3.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,相交所得弦的长最大.( ) (2)已知椭圆与点,过点可作出该椭圆的一条切线.( ) (3)直线与椭圆的位置关系是相交.( ) (4)直线与椭圆的位置关系有相离、相切、相交三种.( ) 2.已知直线,椭圆,则直线与椭圆的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】A 3.请思考并回答下列问题: (1)直线与椭圆的位置关系如何? (2)过原点的直线和椭圆相交,交点关于原点对称吗? 二、知识点自测 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1.若直线与椭圆相切,则斜率的值是( ) A． B． C． D． 2.直线()与焦点在轴上的椭圆总有公共点,则的取值范围是　　　　. 知识点2 弦长及中点弦问题 1.过椭圆内一点作一条弦,使该弦被点平分. (1)求此弦所在直线的方程; (2)求此弦的长. 2.已知椭圆的一个焦点为,过点且倾斜角为45°的直线交椭圆于两点,则弦长　　　　. 3.已知椭圆与直线相交于两点,是的中点.若,直线(为坐标原点)的斜率为,求椭圆的方程. 知识点3 直线与椭圆的相交问题 1.已知分别是椭圆的左、右焦点.设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且(为坐标原点)为锐角,求直线的斜率的取值范围. 2.中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆离心率为,与直线相交于两点.若以为直径的圆经过坐标原点,求椭圆的方程. 知识点4 与椭圆有关的综合问题 1.(1)已知的顶点在椭圆上,点在直线上,且.当边过坐标原点时,求的长及的面积. (2)在椭圆上求一点,使它到直线的距离最短,并求出最短距离. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为,直线与交于两点.若面积是面积的2倍,则( ) A． B． C． D． 3.已知和为椭圆上两点. (1)求的离心率; (2)若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点,求(为右焦点)的面积. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.已知椭圆,直线过点,则直线与椭圆的公共点的个数为( ) A．1 B．1或2 C．2 D．0 2.(多选)若直线与椭圆相切,则的值可以是( ) A． B． C． D． 3.直线与椭圆有两个公共点,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 4.在椭圆内,过点,且被这点平分的弦所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 5.过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线,交椭圆于两点,则弦的长为( ) A． B． C． D． 6.椭圆的离心率为.若直线与椭圆一个交点的横坐标为,则的值为　　　　. 7.椭圆与直线交于两点,过原点与线段的中点的直线的斜率为,则的值是　　　　. 8.直线交椭圆于两点,设的中点为,为坐标原点,直线的斜率等于,则椭圆的离心率为　　　　. B组　能力提升 1.(多选)已知直线与椭圆,则( ) A．直线恒过定点 B． C． D．若直线与椭圆总有公共点,则的取值范围是 2.已知为椭圆的右焦点,为椭圆内一点.若在椭圆上存在一点,使得,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 3.(多选)已知椭圆内一点,过的直线与椭圆交于两点,且为线段的中点,则下列结论正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的离心率为 D． 4.已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为　　　　. 5.过椭圆内的一点的直线交椭圆于两点,且满足(为原点),则这条直线的方程是　　　　. 6.已知椭圆的左顶点为,左焦点为.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为3,离心率,则椭圆的标准方程是　　　　;若点为椭圆上任意一点,则的取值范围是　　　　. 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,焦距为2. (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆的左焦点,且斜率为2的直线交椭圆于两点,求(为原点)的面积. C组 思考题 已知椭圆的方程为,一条直线与椭圆相交于点,弦的中点为,你能求出(为原点)的值吗? 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,相交所得弦的长最大.(√) (2)已知椭圆与点,过点可作出该椭圆的一条切线.(×) (3)直线与椭圆的位置关系是相交.(√) (4)直线与椭圆的位置关系有相离、相切、相交三种.(√) 2.已知直线,椭圆,则直线与椭圆的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】A 【详解】由及,消去,得. 因为,所以直线与椭圆没有交点,即直线与椭圆相离. 3.请思考并回答下列问题: (1)直线与椭圆的位置关系如何? 【答案】直线过定点,而该点在椭圆内部,所以直线和椭圆相交. (2)过原点的直线和椭圆相交,交点关于原点对称吗? 【答案】对称. 二、知识点自测 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1.若直线与椭圆相切,则斜率的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得. 由题意得,解得. 2.直线()与焦点在轴上的椭圆总有公共点,则的取值范围是　　　　. 【答案】 【详解】直线恒过定点,直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上,所以,即.又,故. 知识点2 弦长及中点弦问题 1.过椭圆内一点作一条弦,使该弦被点平分. (1)求此弦所在直线的方程; (2)求此弦的长. 【答案】（1）. （2） (1)(方法一)易知直线的斜率存在,设为,则所求直线方程为,代入椭圆方程并整理,得,且. 设直线与椭圆的交点为,则是方程的两个根,于是有. 又因为为的中点,所以,解得,满足. 故此弦所在直线的方程为. (方法二)设直线与椭圆的交点为. 又为的中点,所以,. 又因为两点在椭圆上,则,, 两式相减得. 于是. 所以,即. 又直线过点,故此弦所在直线的方程为. (方法三)设所求直线与椭圆的一个交点为,另一个交点为,由于弦的中点为,则. 因为两点都在椭圆上,所以 ①-②,化简得. 显然点的坐标满足这个方程,代入验证可知点的坐标也满足这个方程,而过点的直线只有一条,故所求直线的方程为. (2)设此弦的两端点分别为,由(1)知直线的方程为, 联立得,. 所以,. 所以. 故此弦的长为. 2.已知椭圆的一个焦点为,过点且倾斜角为45°的直线交椭圆于两点,则弦长　　　　. 【答案】 【详解】由题易知.根据椭圆的对称性,不妨设焦点为左焦点,则直线的方程为. 联立消去,得,. 设,则,, 所以. 3.已知椭圆与直线相交于两点,是的中点.若,直线(为坐标原点)的斜率为,求椭圆的方程. 【答案】 【详解】设,代入椭圆方程并作差得. 而,,结合上式可得. 因为,所以. 又由得, ,所以,. 故. 将代入,得,,所以椭圆的方程是. 知识点3 直线与椭圆的相交问题 1.已知分别是椭圆的左、右焦点.设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且(为坐标原点)为锐角,求直线的斜率的取值范围. 【答案】或 【详解】显然直线不满足题设条件,可设直线,. 联立消去,整理得. 由,得或. 所以,. 又,所以,所以. 又=-, 故,即,所以. 故或. 2.中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆离心率为,与直线相交于两点.若以为直径的圆经过坐标原点,求椭圆的方程. 【答案】. 【详解】设椭圆方程为,因为,所以,即. 所以椭圆方程为. 将代入并化简,得. . 设,则,, 所以. 由题意可知,所以所以,所以, 所以 解得,满足,所以. 所以椭圆的方程为. 知识点4 与椭圆有关的综合问题 1.(1)已知的顶点在椭圆上,点在直线上,且.当边过坐标原点时,求的长及的面积. (2)在椭圆上求一点,使它到直线的距离最短,并求出最短距离. 【答案】（1）.（2）. 【详解】 (1)因为,且边过点,所以所在直线的方程为. 设两点坐标分别为, 由得. 所以. 又因为边上的高等于原点到直线的距离,所以,所以. (2)设与椭圆相切并与平行的直线方程为,代入,整理得, ,所以,所以. 故切线方程为或. 显然直线距直线最近,此时点的坐标为. 最短距离. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为,直线与交于两点.若面积是面积的2倍,则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立消去,得. 因为直线与椭圆交于两点,则,解得. 设到直线的距离为,到直线的距离为,易知, 则,. 由题意可知,解得或(舍).故选B. 3.已知和为椭圆上两点. (1)求的离心率; (2)若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点,求(为右焦点)的面积. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)由题意得,,解得, 所以. (2)由(1)可得椭圆的方程为,,. 直线的方程为. 联立消去,得,. 设,则,, 所以. 点到直线的距离, 所以. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.已知椭圆,直线过点,则直线与椭圆的公共点的个数为( ) A．1 B．1或2 C．2 D．0 【答案】C 【详解】因为直线过点,且,所以点在椭圆的内部,故直线与椭圆有2个公共点. 2.(多选)若直线与椭圆相切,则的值可以是( ) A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】把代入,得. 因为直线与椭圆相切,所以,解得.故选AB. 3.直线与椭圆有两个公共点,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由消去可得, 因为直线与椭圆有两个公共点,所以,解得或. 又因为且,所以且.故的取值范围是.故选B. 4.在椭圆内,过点,且被这点平分的弦所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与椭圆交点为,则①,②. 由①-②,得. 由题意得,, 所以. 所以所求直线的方程为,即.故选A. 5.过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线,交椭圆于两点,则弦的长为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易求得椭圆的左焦点为,直线的方程为. 由消去并整理,得,. 解得或,对应的交点为,. 所以.故选B. 6.椭圆的离心率为.若直线与椭圆一个交点的横坐标为,则的值为　　　　. 【答案】 【详解】由条件知,在椭圆上,即, 所以,所以. 7.椭圆与直线交于两点,过原点与线段的中点的直线的斜率为,则的值是　　　　. 【答案】 【详解】由消去,得. 设,则,, . 因为为线段的中点,所以的坐标为. 所以. 8.直线交椭圆于两点,设的中点为,为坐标原点,直线的斜率等于,则椭圆的离心率为　　　　. 【答案】 【详解】设,的中点为, 则,, 两式相减整理得,则,即. 因为,,所以, 所以. B组　能力提升 1.(多选)已知直线与椭圆,则( ) A．直线恒过定点 B． C． D．若直线与椭圆总有公共点,则的取值范围是 【答案】AD 【详解】由于直线可以化为,故恒过点,故A正确; 而方程表示椭圆的条件为且,故B,C错误; 若直线与椭圆总有公共点,则点必在椭圆内或椭圆上,则且,所以,故D正确.故选AD. 2.已知为椭圆的右焦点,为椭圆内一点.若在椭圆上存在一点,使得,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意,,设椭圆的左焦点为,则. 因为,且,所以,即, 于是,解得. 而,点为椭圆内一点,所以,整理得. 又,解得,即. 所以的取值范围是.故选B. 3.(多选)已知椭圆内一点,过的直线与椭圆交于两点,且为线段的中点,则下列结论正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的离心率为 D． 【答案】BCD 【详解】对于A,易知椭圆的焦点在轴上,由椭圆方程可得,则,故其焦点坐标为,故A错误; 对于B,,则,椭圆的长轴长为,故B正确; 对于C,,故C正确; 对于D,由题意,可设直线的方程为,,则,联立直线与椭圆方程并整理得,则, 所以,解得,即直线的方程为; 由上知,,则,故D正确.故选BCD. 4.已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为　　　　. 【答案】 【详解】根据题意设椭圆方程为,将代入椭圆方程,得. 因为椭圆与直线有且仅有一个交点,所以,即,解得, 所以椭圆的长轴长为. 5.过椭圆内的一点的直线交椭圆于两点,且满足(为原点),则这条直线的方程是　　　　. 【答案】 【详解】由于直线过点,又, 所以点为弦的中点. 设,则,, 所以,, 两式作差整理得, 所以,即. 所以直线方程为,即. 6.已知椭圆的左顶点为,左焦点为.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为3,离心率,则椭圆的标准方程是　　　　;若点为椭圆上任意一点,则的取值范围是　　　　. 【答案】； 【详解】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为3,所以. 因为离心率,所以,, 则椭圆的标准方程为. 所以点的坐标为,点的坐标为. 设,则. 由椭圆的方程,得, 所以. 因为,二次函数在上单调递增,所以. 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,焦距为2. (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆的左焦点,且斜率为2的直线交椭圆于两点,求(为原点)的面积. 【答案】（1）；（2）. 【详解】(1)由题意,设所求椭圆的标准方程为, 因为焦距为,所以. 又离心率,所以.则. 所以椭圆的标准方程为. (2)由(1)知左焦点为,则直线的方程为. 设, 联立消去,得,, 解得或,对应的交点为,, 所以. 原点到直线的距离为, 所以. C组 思考题 已知椭圆的方程为,一条直线与椭圆相交于点,弦的中点为,你能求出(为原点)的值吗? 【答案】 【详解】将代入椭圆方程,得,, 两式作差并整理得. 已知弦的中点为,则,. 因为,所以,即,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $