3.1.1 椭圆及其标准方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 [教材知识——一遍过] 1.C　2.A　3.D 4.（1）＋y2＝1　（2）＋x2＝1　（3）＋＝1　（4）＋＝1　解析：（1）因为a2＝b2＋c2＝5，焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. （2）已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. （3）在椭圆＋＝1中，a＝3，b＝2， 且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5. 所以设所求椭圆的方程为＋＝1. 因为点（－3，2）在所求椭圆上， 所以＋＝1.所以a'2＝15或a'2＝3（舍去）. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （4）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 将两点坐标代入方程可得解得此时a＜b，不合题意； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 将两点坐标代入方程可得解得符合题意. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，椭圆的标准方程为＋＝1. 5.C　椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，显然椭圆的弦PQ经过点F1，由椭圆的定义得，△F2PQ的周长为｜PF2｜＋｜PQ｜＋｜QF2｜＝｜PF2｜＋｜PF1｜＋｜QF1｜＋｜QF2｜＝4a.故选C. 6.D　由椭圆方程可知a＝7，b＝2，c＝＝5， 由椭圆的性质可知｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝14，又＝，∴｜MF1｜＝8，｜MF2｜＝6， ∴＋＝100＝， ∴MF1⊥MF2， ∴＝｜MF1｜｜MF2｜＝×8×6＝24. 故选D. 7.B　设点M（x，y），根据中点的坐标公式可得P（2x，y）， 代入椭圆方程＋＝1得x2＋y2＝4，其中x≠0.故选B. 8.（1）椭圆　（2）＋y2＝1（x≠±）　解析：（1）点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆，证明如下： 设P是圆O上任意一点，OP与折痕l1的交点为M， 所以有｜MP｜＝｜MA｜，而｜MP｜＝｜OP｜－｜OM｜， 所以有｜OP｜－｜OM｜＝｜MA｜⇒｜MA｜＋｜OM｜＝｜OP｜. 因为O和A是定点，且点A在圆O内， 所以｜OA｜＜｜OP｜，｜OP｜为圆O的半径，为定值， 因此点M的轨迹是以O和A为焦点的椭圆， 所以点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆. （2）设点P的坐标为（x，y），则×＝－（x≠±）， 整理得＋y2＝1，故点P的轨迹方程为＋y2＝1（x≠±）. [综合素养——全提升] 1.A　由“方程＋＝1表示椭圆”可以得出或所以－3＜m＜1或1＜m＜5. “m∈（－3，5）”不能推出“方程＋＝1表示椭圆”； “方程＋＝1表示椭圆”能推出“m∈（－3，5）”. 综上，“m∈（－3，5）”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件. 2.B　由题意得，椭圆＋＝1， 由c2＝a2－b2＝25－9＝16得c＝4， ∴B（－4，0）和C（4，0）分别为椭圆的左、右焦点，且a＝5. ∵顶点A在椭圆＋＝1上，根据椭圆的定义，可得｜AB｜＋｜AC｜＝2a＝10. 由正弦定理，得＝＝＝＝. 3.ABC　由题意可得m＞0且m≠9，故A正确； 若椭圆C的焦点在x轴上，则a2＝9，解得a＝3，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，故B正确； 若m＝8，则a2＝9，b2＝8，c2＝9－8＝1，解得c＝1，所以｜F1F2｜＝2c＝2， 则△PF1F2的周长为｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝2a＋2c＝8，故C正确； 若椭圆C的焦距为2，则c＝. 当椭圆的焦点在x轴上时，m＝9－3＝6；当椭圆的焦点在y轴上时，m＝9＋3＝12，故D错误. 4.D　由椭圆的方程可知，a＝3，c＝＝2.如图所示， 设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知，｜PF｜＋｜PF2｜＝2a＝6，所以｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋6－｜PF2｜＝6－（｜PF2｜－｜PA｜），所以求｜PA｜＋｜PF｜的最小值，也就是求｜PF2｜－｜PA｜的最大值.由图易知，当P，A，F2三点共线时，｜PF2｜－｜PA｜取得最大值，此时（｜PF2｜－｜PA｜）max＝｜AF2｜＝， 所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为6－＝. 5.（1）2　（2）＋＝1　解析：（1）如图，设椭圆的另一个焦点为F1，不妨设F为左焦点，则｜NF｜＋｜NF1｜＝2a＝10. 由中位线可知，｜OM｜＝｜NF1｜，所以｜NF1｜＝8，所以｜NF｜＝2. （2）连接BF1（图略），由椭圆的定义有｜BF1｜＝2a－｜BF2｜＝2a－2，｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝2a－4. 因为·＝0，所以F1A⊥F2A. 在Rt△F1AB中，｜AB｜2＋＝，即62＋（2a－4）2＝（2a－2）2，解得a＝6. 在Rt△F1AF2中，＋＝，即42＋（2a－4）2＝（2c）2， 所以42＋82＝（2c）2，解得c2＝20，所以b2＝a2－c2＝16， 所以椭圆的方程为＋＝1. 6.＋＝1　解析：易知C1（－3，0），r1＝9，C2（3，0），r2＝1，且｜C1C2｜＝6.又动圆P与圆C1内切，同时与圆C2外切， 则｜PC1｜＝r1－rP＝9－rP，｜PC2｜＝r2＋rP＝1＋rP， 所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝10＞｜C1C2｜， 所以动点P到两个定点C1（－3，0），C2（3，0）的距离之和为定值，满足椭圆的定义，所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3， 所以b＝＝4，该动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 7.解：（1）圆A：（x＋1）2＋y2＝16的圆心为A（－1，0），半径r＝4. 已知弦长l＝4，设圆心到直线m的距离为d， 则d＝＝＝2，且直线m过点B（1，0）. 当直线斜率不存在时，直线m的方程为x＝1，圆心到直线m的距离d＝｜1－（－1）｜＝2， 符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为k，则直线m的方程为y＝k（x－1），即kx－y－k＝0， 圆心到直线m的距离d＝＝＝2，化简得｜k｜＝，无解， 所以直线m的方程为x＝1. （2）由垂直平分线的性质可知，｜MB｜＝｜MP｜. 因为｜AP｜＝｜AM｜＋｜MP｜＝r＝4，所以｜AM｜＋｜MB｜＝4. 因为A（－1，0），B（1，0），所以｜AB｜＝2. 由椭圆的定义可知，动点M是以A，B为焦点的椭圆， 且a2＝4，c2＝1，b2＝a2－c2＝3， 所以动点M的轨迹方程为＋＝1. （3）由椭圆定义知｜AH｜＋｜HB｜＝4， 两边同时平方得（｜AH｜＋｜HB｜）2＝｜AH｜2＋｜HB｜2＋2｜AH｜｜HB｜＝16.① 因为·＝0，所以HA⊥HB， 根据勾股定理可得｜HA｜2＋｜HB｜2＝｜AB｜2＝4.② 将②代入①中得4＋2｜AH｜｜HB｜＝16，解得｜AH｜｜HB｜＝6， 所以S△HAB＝｜AH｜｜HB｜＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 　 椭圆的定义及标准方程 1.已知定点F1（－3，0），F2（3，0），平面上满足下列条件的动点P的轨迹是椭圆的是（　　） A.｜PF1｜＋｜PF2｜＝4 B.｜PF1｜＋｜PF2｜＝6 C.｜PF1｜＋｜PF2｜＝10 D.＋＝20 2.（2026·江苏淮安期中）如果椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于2，则点P到另一个焦点F2的距离为（　　） A.6 B.4 C.3 D.2 3.（2025·浙江温州期中）设m为实数，若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A.＜m＜2 B.m＞ C.1＜m＜2 D.1＜m＜ 4.求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）b＝1，c＝2，焦点在x轴上，椭圆的标准方程为　　　　　　； （2）焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，椭圆的标准方程为　　　　　　； （3）过点（－3，2）且与椭圆＋＝1有相同的焦点，椭圆的标准方程为　　　　　　； （4）两个焦点在坐标轴上，且经过A（，－）和B（－，2）两点，椭圆的标准方程为　　　　　　. 椭圆定义的应用 5.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点P，Q满足P，Q，F1三点共线，则△F2PQ的周长为（　　） A.2a　 　B.2b C.4a　 　D.4b 6.已知M是椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若＝，则△MF1F2的面积为（　　） A.49　 　B.48 C.25　 　D.24 与椭圆有关的轨迹问题 7.[教材例题变式]已知椭圆C：＋＝1，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　　） A.＋＝1（x≠0） B.x2＋y2＝4（x≠0） C.＋＝1（x≠0） D.x2＋y2＝8（x≠0） 8.[创新试题]（1）用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1（如图），若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，则点M1，M2，M3，…形成的轨迹是　　　　　； （2）已知点A（－，0），B（，0），直线PA和直线PB的斜率的乘积为－，则点P的轨迹方程为　　　　　　　. 　 1.“m∈（－3，5）”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.[模块融合]已知△ABC的顶点B（－4，0）和C（4，0），顶点A在椭圆＋＝1上，则的值为（　　） A. B. C. D. 3.（多选）已知椭圆C：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的有（　　） A.实数m的取值范围是（0，9）∪（9，＋∞） B.若椭圆C的焦点在x轴上，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝6 C.若m＝8，则△PF1F2的周长为8 D.若椭圆C的焦距为2，则m＝6 4.已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（　　） A. B. C.4 D. 5.（1）点N在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，M为NF的中点，若｜OM｜＝4，则｜NF｜＝　　　　； （2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若·＝0，且｜AF2｜＝2｜BF2｜＝4，则椭圆的方程为　　　　　　. 6.已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝81和C2：（x－3）2＋y2＝1，若动圆P与圆C1内切，同时与圆C2外切，则该动圆圆心P的轨迹方程为　　　　　　. 7.（2026·四川成都期中）如图，已知圆A：（x＋1）2＋y2＝16，点B（1，0），P为圆A上的动点，线段BP的垂直平分线与线段AP相交于点M. （1）过点B的直线m被圆A截得的弦长为4，求直线m的方程； （2）求动点M的轨迹方程； （3）设（2）中曲线为C，H为曲线C上一点，若·＝0，求△HAB的面积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $