3.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时） 同步练习 一、单项选择题 1. 已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值与最小值之差为（　　） A. B. C. D. 2. 椭圆 的顶点坐标为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 椭圆 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 5. 设 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，若椭圆的短轴的一个端点 满足 ，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 7. 我国发射的一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运行，地球位于椭圆的一个焦点处．若该卫星的近地点（轨道上离地心最近的点）与远地点（轨道上离地心最远的点）到地心的距离之比为 ，则该椭圆轨道的离心率为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题 8. 已知椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A. 椭圆 的长轴长为 B. 椭圆 的短轴长为 C. 椭圆 的焦点在 轴上 D. 椭圆 的离心率为 9. 已知点 在椭圆 上，左、右焦点分别为 ，，则下列结论正确的是（　　） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 的最大值为 10. 已知椭圆 的离心率为 ，则下列条件能够推出 的是（　　） A. 以椭圆的两个焦点 ， 和短轴的一个端点 为顶点的三角形是等边三角形 B. （其中 为半焦距） C. 椭圆的短轴长等于焦距 D. 椭圆的长轴长为短轴长的 倍 三、填空题 11. 已知点 在椭圆 上，则 __________． 12. 已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 __________． 13. 已知定点 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 __________． 四、解答题 14.（15 分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 倍，且椭圆经过点 ． （1）求该椭圆的标准方程； （2）求该椭圆的离心率、焦点坐标和顶点坐标． 15.（20 分）已知椭圆 的右焦点为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）求过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 ． 16.（20 分）已知两定点 ，，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）设 ， 为（1）中轨迹上任意一点，求 的最小值，并求出取得最小值时点 的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时） 同步练习 一、单项选择题 1. 已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值与最小值之差为（　　） A. B. C. D. 2. 椭圆 的顶点坐标为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 椭圆 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 5. 设 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，若椭圆的短轴的一个端点 满足 ，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 7. 我国发射的一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运行，地球位于椭圆的一个焦点处．若该卫星的近地点（轨道上离地心最近的点）与远地点（轨道上离地心最远的点）到地心的距离之比为 ，则该椭圆轨道的离心率为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题 8. 已知椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A. 椭圆 的长轴长为 B. 椭圆 的短轴长为 C. 椭圆 的焦点在 轴上 D. 椭圆 的离心率为 9. 已知点 在椭圆 上，左、右焦点分别为 ，，则下列结论正确的是（　　） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 的最大值为 10. 已知椭圆 的离心率为 ，则下列条件能够推出 的是（　　） A. 以椭圆的两个焦点 ， 和短轴的一个端点 为顶点的三角形是等边三角形 B. （其中 为半焦距） C. 椭圆的短轴长等于焦距 D. 椭圆的长轴长为短轴长的 倍 三、填空题 11. 已知点 在椭圆 上，则 __________． 12. 已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 __________． 13. 已知定点 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 __________． 四、解答题 14.（15 分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 倍，且椭圆经过点 ． （1）求该椭圆的标准方程； （2）求该椭圆的离心率、焦点坐标和顶点坐标． 15.（20 分）已知椭圆 的右焦点为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）求过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 ． 16.（20 分）已知两定点 ，，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）设 ， 为（1）中轨迹上任意一点，求 的最小值，并求出取得最小值时点 的坐标． 参考答案与解析 答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C B C D B 题号 8 9 10 答案 ABD ABCD AB 填空题： 11. 　12. 　13. 一、单项选择题 1.【答案】A 【解析】由椭圆方程知 ，，故 ． 椭圆上一点到左焦点的距离的范围是 ，当 为右顶点时取最大值 ，为左顶点时取最小值 ， 故所求差为 ． 2.【答案】A 【解析】由方程知 ，，且焦点在 轴上， 故椭圆的顶点坐标为 ，． 3.【答案】C 【解析】将方程化为标准形式：． 因为 ，所以焦点在 轴上，且 ，， 故 ，，焦点坐标为 ． 4.【答案】B 【解析】由方程知 ，，． 椭圆上一点到焦点的距离的范围是 ， 当 为右顶点时， 取最大值 ． 5.【答案】C 【解析】由方程知 ，故 ． 由基本不等式： 当且仅当 ，即 为短轴端点时等号成立， 故 的最大值为 ． 6.【答案】D 【解析】设短轴端点 ，焦点 ，， 则 ，． 由 得 ， 故 ，从而 ， 所以离心率 ． 7.【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ，地球位于焦点处． 近地点到地心的距离为 ，远地点到地心的距离为 ． 由题意 ，即 ， 整理得 ，即 ， 故离心率 ． 二、多项选择题 8.【答案】ABD 【解析】由方程知 ，，且焦点在 轴上． A 正确：长轴长 ； B 正确：短轴长 ； C 错误：，焦点在 轴上，不在 轴上； D 正确：，离心率 ． 9.【答案】ABCD 【解析】由方程知 ，，． A 正确：椭圆上的点满足 ，即 ； B 正确：，即 ； C 正确：由椭圆定义，； D 正确：在 中，，当 为长轴端点时等号成立，故最大值为 ． 10.【答案】AB 【解析】 A 能推出：，，等边三角形要求三边相等，即 ，故 ； B 能推出：，则 ，即 ，故 ； C 不能推出：短轴长等于焦距，即 ，，则 ，； D 不能推出：长轴长为短轴长的 倍，即 ，，则 ，． 三、填空题 11.【答案】 【解析】将 代入椭圆方程： 即 ，解得 ， 故 ． 12.【答案】 【解析】设 ，，则 两式相减得： 由 的中点为 知 ，， 代入得 ， 故直线 的斜率 ． 检验： 此时 的方程为 ，与椭圆联立可解得交点 与 ，其中点恰为 ，满足题意． 13.【答案】 【解析】因为 ， 所以 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆． 由 得 ；由 得 ． 焦点在 轴上，故轨迹方程为 ． 四、解答题 14.【解析】 （1） 由题意设椭圆的标准方程为 ． 由长轴长是短轴长的 倍，得 ，即 ，． 将点 代入椭圆方程： 把 代入，得 ，即 ， 解得 ，从而 ． 故该椭圆的标准方程为 ． （2） 由（1）知 ，， 则 ，． 离心率 ； 焦点坐标为 ； 顶点坐标为 ，． 15.【解析】 （1） 由椭圆方程知 ，， 故 ，， 离心率 ． （2） 由（1）知右焦点 ，直线 的斜率为 ， 故 的方程为 ． 设 ，，将 代入椭圆方程： 整理得 ，即 由根与系数的关系： 所以 由弦长公式： 故 ． 16.【解析】 （1） 因为 ， 所以 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆． 由 得 ，；由 得 故 的轨迹方程为 ． （2） 设 ，则 ，且 配方得 因为 ，即抛物线的对称轴在区间 的左侧，且开口向下， 所以 关于 在 上单调递减． 当 时， 取最小值： 故 ，此时 ，， 即点 的坐标为 （恰为轨迹的上顶点）． 故 的最小值为 ，取得最小值时 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $