3.1.1 椭圆及其标准方程同步练义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.(√) (2)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.(×) (3)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.(×) (4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(√) 2.已知椭圆的一个焦点坐标是,则实数的值是( ) A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】将椭圆方程化为标准方程为,又其中一个焦点坐标为,故,解得.故选B 3.在平面直角坐标系中,已知点,若,则点的轨迹方程是什么? 【答案】. 【详解】,所以, 点的轨迹方程为 4.两种椭圆和()有什么相同点和不同点? 【详解】相同点:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 5.如何根据椭圆的标准方程判断焦点的位置? 【详解】比较含项和含项的分母,谁的分母大,焦点就在谁对应的坐标轴上. 二、知识点自测 知识点1 椭圆定义的应用 1.已知为椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,,求的面积. 【答案】 【详解】由已知得,所以,从而. 在中,由余弦定理得,即①. 由椭圆的定义得,即②. 由②-①,得. 所以. 2.如图,一圆形纸片的圆心为,是圆内一定点,是圆周上一动点,把纸片折叠使与重合,然后抹平纸片,折痕为.设与交于点,则点的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【详解】设圆的半径为,由题意知,所以,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 3.设为椭圆的两个焦点,点在上.若,则为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】(方法一)因为,所以,从而,所以. (方法二)因为,所以.由椭圆方程可知,,故,所以. 又,平方得,所以. 知识点2 求椭圆的标准方程 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是,椭圆上一点到两焦点距离之和等于8; (2)两个焦点的坐标分别是,并且椭圆经过点. 【答案】(1) .（2）. 【详解】 (1)由题意得,故.又焦点在轴上,所以椭圆的标准方程为. (2)由题意得,且焦点在轴上,所以设椭圆方程为.将代入方程,得,故椭圆的标准方程为. 2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由方程可知,其焦点的坐标为和,即.设所求椭圆的标准方程为,因为椭圆过点,代入方程得,解得(舍去).故所求椭圆的标准方程为. 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过点,,则此椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】设椭圆方程为.由得;由得.联立解得,所以椭圆的标准方程为. 知识点3 求轨迹问题 1.(1)一个动圆与圆外切,与圆内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. (2)已知圆,过圆上一动点作平行于轴的直线.设直线与轴的交点为.若向量,试求动点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)由已知得两定圆的圆心和半径分别为;. 设动圆圆心为,半径为,如图. 由题意得,,所以. 由椭圆的定义知,点在以为焦点的椭圆上,且,,所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. (2)设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.因为,所以,即.又因为点在圆上,所以,所以. 由,得,所以动点的轨迹方程为. 2.已知是椭圆上的一动点,是椭圆的左、右焦点,延长到点,使得,求动点的轨迹方程. 【答案】 【详解】如图,由题意得. 又,所以,即. 所以动点的轨迹是以为圆心,6为半径的圆. 又,所以动点的轨迹方程是. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.已知点是平面内的动点,是平面内的两个定点,则"点到点的距离之和为定值"是"点的轨迹是以为焦点的椭圆"的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若点到点的距离之和恰好为两点之间的距离,则点的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者.根据椭圆的定义,椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数,所以后者能推出前者,故前者是后者的必要不充分条件.故选C. 2.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6,那么点到另一个焦点的距离是( ) A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【详解】根据椭圆的定义可得,因为椭圆上一点到焦点的距离等于6,所以,所以.故选C. 3.(多选)椭圆的焦距为2,则的值可以是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】AC 【详解】因为椭圆的焦距为,则.当焦点在轴上时,有,即;当焦点在轴上时,有,解得.故或. 4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为( ) A．(2,3) B．(3,4) C． D． 【答案】B 【详解】方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆,可得,解得,所以实数的取值范围为(3,4).故选B. 5.(多选)椭圆的方程为,是椭圆的两个焦点,点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形,则下列结论正确的是( ) A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【详解】如图. 因为椭圆的标准方程为,所以. 因为点在第一象限,所以 , 且是等腰三角形, ①当,则M在y轴上,与"第一象限"矛盾 ②当若,因为，所以| |=2，与此时矛盾 ③所以. 根据椭圆的定义,,故A正确; 在中,,,由余弦定理的推论得,故B错误; 由,得,得点到轴的距离为,故C正确; ,故D错误.故选AC. 6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆与轴的交点到两焦点的距离分别为5和1,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】设椭圆的标准方程为,由题意可得,,解得,,故,所以椭圆的标准方程为. 7.设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,点的坐标为,则的最大值为　　　　. 【答案】13 【详解】由椭圆的方程可得,所以. 由椭圆的定义,得,所以,而,当三点共线时取到最大值,所以的最大值为13. 8.如图,设的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为,则点的轨迹方程为　　　　. 【答案】 【详解】设点的坐标为,则,.由已知有,化简得,即. 9.已知圆和圆,求与圆外切且内切于圆的动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【详解】由题意可知,圆的圆心,半径,圆的圆心,半径.设动圆的半径为, 由题意得,,即. 根据椭圆的定义可知,点在以为焦点,5为长轴长的椭圆上,所以,,可得. 所以动圆圆心的轨迹方程为. B组　能力提升 1.已知的周长为24,且顶点的坐标分别为,则顶点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的周长为24,顶点,所以,.因为18>6,所以点到两个定点的距离之和等于定值,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,且点不能在轴上.因为,所以,所以椭圆的方程是.故选B. 2.(多选)已知是椭圆的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,且,则( ) A．椭圆的焦点在轴上 B．的周长为12 C．的周长为10 D．椭圆的方程为 【答案】BCD 【详解】显然椭圆的焦点在轴上,A错误. 设椭圆的方程为,且.因为过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,设,代入方程可得,求得.由于,所以.又,解得,所以,,所以椭圆的方程为,D正确. 的周长为, B正确 的周长为,C正确.故选BCD. 3.(多选)已知为椭圆上一点,为椭圆的焦点,且.若,则椭圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题知,所以.因为,所以.所以.故椭圆的标准方程是或.故选AC. 4.已知为椭圆的右焦点,为上一点,为圆上一点,则的最大值为( ) A．8 B．9 C．10 D． 【答案】C 【详解】依题意,设椭圆的左焦点为,圆的圆心为,半径为1.,当三点共线,且在之间时等号成立.而,所以,当四点共线,且在之间,是的延长线与圆的交点时等号成立.故选C. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为,且过点,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】由题意知,①. 又椭圆经过点,所以②. 联立①②,解得,.故椭圆的标准方程为. 6.椭圆的两焦点为,点在椭圆上.若的面积最大为6,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】由已知可得,,当点在轴上时,的面积最大,所以,所以.所以.所以椭圆的标准方程为. 7.如图所示,在圆内有一点,为圆上一点,的垂直平分线与的连线交于点,求点的轨迹方程. 【答案】. 【详解】如图所示,连接,由题意知点在线段上,从而有. 又点在的垂直平分线上,所以. 因为点在圆上,所以,故. 又,,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,且,,故,. 故点的轨迹方程为. 8.如图,设椭圆的两个焦点为,点在椭圆上,且,,. (1)求椭圆的方程; (2)点在椭圆上,且的面积为,求点的坐标. 【答案】（1），（2）或或或 【详解】 (1)因为点在椭圆上,所以,解得. 因为,,,所以,即,解得.所以. 所以椭圆的方程为. (2)设,因为的面积为,所以,即,解得. 因为点在椭圆上,所以,解得. 所以点的坐标为或或或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.( ) (2)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.( ) (3)已知点,动点满足,则点的轨迹是椭圆.( ) (4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.( ) 2.已知椭圆的一个焦点坐标是,则实数的值是( ) A．2 B． C．3 D．4 3.在平面直角坐标系中,已知点,若,则点的轨迹方程是什么? 4.两种椭圆和()有什么相同点和不同点? 5.如何根据椭圆的标准方程判断焦点的位置? 二、知识点自测 知识点1 椭圆定义的应用 1.已知为椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,,求的面积. 2.如图,一圆形纸片的圆心为,是圆内一定点,是圆周上一动点,把纸片折叠使与重合,然后抹平纸片,折痕为.设与交于点,则点的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．抛物线 D．圆 3.设为椭圆的两个焦点,点在上.若,则为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 知识点2 求椭圆的标准方程 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是,椭圆上一点到两焦点距离之和等于8; (2)两个焦点的坐标分别是,并且椭圆经过点. 2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过点,,则此椭圆的标准方程为　　　　. 知识点3 求轨迹问题 1.(1)一个动圆与圆外切,与圆内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. (2)已知圆,过圆上一动点作平行于轴的直线.设直线与轴的交点为.若向量,试求动点的轨迹方程. 2.已知是椭圆上的一动点,是椭圆的左、右焦点,延长到点,使得,求动点的轨迹方程. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.已知点是平面内的动点,是平面内的两个定点,则"点到点的距离之和为定值"是"点的轨迹是以为焦点的椭圆"的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6,那么点到另一个焦点的距离是( ) A．8 B．9 C．10 D．12 3.(多选)椭圆的焦距为2,则的值可以是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为( ) A．(2,3) B．(3,4) C． D． 5.(多选)椭圆的方程为,是椭圆的两个焦点,点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形,则下列结论正确的是( ) A． B． C．点到轴的距离为 D． 6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆与轴的交点到两焦点的距离分别为5和1,则椭圆的标准方程为　　　　. 7.设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,点的坐标为,则的最大值为　　　　. 8.如图,设的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为,则点的轨迹方程为　　　　. 9.已知圆和圆,求与圆外切且内切于圆的动圆圆心的轨迹方程. B组　能力提升 1.已知的周长为24,且顶点的坐标分别为,则顶点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 2.(多选)已知是椭圆的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,且,则( ) A．椭圆的焦点在轴上 B．的周长为12 C．的周长为10 D．椭圆的方程为 3.(多选)已知为椭圆上一点,为椭圆的焦点,且.若,则椭圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 4.已知为椭圆的右焦点,为上一点,为圆上一点,则的最大值为( ) A．8 B．9 C．10 D． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为,且过点,则椭圆的标准方程为　　　　. 6.椭圆的两焦点为,点在椭圆上.若的面积最大为6,则椭圆的标准方程为　　　　. 7.如图所示,在圆内有一点,为圆上一点,的垂直平分线与的连线交于点,求点的轨迹方程. 8.如图,设椭圆的两个焦点为,点在椭圆上,且,,. (1)求椭圆的方程; (2)点在椭圆上,且的面积为,求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $