专题3.2 勾股定理的逆定理重难点题型专训（2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

本初中数学讲义聚焦勾股定理的逆定理及勾股数两大核心知识点，系统梳理逆定理“由数判形”与勾股定理“由形得数”的区别联系，构建从概念理解到勾股数特征应用的学习支架。 资料通过5大基础题型（如网格判断直角三角形）和1大提高题型（勾股树问题）分层设计，培养学生几何直观与创新意识。即时训练与自我检测结合，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识。

专题3.2 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 勾股树(数)问题】 2 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 3 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 4 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 6 【基础题型五 勾股定理逆定理的拓展问题】 7 第二部分·练提高题型 【提高题型一 借助勾股数判定直角三角形】 10 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理的逆定理 1. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是以“一个三角形的三边长满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”． 联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关． 3. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）中，若，则______． 知识点02 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖北随州·阶段测试）下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【基础题型一 勾股树(数)问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段测试）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 3．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 3．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知的三边a、b、c满足 ，求最长边上的高h． 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【例2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为__________三角形． 1．（2026八年级上 贵州黔东南·阶段测试）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __． 4．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【基础题型五 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例2】（24-25八年级上·河北承德·阶段测试）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段测试）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段测试）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【提高题型一 借助勾股数判定直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为______． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆忠县·阶段测试）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023八年级上 江苏南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段测试）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段测试）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 5．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 6．（25-26八年级上·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 7．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 10．（25-26八年级上·浙江台州·阶段测试）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 13．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是__________． 15．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________． 16．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 18．（2023八年级上·江苏无锡）在中，，于点D，设，，，． (1)求证：； (2)判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 20．（26-27八年级上·山东聊城·期中）如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 勾股树(数)问题】 4 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 5 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 9 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 13 【基础题型五 勾股定理逆定理的拓展问题】 19 第二部分·练提高题型 【提高题型一 借助勾股数判定直角三角形】 27 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理的逆定理 1. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是以“一个三角形的三边长满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”． 联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关． 3. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的性质，证明出该三角形是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题知， ∴该三角形是直角三角形，3是斜边长， ∴最长边上的中线长为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）中，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 【详解】解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 知识点02 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖北随州·阶段测试）下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个正整数若满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为一组勾股数，据此验证各选项即可求解，掌握勾股数的定义是解题关键． 【详解】解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【基础题型一 勾股树(数)问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段测试）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1) 证明：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判定，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证即可得到结果. 【详解】解：A 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，A错误； B 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，B错误； C 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段能组成直角三角形，C正确； D 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，D错误． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 1．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知的三边a、b、c满足 ，求最长边上的高h． 【答案】4.8 【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出a、b、c的值，用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形，再根据面积法求出高h． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】分三种情况，，，分别找出格点，即可得出答案． 【详解】解：当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 综上分析可知，使得为直角三角形的格点C的个数是6个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，分三种情况进行讨论，是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为__________三角形． 【答案】直角 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， △ABC形状为直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了在网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（2026八年级上 贵州黔东南·阶段测试）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段测试）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __． 【答案】4 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ， 是直角三角形，，，，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键． 4．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)如图： (2)相交 (3)14.5 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． （3）解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【基础题型五 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河北承德·阶段测试）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段测试）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段测试）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【提高题型一 借助勾股数判定直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为______． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 根据勾股定理可得：， ∵, ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027． 故答案为：2027． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆忠县·阶段测试）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． 3．（2023八年级上 江苏南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段测试）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 【答案】(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，需满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A：，，，不是勾股数； B：，，不是正整数，不是勾股数； C：，不是正整数，不是勾股数； D：，，即，且均为正整数，是勾股数． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段测试）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题． 【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意； B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 5．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 6．（25-26八年级上·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】对四组边长分别判断，找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求解 【详解】解：① 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ② 对边长，比较可得是最长边． 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ③ 对边长，最长边为． 展开计算得， ，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形； ④ 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形． 综上，共有①②④3组符合条件． 7．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10．（25-26八年级上·浙江台州·阶段测试）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 13．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______． 【答案】126 【分析】在△ACD中，根据勾股定理逆定理判断出∠ADC=90°，在中利用勾股定理求得BD= 16，再利用面积公式求解可得． 【详解】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°， 则△ABD是直角三角形， ∵AB＝20， ∴BD＝＝＝16， 则S△ABC＝•BC•AD＝×（16+5）×12＝126， 故答案为：126． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的逆定理的应用，先证明，可得，结合旋转可得，再进一步确定最小位置与最大位置求解即可． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，，； 如图，连接， 则， 当时，最小，则最小， 此时， ∴的最小值为， 当与重合时，三点共线，此时最大，如图， ∴的最大值为； ∴； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________． 【答案】②③/③② 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形， ①错误； ②∵，； 又、、能组成三角形， ， ； ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形， ②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形； ③正确； ④不符合三角形的两边之和大于第三边； ，，不能组成直角三角形， ④错误． 正确的序号是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 16．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1) 解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； (2) 证明：∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 18．（2023八年级上·江苏无锡）在中，，于点D，设，，，． (1)求证：； (2)判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式得出，进而得出，即可证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ． ． ，， ． （2）解：该三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ． ，h，为边的三角形是直角三角形． 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）略 20．（26-27八年级上·山东聊城·期中）如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $