牢固掌握全等三角形核心性质，熟练利用对应边、对应角相等进行线段、角度的基础计算与简单证明。 3、掌握平移、翻折、旋转三类全等变换特征，能结合图形变换解决边角计算与推理问题。 4、会利用全等三角形性质，判定线段、直线的位置关系，掌握几何推理的基本书写规范。 难点 1、无图形、动点、网格背景下的分类讨论问题，对应关系不唯一，容易漏解、错解，对几何思维完整性要求高。 2、复杂图形叠加、多次全等变换后，精准梳理对应边角关系，完成多层逻辑推理与综合计算。 3、实际情境建模问题，将生活中的拼接、测量、折叠问题抽象为全等三角形模型，灵活运用性质解题。 4、结合全等性质、几何定理的综合证明题，构建完整推理链条，规范几何证明书写。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 2．如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ，，，，， A选项不符合对应边关系， B选项无法由全等性质得到， D选项不符合对应角关系，只有C选项符合结论． 3．如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质和平行线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴． 二、填空题 4．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 5．如图，，，那么 _______． 【答案】8 【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得，因为，，则，由此得解． 【详解】解：， ， ，， ． 6．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合已知条件及对应点、对应角的关系，确定对应顶点，进而写出对应边和对应角． 【详解】解：∵，点、为对应点，， ∴对应顶点为：点与点，点与点，点与点， 这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 三、解答题 7．如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 9．如图，在中，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)若，直接写出的度数为______； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）先由旋转的性质得，则，再根据可得的度数，进而求得，根据已知求得，再根据三角形的外角的性质，进而得出； （2）由得，，求得，再根据勾股定理可得到线段的长． 【详解】（1）解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∵ 又∵ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念与全等变换   1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形的形状、大小完全相同，与图形摆放位置无关。   2. 全等变换类型：三角形经过平移、翻折（轴对称）、旋转三种变换后，形状和大小不变，变换前后的三角形全等，是初中几何核心全等模型。   3. 对应元素定义：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点为对应顶点，互相重合的边为对应边，互相重合的角为对应角。 知识点2：全等三角形的表示方法   1. 符号规范：全等用符号“”表示，读作“全等于”。   2. 书写规则：记录两个三角形全等时，必须将对应顶点的字母写在对应位置，可直接通过字母顺序确定对应边、对应角。   3. 表述区别： 对应关系唯一确定；仅表述“与全等”，无固定对应关系，需分类讨论。 知识点3：全等三角形的核心性质   1. 基础核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，是全等三角形计算与证明的核心依据。   2. 延伸衍生性质：全等三角形周长相等、面积相等；对应边上的中线、高，对应角的角平分线全部相等。   3. 传递性：若，，则。 知识点4：对应元素判定方法 判定方法 具体判定规则 字母顺序法 根据全等书写式中对应顶点字母，直接匹配对应边、对应角，最规范通用 图形特征法 最长边对最长边、最短边对最短边；最大角对最大角、最小角对最小角 位置特殊法 公共边、公共角、对顶角为对应元素；对应角所夹边、对应边所夹角为对应元素 【基础必考题型】 【题型1】全等三角形的概念识别与判断 1.核心知识点   全等三角形的定义；全等图形的核心特征（形状、大小完全相同）；区分全等图形与相似图形、面积相等图形。 2.解题方法技巧   ①判断全等只需验证图形能否完全重合，与摆放位置、方向无关；   ②形状相同、面积相等的图形不一定全等，必须同时满足大小一致；   ③平移、翻折、旋转后的图形必然全等。 【例题1】.（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）请查阅资料收集一些利用全等三角形测距离的趣闻或故事． 【题型2】根据全等书写式确定对应元素 1.核心知识点   全等三角形规范书写规则；对应顶点、对应边、对应角的匹配关系。 2.解题方法技巧   ①严格按照字母一一对应的原则，直接锁定对应顶点；   ②相邻顶点连线为对应边，对应顶点组成的角为对应角；   ③无图形题目，优先以书写字母顺序为唯一判定依据。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点D是内一点，，将绕点A逆时针旋转，点D旋转至点E处，则______，______，______． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点O旋转，得到，这时______．这两个三角形的对应边是：与______，与______，与______；对应角是：与______，与______，与______． 【题型3】利用全等性质求线段长度 1.核心知识点   全等三角形对应边相等；线段和差运算；图形变换中的线段等量关系。 2.解题方法技巧   ①根据全等关系找出所求线段的对应边，转化为已知线段长度；   ②结合图形线段和差、平移距离等条件，列式计算未知线段；   ③多个全等图形叠加时，逐层梳理等量线段，避免混淆。 【例题3】.（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式题3-2】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【题型4】利用全等性质求角度大小 1.核心知识点   全等三角形对应角相等；三角形内角和定理；平角、对顶角等角度基础性质。 2.解题方法技巧   ①通过全等转化已知角，得到对应未知角的度数；   ②结合三角形内角和、角度和差关系，推导复杂角度；   ③变换背景题目，利用变换前后角度不变性快速解题。 【例题4】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题4-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，，，，点D恰好落在线段上，则的度数为________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】全等三角形周长与面积计算 1.核心知识点   全等三角形周长相等、面积相等；图形平移、翻折后的面积不变规律；阴影部分面积转化计算。 2.解题方法技巧   ①直接利用全等周长、面积相等性质，整体代换求解；   ②不规则阴影面积，通过全等割补转化为规则图形面积；   ③多个全等图形组合，利用面积等量抵消简化运算。 【例题5】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【变式题5-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【变式题5-3】.（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于________． 【题型6】图形变换背景下全等性质应用 1.核心知识点   平移、翻折、旋转全等变换特征；变换前后对应边、对应角不变；几何变换素养应用。 2.解题方法技巧   ①明确变换类型，锁定全等三角形，梳理不变的边角关系；   ②平移关注平移距离，翻折关注对称等量，旋转关注旋转角；   ③结合变换特征，推导线段、角度的动态不变量。 【例题6】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．个 D．1个 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【压轴素养题型】 【题型7】全等三角形边角结论证明题 1.核心知识点   全等三角形边角性质；线段和差、角度等量代换；几何推理规范书写。 2.解题方法技巧   ①从结论倒推所需条件，结合全等性质锁定等量关系；   ②利用公共边、公共角等隐含条件，完善推理链条；   ③规范几何证明步骤，逐层推导，逻辑清晰。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【题型8】网格中的全等三角形探究问题 1.核心知识点   格点三角形特征；全等三角形判定；图形分割与重构；几何直观素养。 2.解题方法技巧   ①利用网格边长、直角特征，计算三角形边长、角度；   ②根据全等特征，寻找、绘制全等格点三角形；   ③掌握图形分割技巧，将规则图形拆分为若干全等三角形。 【例题8】.（25-26七年级下·江西·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中作图． (1)在图1中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (2)在图2中，作，使． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 易错点 1、混淆对应边/对应角与对边/对角，前者是两个三角形之间的元素关系，后者是单个三角形内部的边角关系，极易混淆误用。 2、全等书写不规范，未按对应顶点字母排序，导致对应边角匹配错误；无图形题目，主观臆断对应关系，忽略分类讨论。 3、忽略全等性质适用前提，误将周长、面积相等的三角形判定为全等三角形，混淆全等的充分条件与必要条件。 4、图形变换背景下，错判变换前后的对应元素，混淆公共边、公共角的对应关系，导致计算、推理出错。 5、判定直线位置关系时，仅凭全等角相等直接判定平行/垂直，忽略角度位置关系，推理逻辑不严谨。 重点 1、熟练掌握全等三角形的定义、表示方法，能精准识别各类图形、变换背景下的对应顶点、对应边、对应角。 2、牢固掌握全等三角形核心性质，熟练利用对应边、对应角相等进行线段、角度的基础计算与简单证明。 3、掌握平移、翻折、旋转三类全等变换特征，能结合图形变换解决边角计算与推理问题。 4、会利用全等三角形性质，判定线段、直线的位置关系，掌握几何推理的基本书写规范。 难点 1、无图形、动点、网格背景下的分类讨论问题，对应关系不唯一，容易漏解、错解，对几何思维完整性要求高。 2、复杂图形叠加、多次全等变换后，精准梳理对应边角关系，完成多层逻辑推理与综合计算。 3、实际情境建模问题，将生活中的拼接、测量、折叠问题抽象为全等三角形模型，灵活运用性质解题。 4、结合全等性质、几何定理的综合证明题，构建完整推理链条，规范几何证明书写。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如果，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 5．如图，，，那么 _______． 6．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 三、解答题 7．如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 8．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 9．如图，在中，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)若，直接写出的度数为______； (2)若，，求线段的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $